1.2: El Enfoque Derivado-Límite

La Derivada: Enfoque de Límite

La siguiente definición generaliza el ejemplo de la sección anterior (relativo a la velocidad instantánea) a una función general\(f(x)\):

Para una función general\(f(x)\), la derivada\(f'(x)\) representa la velocidad instantánea de cambio de\(f\) at\(x\), es decir, la velocidad a la que\(f\) cambia en el “instante”\(x\). Para la parte límite de la definición solo se necesita por ahora la idea intuitiva de cómo tomar un límite, como en la sección anterior. Observe que la definición anterior hace que la derivada\(f'\) misma sea una función de la variable\(x\). La función\(f'\) puede ser evaluada a valores específicos de\(x\), o puede escribir su fórmula general\(f'(x)\).

La velocidad (instantánea) de un objeto como derivada de la posición del objeto en función del tiempo es solo una aplicación física de derivados. Hay muchos otros ejemplos:

La definición límite se puede utilizar para encontrar las derivadas de funciones simples.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): derivconst

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de la función\(f(x) = 1\).

Solución: Por definición,\(f(x) = 1\) para todos\(x\), entonces:

\[\begin{aligned} f'(x) ~&=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{f(x+\Delta x) ~-~ f(x)} {\Delta x}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Delta x\ a 0} ~\ frac {1 ~-~ 1} {\ Delta x}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Delta x\ a 0} ~\ frac {0} {\ Delta x}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Delta x\ a 0} ~0\

\ [4pt] f' (x) ~&=~ 0\ end {alineado}\]

Observe en el ejemplo anterior que reemplazar\(\Delta x\) por\(0\) era innecesario al tomar el límite, ya que la relación se\(\frac{f(x + \Delta x) ~-~ f(x)}{\Delta x}\) simplificó a 0 antes de tomar el límite, y el límite de 0 es 0 independientemente de lo que se\(\Delta x\) acerque. De hecho, la respuesta—es decir,\(f'(x) = 0\) para todos\(x\) —debería haber sido obvia sin ningún cálculo: la función\(f(x) = 1\) es una función constante, por lo que su valor (1) nunca cambia, y así su tasa de cambio es siempre 0. De ahí que su derivada sea 0 en todas partes. Reemplazar la constante 1 por cualquier constante produce el siguiente resultado importante:

La discusión anterior muestra que el cálculo en Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): derivconst

Agrega texto aquí.

Solución

era innecesario. Consideremos otro ejemplo donde no se requiere ningún cálculo para encontrar la derivada: la función\(f(x) = x\). El gráfico de esta función es solo la línea\(y = x\) en el\(xy\) -plano, y la velocidad de cambio de una línea es una constante, llamada su pendiente. La línea\(y = x\) tiene una pendiente de 1, por lo que la derivada de\(f(x) = x\) es\(f'(x) = 1\) para todos\(x\). El cálculo formal de la derivada, aunque innecesario, verifica esto:

\[f'(x) ~=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{f(x+\Delta x) ~-~ f(x)}{\Delta x} ~=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{(x + \Delta x) ~-~ x}{\Delta x} ~=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{\Delta x}{\Delta x} ~=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~1 ~=~ 1\]

Recordemos que una función cuya gráfica es una línea se llama función lineal. Para una función lineal general\(f(x) = mx + b\), donde\(m\) está la pendiente de la línea y\(b\) es su\(y\) -intercepción, el mismo argumento anterior para\(f(x) = x\) arroja el siguiente resultado:

La función\(f(x) = 1\) de Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): derivconst

Agrega texto aquí.

Solución

es el caso especial donde\(m = 0\) y\(b = 1\); su gráfica es una línea horizontal, por lo que su pendiente (y por lo tanto su derivada) es 0 para todos\(x\). Asimismo, la función\(f(x) = 2x - 1\) representa una línea de pendiente\(m = 2\), por lo que su derivada es 2 para todos\(x\). La figura [fig:derivlines] muestra estas y otras funciones lineales\(y=f(x)\).

