11.5: Integrales dobles en coordenadas polares

Preguntas Motivadoras

• ¿Cuáles son las coordenadas polares de un punto en dos espacios?
• ¿Cómo convertimos entre coordenadas polares y coordenadas rectangulares?
• ¿Cuál es el elemento área en coordenadas polares?
• ¿Cómo convertimos una doble integral en coordenadas rectangulares en una doble integral en coordenadas polares?

Si bien tenemos definidas naturalmente dobles integrales en el sistema de coordenadas rectangulares, comenzando con dominios que son regiones rectangulares, hay muchas de estas integrales que son difíciles, si no imposibles, de evaluar. Por ejemplo, consideremos el dominio\(D\) que es el círculo unitario y\(f(x,y) = e^{-x^2 - y^2}\text{.}\) Para integrar\(f\) sobre\(D\text{,}\) usaríamos la integral iterada

\[ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_{x = -1}^{x = 1} \int_{y = -\sqrt{1-x^2}}^{y = \sqrt{1-x^2}} e^{-x^2 - y^2} \, dy \, dx. \nonumber \]

Para esta integral particular, independientemente del orden de integración, no podemos encontrar una antiderivada del integrando; además, aunque pudiéramos encontrar una antiderivada, los límites internos de la integración implican funciones relativamente complicadas.

Es útil, por lo tanto, poder traducirse a otros sistemas de coordenadas donde los límites de integración y evaluación de las integrales involucradas sean más simples. En esta sección brindamos una discusión rápida de uno de esos sistemas —las coordenadas polares— para luego introducir e investigar sus ramificaciones para integrales dobles. El sistema de coordenadas rectangulares nos permite considerar dominios y gráficos relativos a una cuadrícula rectangular. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas alternativo que nos permite considerar dominios menos adecuados a coordenadas rectangulares, como los círculos.

Vista previa de Actividad 11.5.1

Las coordenadas de un punto determinan su ubicación. En particular, las coordenadas rectangulares de un punto\(P\) están dadas por un par ordenado\((x,y)\text{,}\) donde\(x\) está la distancia (firmada) que el punto se encuentra desde el\(y\) eje\(P\) -y\(y\) es la distancia (firmada) que el punto se encuentra del\(x\) eje -eje a\(P\text{.}\) En polar coordenadas, ubicamos el punto considerando la distancia que el punto se encuentra desde el origen,\(O = (0,0)\text{,}\) y el ángulo del segmento de línea desde el origen hasta\(P\) las formas con el\(x\) eje positivo.

1. Determine las coordenadas rectangulares de los siguientes puntos:
   1. El punto\(P\) que se encuentra a 1 unidad del origen sobre el\(x\) eje positivo.
   2. El punto\(Q\) que se encuentra 2 unidades desde el origen y tal que\(\overline{OQ}\) hace un ángulo de\(\frac{\pi}{2}\) con el\(x\) eje positivo.
   3. El punto\(R\) que se encuentra a 3 unidades del origen tal que\(\overline{OR}\) hace un ángulo de\(\frac{2\pi}{3}\) con el\(x\) eje positivo.
2. La parte (a) indica que los dos datos determinan completamente la ubicación de un punto: ya sea las\((x,y)\) coordenadas tradicionales, o alternativamente, la distancia\(r\) desde el punto hasta el origen junto con el ángulo\(\theta\) que la línea a través del origen y el punto hace con el \(x\)eje positivo. Escribimos “\((r, \theta)\)” para denotar la ubicación del punto en su representación de coordenadas polares. Encuentra coordenadas polares para los puntos con las coordenadas rectangulares dadas.
   1. \((0,-1)\)ii. \((-2,0)\)iii. \((-1,1)\)
3. Para cada uno de los siguientes puntos cuyas coordenadas se dan en forma polar, determinar las coordenadas rectangulares del punto.
   1. \((5, \frac{\pi}{4})\)ii. \((2, \frac{5\pi}{6})\)iii. \((\sqrt{3}, \frac{5\pi}{3})\)

