1.4: Derivados de Sumas, Productos y Cocientes

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Derivados de Sumas, Productos y Cocientes

Hasta el momento se han calculado las derivadas de sólo unas pocas funciones simples. Las siguientes reglas facilitarán el cálculo de derivados de más funciones:

Las reglas anteriores se pueden escribir usando la notación prima para derivados: La prueba de la Regla de Suma es sencilla. Desde$\dfdx$ y$\dgdx$ ambos existen entonces:

\[\begin{aligned} \ddx\,(f + g) ~&=~ \dfrac{(f + g)(x + \dx) ~-~ (f + g)(x)}{\dx} ~=~ \dfrac{f(x + \dx) ~+~ g(x + \dx) ~-~ (f(x) ~+~ g(x))}{\dx}\

\ [6pt] &=~\ dfrac {f (x +\ dx) ~-~ f (x) ~+~ g (x +\ dx) ~-~ g (x)} {\ dx} ~=~\ dfrac {f (x +\ dx) ~-~ f (x)} {\ dx} ~+~\ dfrac {g (x +\ dx) ~-~ g (x)} {\ dx}\

\ [6pt] &=~\ dfdx ~+~\ dgdx\ qquad\ checkmark\ end {aligned}\] Las pruebas de la Diferencia y las Reglas Múltiples Constantes son similares y se dejan como ejercicios.

Obsérvese que por la Regla del Producto, en general el derivado de un producto no es el producto de los derivados. Es decir,$\frac{d(f \cdot g)}{\dx} \ne \dfdx \cdot \dgdx$. Esto debería ser obvio a partir de algunos ejemplos anteriores. Por ejemplo, si$f(x) = x$ y$g(x) = 1$$(f \cdot g)(x) = x \cdot 1 = x$ entonces eso$\frac{d(f \cdot g)}{\dx} = 1$, pero$\dfdx \cdot \dgdx = 1 \cdot 0 = 0$.

Hay una prueba de la Regla del Producto similar a la prueba de la Regla de Suma (ver Ejercicio 20), pero hay una manera más geométrica de ver por qué se mantiene la fórmula, que se describe a continuación.

Construir un rectángulo cuyos lados perpendiculares tengan longitudes$f(x)$ y$g(x)$ para algunos$x$, como en el dibujo de la derecha. Cambio$x$ por alguna cantidad infinitesimal$\dx$, que produce cambios infinitesimales$\df$ y$\dg$ en$f(x)$ y$g(x)$, respectivamente. Supongamos que esos cambios son positivos y extiende el rectángulo original por esas cantidades, creando un rectángulo más grande con lados perpendiculares$f(x + \dx)$ y$g(x + \dx)$. Entonces

\[\begin{aligned} d(f \cdot g) ~&=~ (f \cdot g)(x + \dx) ~-~ (f \cdot g)(x)\\ &=~ f(x + \dx) \cdot g(x + \dx) ~-~ f(x) \cdot g(x) &\\ &=~ \text{(area of outer rectangle)} ~-~ \text{(area of original rectangle)}\\ &=~ \text{sum of the areas of the three shaded inner rectangles}\\ &=~ f(x) \cdot \dg ~+~ g(x) \cdot \df ~+~ \df \cdot \dg\\ &=~ f(x) \cdot \dg ~+~ g(x) \cdot \df ~+~ (f'(x)\;\dx) \cdot (g'(x)\;\dx)\\ &=~ f(x) \cdot \dg ~+~ g(x) \cdot \df ~+~ (f'(x) g'(x)) \cdot (\dx)^2\\ &=~ f(x) \cdot \dg ~+~ g(x) \cdot \df ~+~ (f'(x) g'(x)) \cdot 0\\ d(f \cdot g) ~&=~ f(x) \cdot \dg ~+~ g(x) \cdot \df \quad\text{, so dividing both sides by $\dx$ yields}\

\ [6pt]\ frac {d (f\ cdot g)} {\ dx} ~&=~ f (x)\ cdot\ dgdx ~+~ g (x)\ cdot\ dfdx\ quad\ marca de verificación\ final {alineado}\]

Para probar la Regla del Cociente, vamos$y = \frac{f}{g}$, así$f = g \cdot y$. Si$y$ fuera una función diferenciable de$x$, entonces la Regla del Producto daría

\[\begin{gathered} \dfdx ~=~ \frac{d(g \cdot y)}{\dx} ~=~ g \cdot \dydx ~+~ y \cdot \dgdx ~=~ g \cdot \dydx ~+~ \frac{f}{g} \cdot \dgdx \quad\Rightarrow\quad g \cdot \dydx ~=~ \dfdx ~-~ \frac{f}{g} \cdot \dgdx\