Las funciones lineales tienen un derivado constante: la constante es la pendiente de la línea. Lo contrario resulta ser cierto: una función con una derivada constante debe ser una función lineal. ¹¹ ¿Qué tipos de funciones no tienen derivadas constantes? En la sección anterior se discutió tal función: la parábola\(s(t) = -16t^2 + 100\), cuya derivada claramente no\(s'(t) = -32t\) es una función constante. En general, las funciones que representan curvas (es decir, no líneas rectas) no cambian a un ritmo constante, eso es precisamente lo que las hace curvadas. Por lo que tales funciones no tienen una derivada constante.

Encuentra la derivada de la función\(f(x) = \dfrac{1}{x}\). Además, encuentre la tasa instantánea de cambio de\(f\) at\(x=2\).

Solución: Para todos\(x \ne 0\), el derivado\(f'(x)\) es:

\[\begin{aligned} f'(x) ~&=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{f(x+\Delta x) ~-~ f(x)} {\Delta x}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Delta x\ a 0} ~\ frac {~\ dfrac {1} {x +\ Delta x} ~-~\ dfrac {1} {x} ~} {\ Delta x} ~\ derecha~\ frac {0} {0}\ quad\ text {, así simplifica la relación antes de enchufar $\ Delta = 0$,}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Delta x\ a 0} ~\ frac {~\ dfrac {x ~-~ (x +\ Delta x)} {(x +\ Delta x) x} ~} {\ Delta x}\ quad\ text {(después de obtener un denominador común)}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Delta x\ a 0} ~\ frac {-\ cancel {\ Delta x}} {\ cancel {\ Delta x} (x +\ Delta x) x}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Delta x\ a 0} ~\ frac {-1} {(x +\ Delta x) x} ~=~\ frac {-1} {(x+0) x}\

\ [6pt] f' (x) ~&=~ -\ frac {1} {x^2}\ end {alineado}\] La tasa instantánea de cambio de\(f\) at\(x=2\) es solo la derivada\(f'(x)\) evaluada en\(x=2\), es decir,\(f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}\).

Observe que la tasa instantánea de cambio\(f'(2) = -\frac{1}{4}\) en el ejemplo anterior es un número negativo. Esto debería tener sentido, ya que la función\(f(x) = \frac{1}{x}\) está cambiando en la dirección negativa en\(x=2\); es decir,\(f(x)\) está disminuyendo en valor at\(x=2\). Esto es sencillo de ver en la gráfica de que\(f(x) = \frac{1}{x}\) se muestra a la derecha. De hecho, para todos\(x \ne 0\) la función\(f(x) = \frac{1}{x}\) va disminuyendo a\(x\) medida que crece. ¹² Esto se refleja en que la derivada\(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\) es negativa para todos\(x \ne 0\). En general, una derivada negativa significa que la función está disminuyendo, mientras que una derivada positiva significa que está aumentando. El problema de usar la definición de límite para encontrar la derivada de una función curva es que los cálculos requieren más trabajo, como muestra el ejemplo anterior. A medida que las funciones se vuelven más complicadas esos cálculos pueden llegar a ser difíciles o incluso imposibles. Y aunque los límites aún no se han definido formalmente, por ahora basta la idea intuitivamente obvia de límites, a saber:

A continuación se presentan algunas reglas simples para los límites, que se probarán más adelante:

Las reglas anteriores dicen que el límite de sumas, diferencias, múltiplos constantes, productos y cocientes es la suma, diferencia, múltiplo constante, producto y cociente, respectivamente, de los límites. Esto parece intuitivamente obvio.

Estas reglas se pueden utilizar para encontrar otras expresiones para la derivada. La cantidad\(\Delta x\) representa un número pequeño, positivo o negativo, que se acerca a 0, pero es común en los textos matemáticos usar la letra en\(h\) su lugar: ¹³

\[\label{eqn:hderivative} \setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x + h) ~-~ f(x)}{h}}\]

Otra formulación es establecer\(h=w-x\) en la fórmula ([eqn:hderivado]), que rinde

\[f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x + h) ~-~ f(x)}{h} ~=~ \lim_{w-x \to 0} ~\frac{f(x + (w-x)) ~-~ f(x)}{w ~-~ x} ~,\]para que

\[\label{eqn:wxderivative} \setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{f'(x) ~=~ \lim_{w \to x} ~\frac{f(w) ~-~ f(x)}{w ~-~ x}}\]ya que\(w-x\) se acerca a 0 si y sólo si\(w\) se acerca\(x\). Otra formulación sustituye\(h\) por\(-h\):

\[f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x + h) ~-~ f(x)}{h} ~=~ \lim_{-h \to 0} ~\frac{f(x + -h) ~-~ f(x)}{-h} ~=~ \lim_{-h \to 0} ~\frac{-\left(f(x) ~-~ f(x - h)\right)}{-h}~,\]y por lo tanto

\[\label{eqn:neghderivative} \setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x) ~-~ f(x-h)}{h}}\]ya que\(-h\) se acerca a 0 si y sólo si\(h\) se acerca\(0\). Las formulaciones anteriores no utilizaron las Reglas de Límite, pero el siguiente resultado sí:

Dado que\(f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + h) ~-~ f(x)} {h} ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x) ~-~ f(x-h)}{h}\) por las fórmulas ([eqn:hderivada]) y ([eqn:neghderivada]), entonces Regla de Límite (c) muestra que

\[\frac{1}{2}f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x + h) ~-~ f(x)} {2h} ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x) ~-~ f(x-h)}{2h} ~.\]Ahora usa la idea de que\(a - b = (a - c) + (c - b)\) para todos\(a\),\(b\), y\(c\) para escribir:

\[\begin{aligned} \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x+h) ~-~ f(x-h)}{2h} ~&=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{\left(f(x+h) ~-~ f(x)\right) ~+~ \left(f(x) ~-~ f(x-h)\right)}{2h}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ a 0} ~\ frac {f (x+h) ~-~ f (x)} {2h} ~+~\ lim_ {h\ a 0} ~\ frac {f (x) ~-~ f (x-h)} {2h}\ quad\ text {(por Regla Límite (a))}\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {2}\ cdot f' (x) ~+~\ frac {1} {2}\ cdot f' (x)\

\ [6pt] &=~ f' (x)\ final {alineado}\]

Como ejemplo del uso de estas diferentes formulaciones, recordemos que una función\(f\) es par si\(f(-x) = f(x)\) para todos\(x\) en el dominio de\(f\), y\(f\) es impar si\(f(-x) = -f(x)\) para todos\(x\) en su dominio. Por ejemplo,\(x^2\),\(x^4\), y\(\cos\,x\) son funciones pares;\(x\),\(x^3\), y\(\sin\,x\) son funciones impares. El siguiente resultado suele ser útil:

Para probar la primera afirmación —la segunda es un ejercicio— supongamos que esa\(f\) es una función par y que\(f'(x)\) existe para todos\(x\) en su dominio. Entonces

\[\begin{aligned} {3} f'(-x) ~&=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(-x + h) ~-~ f(-x)}{h} \qquad&&\text{by formula (\ref{eqn:hderivative}) with $x$ replaced by $-x$}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ a 0} ~\ frac {f (- (x - h)) ~-~ f (-x)} {h} && {}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ a 0} ~\ frac {f (x - h) ~-~ f (x)} {h} &&\ text {ya que $f$ es par}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ a 0} ~\ frac {-\ izquierda (f (x) ~-~ f (x-h)\ derecha)} {h} && {}\

\ [6pt] &=~ -\ lim_ {h\ a 0} ~\ frac {f (x) ~-~ f (x-h)} {h} &&\ text {por Regla de Límite (c), entonces}\

\ [6pt] f' (-x) ~&=~ -f' (x) &&\ text {por fórmula (\ ref {eqn:neghderivada}),}\ end {alineada}\] que muestra que\(f'\) es una función impar.

Los derivados no siempre existen, como muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): absnondiff

Agrega texto aquí.

Solución

Vamos\(f(x) = \abs{x}\). Demostrar que\(f'(0)\) no existe.

Solución: Recordemos que la función de valor absoluto\(f(x) = \abs{x}\) se define como

\[f(x) ~=~ \abs{x} ~=~ \begin{cases} \phantom{~-}x & \text{if } x \ge 0\\ ~-x & \text{if } x < 0 \end{cases}\]La gráfica consta de dos líneas que se encuentran en el origen. Para\(x \ge 0\) la gráfica es la línea\(y = x\), que tiene pendiente 1. Para\(x \le 0\) la gráfica es la línea\(y = -x\), que tiene pendiente -1. Estas líneas coinciden en valor (\(y=0\)) en\(x=0\), pero sus pendientes no coinciden en valor at\(x=0\). Por lo tanto la derivada de\(f\) no existe en\(x=0\), ya que la derivada de una curva es solo su pendiente. En los ejercicios se esboza una prueba más “formal” (que equivale al mismo argumento).