11.5.1 Coordenadas polares

El sistema de coordenadas rectangulares es el más adecuado para gráficos y regiones que se consideran naturalmente sobre una cuadrícula rectangular. El sistema de coordenadas polares es una alternativa que ofrece buenas opciones para funciones y dominios que tienen características más circulares. También se puede describir un punto\(P\) en coordenadas rectangulares que es descrito por un par ordenado\((x,y)\text{,}\) donde\(x\) se encuentra el desplazamiento desde\(P\) el\(y\) eje -y\(y\) es el desplazamiento desde\(P\) el\(x\) eje -eje, como se ve en Vista previa Actividad 11.5.1, también se puede describir con coordenadas polares\((r,\theta)\text{,}\) donde\(r\) está la distancia desde\(P\) el origen y\(\theta\) es el ángulo formado por el segmento lineal\(\overline{OP}\) y el\(x\) eje positivo, como se muestra a la izquierda en la Figura 11.5.1.

Figura 11.5.1. Las coordenadas polares de un punto y la cuadrícula de coordenadas polares.

La trigonometría y el teorema de Pitágoras permiten una conversión directa de rectangular a polar, y viceversa.

Conversión entre coordenadas rectangulares y polares

• Si se nos dan las coordenadas rectangulares\((x,y)\) de un punto\(P\text{,}\) entonces las coordenadas polares\((r,\theta)\) de\(P\) satisfacer
  \[ r = \sqrt{x^2+y^2} \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ \tan(\theta) = \frac{y}{x}, \text{ assuming } x \neq 0. \nonumber \]
• Si se nos dan las coordenadas polares\((r,\theta)\) de un punto\(P\text{,}\) entonces las coordenadas rectangulares\((x,y)\) de\(P\) satisfacer
  \[ x = r\cos(\theta) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = r\sin(\theta). \nonumber \]

Nota: El ángulo\(\theta\) en las coordenadas polares de un punto no es único. Podríamos reemplazar\(\theta\) con\(\theta + 2 \pi\) y seguir estando en el mismo punto terminal. Además, el signo de\(\tan(\theta)\) no determina de manera única el cuadrante en el que\(\theta\) se encuentra, por lo que tenemos que determinar el valor de\(\theta\) desde la ubicación del punto. En otras palabras, se tiene que pagar más cuidado al usar coordenadas polares que coordenadas rectangulares.

Podemos dibujar gráficas de curvas en coordenadas polares de manera similar a como lo hacemos en coordenadas rectangulares. Sin embargo, al trazar en coordenadas polares, utilizamos una cuadrícula que considera los cambios en los ángulos y los cambios en la distancia desde el origen. En particular, los ángulos\(\theta\) y distancias\(r\) parten el plano en pequeñas cuñas como se muestra a la derecha en la Figura 11.5.1.

Actividad 11.5.2

La mayoría de los dispositivos de gráficos polares pueden trazar curvas en coordenadas polares de la forma\(r = f(\theta)\text{.}\) Use dicho dispositivo para completar esta actividad.

1. Antes de trazar la curva polar\(r=1\) (donde\(\theta\) puede tener algún valor), piensa en qué forma debe tener, a la luz de cómo\(r\) está conectada\(x\) y\(y\text{.}\) luego usa la tecnología adecuada para dibujar la gráfica y poner a prueba tu intuición.
2. La ecuación\(\theta = 1\) no define\(r\) como una función de\(\theta\text{,}\) por lo que no podemos graficar esta ecuación en muchos plotters polares. ¿Cómo crees que se\(\theta = 1\) ve la gráfica de la curva polar? ¿Por qué?
3. Antes de trazar la curva polar\(r = \theta\text{,}\) ¿cómo crees que se ve la gráfica? ¿Por qué? Usa la tecnología para trazar la curva y comparar tu intuición.
4. ¿Qué aspecto tiene la región definida por\(1 \leq r \leq 3\) (donde\(\theta\) puede tener algún valor)? (Pista: Compare con su respuesta de la parte (a).)
5. ¿Cómo se define\(1 \leq r \leq 3\) y se\(\pi/4 \leq \theta \leq \pi/2\) ve la región?
6. Considerar la curva\(r = \sin(\theta)\text{.}\) Para algunos valores de\(\theta\) tendremos\(r \lt 0\text{.}\) En estas situaciones, trazamos el punto\((r,\theta)\) como\((|r|, \theta+\pi)\) (es decir, cuando\(r \lt 0\text{,}\) reflejamos el punto a través del origen). Con eso en mente, ¿cómo crees que\(r = \sin(\theta)\) se ve la gráfica de? Traza esta curva usando tecnología y compárela con tu intuición.