\ [4pt]\ intertext {y así dividir ambos lados por $g$ y obtener un denominador común da}\ dydx ~=~\ frac {1} {g}\ cdot\ dfdx ~-~\ frac {f} {g^2}\ cdot\ dgdx ~=~\ dfrac {g\ cdot\ cdot\ dfdx ~-~ f\ cdot\ dgdx} {g^2}\ quad\ checkmark\ end {reunió}\] Un simple dispositivo mnemotécnico para recordar la Regla del Cociente es: write $\frac{f}{g}$como$\frac{\text{HI}}{\text{HO}}$ —de manera que HI representa la parte “alta” (numerador) del cociente y HO representa la parte “baja” (denominador), y pensar en$d$ HI y$d$ HO como las derivadas de HI y HO, respectivamente. Entonces$\ddx\left(\frac{f}{g}\right) ~=~ \frac{\text{HO} \cdot d\text{HI} ~-~ \text{HI} \cdot d\text{HO}}{\text{HO}^2}$, pronunciado como “ho-dee-hi menos hi-dee-ho sobre ho-ho”.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: derivtan

Agrega texto aquí.

Solución

Usa la Regla del Cociente para demostrarlo$\ddx\,(\tan\,x) = \sec^2 x$.

Solución: Desde$\tan\,x = \frac{\sin\,x}{\cos\,x}$ entonces:

\[\begin{aligned} \ddx\,(\tan\,x) ~&=~ \ddx\,\left(\frac{\sin\,x}{\cos\,x}\right) ~=~ \frac{(\cos\,x) \cdot \ddx\,(\sin\,x) ~-~ (\sin\,x) \cdot \ddx\,(\cos\,x)}{\cos^2 x} ~=~ \frac{(\cos\,x) \cdot (\cos\,x) ~-~ (\sin\,x) \cdot (-\sin\,x)}{\cos^2 x}\

\ [4pt] &=~\ frac {\ cos^2 x ~+~\ sin^2 x} {\ cos^2 x} ~=~\ frac {1} {\ cos^2 x} ~=~\ seg^2 x\ end {alineado}\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: derivsec

Agrega texto aquí.

Solución

Usa la Regla del Cociente para demostrarlo$\ddx\,(\sec\,x) = \sec\,x \; \tan\,x$.

Solución: Desde$\sec\,x = \frac{1}{\cos\,x}$ entonces:

\[\begin{aligned} \ddx\,(\sec\,x) ~&=~ \ddx\,\left(\frac{1}{\cos\,x}\right) ~=~ \frac{(\cos\,x) \cdot \ddx\,(1) ~-~ 1 \cdot \ddx\,(\cos\,x)}{\cos^2 x} ~=~ \frac{(\cos\,x) \cdot 0 ~-~ 1 \cdot (-\sin\,x)}{\cos^2 x}\

\ [4pt] &=~\ frac {\ sin\, x} {\ cos^2 x} ~=~\ frac {1} {\ cos\, x}\ cdot\ frac {\ sin\, x} {\ cos\, x} ~=~\ seg\, x\;\ tan\, x\ fin {alineado}\]

Similar a los ejemplos anteriores, las derivadas de$\cot\,x$ y se$\csc\,x$ pueden encontrar usando la Regla del Cociente (dejada como ejercicios). Las derivadas de las seis funciones trigonométricas son:

Tenga en cuenta que las Reglas de Suma y Diferencia se pueden aplicar a sumas y diferencias, respectivamente, de no solo dos funciones sino de cualquier número finito (entero) de funciones. Por ejemplo, para tres funciones diferenciables$f_1$$f_2$$f_3$, y

\[\begin{aligned} \ddx\,(f_1 + f_2 + f_3) ~&=~ \frac{\df_1}{\dx} ~+~ \ddx\,(f_2 + f_3) \quad\text{by the Sum Rule}\

\ [4pt] &=~\ frac {\ df_1} {\ dx} ~+~\ frac {\ df_2} {\ dx} ~+~\ frac {\ df_3} {\ dx}\ quad\ text {por la Regla de Suma otra vez.} \ end {aligned}\] Continuando así para cuatro funciones, luego cinco funciones, y así sucesivamente, las Reglas de Suma y Diferencia combinadas con la Regla Múltiple Constante dan la siguiente fórmula:

Tenga en cuenta que la fórmula anterior incluye diferencias, mediante el uso de constantes negativas. La fórmula también muestra que la diferenciación es una operación lineal, que hace$\ddx$ un operador lineal. La idea es que$\ddx$ “opera” sobre funciones diferenciables tomando sus derivadas con respecto a la variable$x$. A la suma$c_1 f_1 ~+~ \cdots ~+~ c_n f_n$ se le llama una combinación lineal de funciones, y la derivada de esa combinación lineal se puede tomar término por término, con los múltiplos constantes tomados fuera de las derivadas.