Si la derivada\(f'(x)\) existe entonces\(f\) es diferenciable en\(x\). Una función diferenciable es aquella que es diferenciable en cada punto de su dominio. Por ejemplo,\(f(x) = x\) es una función diferenciable, pero no\(f(x) = \abs{x}\) es diferenciable en\(x=0\). Al acto de calcular una derivada se le llama diferenciación. Por ejemplo, diferenciar los\(f(x) = x\) rendimientos de la función\(f'(x) = 1\).

[sec1dot2]

Nota: Para todos los ejercicios, puedes usar cualquier cosa discutida hasta ahora (incluyendo ejercicios anteriores).

Para los Ejercicios 1-11, encuentra la derivada de la función dada\(f(x)\) para todos\(x\) (a menos que se indique lo contrario).

4

\(f(x) = 0\)

\(f(x) = 1 - 3x\)

\(f(x) = (x+1)^2\)

\(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\)

3

\(f(x) = \frac{1}{x+1}\), para todos\(x \ne -1\)

\(f(x) = \frac{-1}{x+1}\), para todos\(x \ne -1\)

\(f(x) = \frac{1}{x^2}\), para todos\(x \ne 0\)

[exer:sqrtderiv]\(f(x) = \sqrt{x}\), para todos\(x > 0~\) (Pista: Racionalizar el numerador en la definición de la derivada.)

3

\(f(x) = \sqrt{x+1}\), para todos\(x > -1\)

\(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)

\(f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 4}\)

En Ejercicio [exer:sqrtderiv] el punto\(x=0\) fue excluido al calcular\(f'(x)\), aunque\(x=0\) esté en el dominio de\(f(x) = \sqrt{x}\). ¿Puede explicar por qué\(x=0\) se excluyó? [[1.] ]

Demostrar que para todas las funciones\(f\) tal que\(f'(x)\) existe,\(f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{w \to x} ~\dfrac{f(x) ~-~ f(w)}{x ~-~ w} ~\).

Verdadero o falso: Si\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables en un intervalo\((a,b)\) y\(f(x) < g(x)\) para all\(x\) in\((a,b)\), entonces\(f'(x) < g'(x)\) para all\(x\) in\((a,b)\). Si es cierto, demuéstralo; si es falso, da un contraejemplo. ¿Cambiaría su respuesta si\((a,b)\) se eliminara la restricción de\(x\) a y se\(x\) usaran en su lugar todos los reales?

Mostrar que la derivada de una función impar es una función par.

Para Ejercicios [exer:altderivfirst] - [exer:altderivlast], asumiendo que eso\(f'(x)\) existe, probar la fórmula dada. [[1.] ]

2

[exer:altderivfirst]\(f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + 2h) ~-~ f(x - 2h)}{4h} ~\)

\(f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + 3h) ~-~ f(x - 3h)}{6h} ~\)

2

\(f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + 2h) ~-~ f(x - 3h)}{5h} ~\)

\(f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + ah) ~-~ f(x - bh)}{(a+b)h} ~\quad\)(\(a,b>0\))

2

\(\displaystyle\lim_{w \to x} ~\dfrac{w\,f(x) ~-~ x\,f(w)}{w ~-~ x} ~=~ f(x) ~-~ x\,f'(x)\)

[exer:altderivlast]\(\displaystyle\lim_{w \to x} ~\dfrac{w^2\,f(x) ~-~ x^2\,f(w)}{w ~-~ x} ~=~ 2x\,f(x) ~-~ x^2\,f'(x)\)

Mostrar que no\(f(x) = \abs{x}\) es diferenciable en\(x=0\), usando la fórmula ([eqn:hderivada]) para la derivada. Aquí tendrás que usar una parte de la definición que aún no se ha utilizado: como se\(h\) acerca a 0,\(h\) puede ser positiva o negativa. Considerar esos dos casos al demostrar que el límite no está definido en\(x=0\).

Supongamos que\(f(a+b) = f(a)f(b)\) para todos\(a\) y\(b\), y\(f'(0)\) existe. Demostrar que\(f'(x)\) existe para todos\(x\).