11.5.2 Integración en Coordenadas Polares

Considera la doble integral

\[ \iint_D e^{x^2+y^2} \, dA, \nonumber \]

donde\(D\) está el disco de la unidad. Si bien no podemos evaluar directamente esta integral en coordenadas rectangulares, un cambio en coordenadas polares la convertirá en una que podamos evaluar fácilmente.

Hemos visto cómo evaluar una doble integral\(\displaystyle \iint_D f(x,y) \, dA\) como una integral iterada de la forma

\[ \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx \nonumber \]

en coordenadas rectangulares, porque sabemos que\(dA = dy \, dx\) en coordenadas rectangulares. Para hacer el cambio a coordenadas polares, no sólo necesitamos representar las variables\(x\) y\(y\) en coordenadas polares, sino que también debemos entender cómo escribir el elemento área,\(dA\text{,}\) en coordenadas polares. Es decir, debemos determinar cómo se\(dA\) puede escribir el elemento área en términos\(dr\) y\(d\theta\) en el contexto de coordenadas polares. Abordamos esta cuestión en la siguiente actividad.

Figura 11.5.2. Izquierda: Un rectángulo polar. Derecha: Un anillo.

Actividad 11.5.3

Considera un rectángulo polar\(R\text{,}\) con\(r\) entre\(r_i\) y\(r_{i+1}\) y\(\theta\) entre\(\theta_j\) y\(\theta_{j+1}\) como se muestra a la izquierda en la Figura 11.5.2. Let\(\Delta r = r_{i+1}-r_i\) y\(\Delta \theta = \theta_{j+1}-\theta_j\text{.}\) Let\(\Delta A\) be la zona de esta región.

1. Explicar por qué el área\(\Delta A\) en coordenadas polares no es\(\Delta r \, \Delta \theta\text{.}\)
2. Ahora encuentra\(\Delta A\) por los siguientes pasos:
   1. Encuentre el área del anillo (la región similar a una lavadora) entre\(r_i\) y\(r_{i+1}\text{,}\) como se muestra a la derecha en la Figura 11.5.2. Esta área será en términos de\(r_i\) y\(r_{i+1}\text{.}\)
   2. Observe que la región\(R\) es solo una porción del anillo, por lo que el área\(\Delta A\) de\(R\) es solo una fracción del área del anillo. Por ejemplo, si\(\theta_{i+1} - \theta_i\) fuera\(\frac{\pi}{4}\text{,}\) entonces la cuña resultante sería
      \[ \frac{ \frac{\pi}{4} }{2\pi} = \frac{1}{8} \nonumber \]

      de todo el anillo. En este contexto más general, utilizando la cuña entre los dos ángulos señalados, qué fracción del área del anillo es el área\(\Delta A\text{?}\)