Un caso especial de la fórmula anterior es reemplazar las funciones$f_1$,$\ldots$,$f_n$ por potencias no negativas de$x$, haciendo de la suma un polinomio en$x$. En secciones anteriores se$x^2$ calcularon las derivadas de algunos polinomios, como$x$ y. Para la derivada de un polinomio general, se necesita la siguiente regla: Hay varias formas de probar esta fórmula; una de esas formas es una prueba por inducción, que en general significa usar el siguiente principio: ²³

La idea detrás de la inducción matemática es simple: si una declaración es verdadera sobre algún entero inicial$k$ (Paso 1 anterior) y si la declaración es verdadera para algún entero implica que es verdadera para el siguiente entero (Paso 2 anterior), entonces la declaración es verdadera para$k$ implica es cierto para$k+1$, lo que a su vez implica que es cierto para$k+2$, lo que implica que es cierto para$k+3$, y así sucesivamente, haciéndolo cierto para todos los enteros$n \ge k$.

Normalmente el entero inicial$k$ será 0 o 1. Para probar la regla de potencia para todos los enteros, primero use la inducción para probar la regla para todos los enteros no negativos$n \ge 0$, usando$k = 0$ para el entero inicial. Para la prueba por inducción, deje$P(n)$ ser la declaración:$\ddx\,\left(x^n\right) ~=~ n\,x^{n-1}$.

Demuestre que$P(0)$ es cierto.
Eso significa mostrar que la Regla de Poder se sostiene para$n = 0$, i.e$\ddx\,\left(x^0\right) ~=~ 0\,x^{0-1} = 0$. Pero$x^0 = 1$ es una constante, por lo que su derivada es 0. $\checkmark$
Asumiendo que$P(n)$ es cierto para algunos$n \ge 0$, demuestra que eso$P(n+1)$ es cierto.
Suponiendo eso$\ddx\,\left(x^n\right) ~=~ n\,x^{n-1}$, demuéstralo$\ddx\,\left(x^{n+1}\right) ~=~ (n + 1)\,x^{(n+1)-1} ~=~ (n + 1)\,x^n$. Se demostró en la Sección 1.2 que$\ddx\,(x) = 1$, así:
\[\begin{aligned} \ddx\,\left(x^{n+1}\right) ~&=~ \ddx\,\left( x \cdot x^n \right)\
\ [4pt] &=~ x\ cdot\ ddx\,\ left (x^n\ right) ~+~ x^n\ cdot\ ddx\,\ left (x\ right)\ quad\ text {(por la Regla del Producto)}\
\ [4pt] &=~ x\ cdot n\, x^ {n-1} ~+~ x^n\ cdot 1\ quad\ text {(por la suposición de que $P (n) $ es verdadero)}\
\ [4pt] &=~ n\, x^n ~+~ x^n ~=~ (n + 1)\, x^n\ quad\ marca de verificación\ end {alineado}\]

Así, por inducción, la Regla de Poder es cierta para todos los enteros no negativos$n \ge 0$.

Para demostrar que la Regla de Poder es verdadera para todos los enteros negativos$n < 0$, escriba$n = -m$, donde$m$ es positivo (es decir,$m = \abs{n}$). Entonces:

\[\begin{aligned} \ddx\,\left(x^n\right) ~&=~ \ddx\,\left(x^{-m}\right) ~=~ \ddx\,\left(\frac{1}{x^m}\right) ~=~ \frac{x^m \cdot \ddx\,(1) ~-~ 1 \cdot \ddx\,\left(x^m\right)}{\left(x^m\right)^2} \quad\text{(by the Quotient Rule)}\

\ [4pt] &=~\ frac {x^m\ cdot 0 ~-~ 1\ cdot m\, x^ {m-1}} {x^ {2m}}\ quad\ text {(por la regla de potencia para enteros positivos)}\

\ [4pt] &=~ -m\, x^ {m-1-2m} ~-~ m\, x^ {-m-1} ~=~ n\, x^ {n-1}\ quad\ checkmark\ end {aligned}\] Así, la Regla de Poder es cierta para todos los enteros, lo que completa la prueba.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: polyderiv

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de$f(x) = x^4 ~-~ 4x^3 ~+~ 6x^2 ~-~ 4x ~+~ 1$.

Solución: Diferenciar el término polinomio por término y usar la Regla de Poder:

\[\begin{aligned} \dfdx ~&=~ \ddx\,\left(x^4 ~-~ 4x^3 ~+~ 6x^2 ~-~ 4x ~+~ 1\right)\

\ [4pt] &=~\ ddx\,\ izquierda (x^4\ derecha) ~-~ 4\ cdot\ ddx\,\ izquierda (x^3\ derecha) ~+~ 6\ cdot\ ddx\,\ izquierda (x^2\ derecha) ~-~ 4\ cdot\ ddx\,\ izquierda (x\ derecha) ~+~\ ddx\,\ izquierda (1\ derecha)\

\ [4pt] &=~ 4x^ {4-1} ~-~ 4\ cdot 3x^ {3-1} ~+~ 6\ cdot 2x^ {2-1} ~-~ 4\ cdot 1 ~+~ 0\

\ [4pt] &=~ 4x^3 ~-~ 12x^2 ~+~ 12x ~-~ 4\ end {alineado}\]

En general, la derivada de un polinomio de grado$n \ge 0$ viene dada por: Una manera de recordar la Regla de Poder es: bajar el exponente frente a la variable y luego reducir el exponente original de la variable en 1. Esto funciona incluso para exponentes negativos.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: polyderiv2

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de$f(t) = 3t^{100} ~-~ \frac{2}{t^{100}}$.

Solución: Diferenciar término por término:

\[\dfdt ~=~ \ddt\,\left(3t^{100} ~-~ \frac{2}{t^{100}}\right) ~=~ \ddt\,\left( 3t^{100} ~-~ 2t^{-100}\right) ~=~ 3 \cdot 100t^{99} ~-~ 2 \cdot \left(-100t^{-101}\right) ~=~ 300t^{99} ~+~ \frac{200}{t^{101}}\]

[sec1dot4]

Para los Ejercicios 1-14, usa las reglas de esta sección para encontrar la derivada de la función dada.

$f(x) ~=~ x^2 ~-~ x ~-~ 1$

$f(x) ~=~ x^8 ~+~ 2x^4 ~+~ 1$

$f(x) ~=~ \dfrac{2x^6}{3} ~-~ \dfrac{3}{2x^6}$

$f(x) ~=~ \dfrac{\sin\,x ~+~ \cos\,x}{4}\vphantom{\dfrac{2x^6}{3}}$

$f(x) ~=~ x\;\sin\,x$

$f(x) ~=~ x^2\;\tan\,x$

$f(x) ~=~ \dfrac{\sin\,x}{x}$

$f(x) ~=~ \dfrac{\sin\,x}{x^2}$

$f(t) ~=~ \dfrac{2t}{1 + t^2}\vphantom{\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}}$

$g(t) ~=~ \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$

$f(x) ~=~ \dfrac{ax + b}{cx + d}$($a$,$b$,$c$,$d$ son constantes)

$F(r) ~=~ -\dfrac{G m_1 m_2}{r^2}$($G$,$m_1$,$m_2$ son constantes)

$A(r) ~=~ \pi\,r^2\vphantom{\dfrac{4}{3}}$

$V(r) ~=~ \dfrac{4}{3}\,\pi r^3$

Demuestre eso$\ddx \,(\cot\,x) ~=~ -\csc^2 x$.

Demuestre eso$\ddx \,(\csc\,x) ~=~ -\csc\,x \; \cot\,x$.

[[1.] ]

Demostrar la Regla de Diferencia.

Demostrar la Regla Múltiple Constante.

Utilice la Regla del Producto para demostrar que para tres funciones diferenciables$f$,$g$, y$h$, la derivada de su producto es$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. [[1.] ]

Proporcionar una prueba alternativa de la Regla del Producto para dos funciones diferenciables$f$ y$g$ de$x$:

Demuestre eso$(\df)(\dg) = 0$.
Por definición, el derivado del producto$f \cdot g$ es
\[\ddx\,(f \cdot g) ~=~ \frac{f(x+\dx) \cdot g(x+\dx) ~-~ f(x) \cdot g(x)}{\dx} ~.\]Usa esa fórmula junto con la parte (a) para mostrarlo$\ddx\,(f \cdot g) ~=~ f \cdot \dgdx ~+~ g \cdot \dfdx$.
(Pista: Recordemos eso$\df ~=~ f(x+\dx) ~-~ f(x)$.)