   3. Escribir una expresión para\(\Delta A\) en términos de\(r_i\text{,}\)\(r_{i+1}\text{,}\)\(\theta_j\text{,}\) y\(\theta_{j+1}\text{.}\)
   4. Por último, escribir el área\(\Delta A\) en términos de\(r_i\text{,}\)\(r_{i+1}\text{,}\)\(\Delta r\text{,}\) y\(\Delta \theta\text{,}\) donde cada cantidad aparece sólo una vez en la expresión. (Pista: Piense en cómo factorizar una diferencia de cuadrados.)
3. A medida que tomamos el límite como\(\Delta r\) y\(\Delta \theta\) vamos a 0,\(\Delta r\) se\(dr\text{,}\)\(\Delta \theta\) convierte en\(d \theta\text{,}\) y\(\Delta A\) se convierte en\(dA\text{,}\) el elemento área. Usando tu trabajo en (iv), escribe\(dA\) en términos de\(r\text{,}\)\(dr\text{,}\) y\(d \theta\text{.}\)

A partir del resultado de la Actividad 11.5.3, vemos cuando convertimos una integral de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, no solo debemos\(y\) convertir\(x\) y ser en términos de\(r\) y\(\theta\text{,}\) sino que también tenemos que cambiar el elemento área a\(dA = r \, dr \, d\theta\) en coordenadas polares. Como vimos en la Actividad 11.5.3, la razón por la que el factor adicional\(r\) en el elemento de área polar se debe a que en coordenadas polares, el elemento de área de sección transversal aumenta a medida que\(r\) aumenta, mientras que el elemento de área de sección transversal en coordenadas rectangulares es constante. Entonces, dada una doble integral\(\iint_D f(x,y) \, dA\) en coordenadas rectangulares, para escribir una integral iterada correspondiente en coordenadas polares, reemplazamos\(x\)\(r \cos(\theta)\text{,}\)\(y\) con\(dA\) con\(r \sin(\theta)\) y con Por\(r \, dr \, d\theta\text{.}\) supuesto, necesitamos describir la región\(D\) en polar coordina también. Para resumir:

Integrales dobles en coordenadas polares

La doble integral\(\iint_D f(x,y) \, dA\) en coordenadas rectangulares se puede convertir en una integral doble en coordenadas polares como\(\iint_D f(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) \, r \, dr \, d\theta\text{.}\)

Ejemplo 11.5.3

Dejar\(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\) en el disco\(D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}\text{.}\) Evaluaremos\(\iint_D f(x,y) \, dA\text{.}\)

En coordenadas rectangulares, la doble integral se\(\iint_D f(x,y) \, dA\) puede escribir como la integral iterada

\[ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_{x=-1}^{x=1} \int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{y=\sqrt{1-x^2}} e^{x^2+y^2} \, dy \, dx. \nonumber \]

No podemos evaluar esta integral iterada, porque\(e^{x^2 + y^2}\) no tiene un antiderivado elemental con respecto a ninguno\(x\) o\(y\text{.}\) Sin embargo, ya que\(r^2=x^2+y^2\) y la región\(D\) es circular, es natural preguntarse si convertir a coordenadas polares nos permitirá evaluar la nueva integral. Para ello, reemplazamos\(x\) con\(r \cos(\theta)\text{,}\)\(y\) con\(r \sin(\theta)\text{,}\) y\(dy \, dx\) con\(r \, dr \, d\theta\) para obtener

\[ \iint_D f(x,y) \, dA = \iint_D e^{r^2} \, r \, dr \, d\theta. \nonumber \]

El disco\(D\) se describe en coordenadas polares por las restricciones\(0 \leq r \leq 1\) y por\(0 \leq \theta \leq 2\pi\text{.}\) lo tanto, se deduce que

\[ \iint_D e^{r^2} \, r \, dr \, d\theta = \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi} \int_{r=0}^{r=1} e^{r^2} \, r \, dr \, d\theta. \nonumber \]

Podemos evaluar la integral polar iterada resultante de la siguiente manera:

\ begin {alinear*}\ int_ {\ theta=0} ^ {\ theta = 2\ pi}\ int_ {r=0} ^ {r=1} e^ {r^2}\, r\, dr\, d\ theta & =\ int_ {\ theta=0} ^ {2\ pi}\ left (\ frac {1} {2} e^ {r^ ^2}\ biggm|_ {r=0} ^ {r=1}\ derecha)\, d\ theta\\ [4pt] & =\ frac {1} {2}\ int_ {\ theta=0} ^ {\ theta = 2\ pi}\ izquierda (e-1\ derecha)\, d\ theta\ [4pt] & =\ frac {1} 2} (e-1)\ int _ {\ theta=0} ^ {\ theta = 2\ pi}\, d\ theta\\ [4pt] & =\ frac {1} {2} (e-1)\ izquierda [\ theta\ derecha]\ biggm|_ {\ theta=0} ^ {\ theta = 2\ pi}\\ [4pt] & =\ pi (e-1). \ end {alinear*}

Si bien no existe una regla firme para cuándo pueden o deben usarse coordenadas polares, son una alternativa natural en cualquier momento en que el dominio de integración puede expresarse simplemente en forma polar, y/o cuando el integrando involucra expresiones como\(\sqrt{x^2 + y^2}.\)

Actividad 11.5.4

Let\(f(x,y) = x+y\) y\(D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 4\}\text{.}\)

1. Dibuje la región\(D\) y luego escriba la doble integral de\(f\) over\(D\) como una integral iterada en coordenadas rectangulares.
2. Escribe la doble integral de\(f\) over\(D\) como una integral iterada en coordenadas polares.
3. Evaluar una de las integrales iteradas. ¿Por qué no sorprende el valor final que encontraste?

Actividad 11.5.5

Considere el círculo dado por\(x^2 + (y-1)^2 = 1\) como se muestra en la Figura 11.5.4.

Figura 11.5.4. Las gráficas de\(y=x\) y\(x^2 + (y-1)^2 = 1\text{,}\) para su uso en la Actividad 11.5.5.

1. Determinar una curva polar en la forma\(r = f(\theta)\) que traza el círculo\(x^2 + (y-1)^2 = 1\text{.}\) (Pista: Recordemos que un círculo centrado en el origen del radio\(r\) puede ser descrito por las ecuaciones\(x = r \cos(\theta)\) y\(y = r \sin(\theta)\text{.}\))
2. Encuentra el valor promedio exacto de\(g(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}\) sobre el interior del círculo\(x^2 + (y-1)^2 = 1\text{.}\)
3. Encuentra el volumen debajo de la superficie\(h(x,y) = x\) sobre la región\(D\text{,}\) donde\(D\) está la región delimitada arriba por la línea\(y=x\) y debajo por el círculo (esta es la región sombreada en la Figura 11.5.4).
4. Explique por qué tanto en (b) como en (c) resulta ventajoso utilizar coordenadas polares.

11.5.3 Resumen

• La representación polar de un punto\(P\) es el par ordenado\((r,\theta)\) donde\(r\) está la distancia desde el origen hasta\(P\) y\(\theta\) es el ángulo que el rayo a través del origen y\(P\) hace con el\(x\) eje positivo.
• Las coordenadas polares\(r\) y\(\theta\) de un punto\((x,y)\) en coordenadas rectangulares satisfacen
  \[ r = \sqrt{x^2+y^2} \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ \tan(\theta) = \frac{y}{x}; \nonumber \]

  las coordenadas rectangulares\(x\) y\(y\) de un punto\((r,\theta)\) en coordenadas polares satisfacen

  \[ x = r\cos(\theta) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = r\sin(\theta). \nonumber \]
• El elemento de área\(dA\) en coordenadas polares está determinado por el área de una porción de un anillo y está dado por
  \[ dA = r \, dr \, d\theta. \nonumber \]
• Para convertir la integral\({\iint_D f(x,y) \, dA}\) doble en una integral iterada en coordenadas polares,\(r \cos(\theta)\) sustituimos\(x\text{,}\)\(r \sin(\theta)\) por\(y\text{,}\) y\(r \, dr \, d\theta\)\(dA\) para obtener la integral iterada
  \[ {\iint_D f(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) \, r \, dr \, d\theta}. \nonumber \]