1.5: La regla de la cadena

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La regla de la cadena

De lo que se ha discutido hasta ahora puede resultar tentador pensar que la derivada de una función como$\sin\,2x$ es simplemente$\cos\,2x$, ya que la derivada de$\sin\,x$ es$\cos\,x$. Resulta que no es correcto:

\[\begin{aligned} \ddx\,(\sin\,2x) ~&=~ \ddx\,(2\;\sin\,x\;\cos\,x) \quad\text{(by the double-angle formula for sine)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ ddx\, (\ sin\, x\;\ cos\, x)\ quad\ text {(por la Regla Múltiple Constante)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ left (\ sin\, x\ cdot\ ddx\, (\ cos\, x) ~+~\ cos\, x\ cdot\ ddx\, (\ sin\, x)\ derecha)\ quad\ text {(por la Regla del Producto)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ izquierda (\ sin\, x\ cdot (-\ sin\, x) ~+~\ cos\, x\ cdot\ cos\, x\ cdot\ cos\, x\ derecha)\

\ [4pt] &=~ 2\;\ izquierda (\ cos^2 x ~-~\ sen ^2 x\ derecha)\

\ [4pt] &=~ 2\;\ cos\ ,2x\ quad\ text {(por la fórmula de doble ángulo para coseno)}\ end {alineado}\] Entonces la derivada de$\sin\,2x$ es$2\,\cos\,2x$, no$\cos\,2x$.

En otras palabras, no se puede simplemente reemplazar$x$ por$2x$ en la fórmula derivada para$\sin\,x$. En cambio, considerar$\sin\,2x$ como una composición de dos funciones: la función sinusoidal y la$2x$ función. Es decir, let$f(u) = \sin\,u$, donde la$u$ propia variable representa una función de otra variable$x$, a saber$u(x) = 2x$. Entonces ya que$f$ es una función de$u$, y$u$ es una función de$x$, entonces$f$ es una función de$x$, a saber:$f(x) = \sin\,2x$. Dado que$f$ es una función diferenciable de$u$, y$u$ es una función diferenciable de$x$, entonces$\dfdu$ y$\dudx$ ambos existen (con$\dfdu = \cos\,u$ y$\dudx = 2$), y multiplicar las derivadas muestra que$f$ es una función diferenciable de$x$:

\[\begin{aligned} \frac{\df}{\cancel{\du}} \cdot \frac{\cancel{\du}}{\dx} ~&=~ \dfdx \quad\text{since the infinitesimals $\du$ cancel, so}\

\ [4pt] (\ cos\, u)\ cdot 2 ~&=~\ dfdx\ quad\ Rightarrow\ quad\ dfdx ~=~ 2\;\ cos\, u ~=~ 2\;\ cos\ ,2x\ end {aligned}\] El argumento anterior se mantiene en general, y se conoce como la Regla de la Cadena: Observe lo simple que es la prueba—los infinitesimales$\du$ cancelan. ²⁴

La Regla de las Cadenas debe tener sentido intuitivamente. Por ejemplo, si$\dfdu = 4$ entonces eso significa que$f$ está aumentando 4 veces más rápido como$u$, y si$\dudx = 3$ entonces$u$ está aumentando 3 veces más rápido como$x$, entonces en general$f$ debería estar aumentando$12 = 4 \cdot 3$ veces tan rápido como$x$, exactamente como dice la Regla de la Cadena.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: sinx2pxp1deriv

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de$f(x) = \sin\,(x^2 + x + 1)$.

Solución: La idea es hacer una sustitución$u = x^2 + x + 1$ para que$f(x) = \sin\,u$. Por la regla de la cadena,

\[\begin{aligned} \dfdx ~&=~ \dfdu \cdot \dudx\

\ [4pt] &=~\ ddu\, (\ sin\, u)\;\ cdot\;\ ddx\, (x^2 + x + 1)\

\ [4pt] &=~ (\ cos\, u)\ cdot (2x + 1)\

\ [4pt] &=~ (2x + 1)\,\ cos\, (x^2 + x + 1)\ end {aligned}\] después de sustituir$u$ por su definición como una función de$x$ en el último paso; la respuesta final para la derivada debe ser en términos de$x$, no$u$.

En la Regla de Cadena se puede pensar en la función en cuestión como la composición de una función “externa”$f$ y una función “interna”$u$; primero tomar la derivada de la función “externa” y luego multiplicar por la derivada de la función “interna”. Piensa en la función “interna” como una caja en la que puedes poner cualquier función de$x$, y la función “externa” es una función de esa caja vacía.

Por ejemplo, para la función del ejemplo anterior, piense$f(x) = \sin\,(x^2 + x + 1)$ en la función “externa” como$\sin\,\Box$, donde$\Box = x^2 + x + 1$ está la función “interna”, de modo que

\[\begin{aligned} f(x) ~&=~ \sin\,(x^2 + x + 1)\\ &=~ \sin\,\Box\\ \dfdx ~&=~ \left(\cos\,\Box\right) \;\cdot\; \ddx\,\Box\

\ [4pt] &=~\ izquierda (\ cos\,\ setlength {\ fboxsep} {2pt}\ en caja {x^2 + x + 1}\ derecha)\;\ cdot\;\ ddx\,\ setlength {\ fboxsep} {2pt}\ en caja {x^2 + x + 1}\

\ [4pt] &=~ (2x + 1)\,\ cos\, (x^2 + x + 1)\ end {alineado}\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: chainrulepow

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de$f(x) = (2x^4 - 3\cos\,x)^{10}$.

Solución: Aquí está la función “externa”$f(\Box) = \Box^{10}$ y la función “interna” es$\Box = u = 2x^4 - 3\cos\,x$:

\[\dfdx ~=~ \dfdu \cdot \dudx ~=~ 10\,\Box^9 \;\cdot\; \ddx\,(\Box) ~=~ 10\,(2x^4 - 3\cos\,x)^9 \;(8x^3 + 3\sin\,x)\]

Recordemos que la composición$f \circ g$ de dos funciones$f$ y$g$ se define como$(f \circ g)(x) = f(g(x))$. Usando notación prima, la regla de cadena se puede escribir como:

Usando la Regla de Cadena, la Regla de Poder se puede extender para incluir exponentes que son números racionales: ²⁵ Para probar esto$r = m/n$, let, donde$m$ y$n$ son enteros con$n \ne 0$. Entonces$y = x^r = x^{m/n} = \left(x^m\right)^{1/n}$, para eso$y^n = x^m$. Tomando la derivada con respecto a$x$ ambos lados de esta ecuación da

\[\begin{aligned} \ddx\,\left(y^n\right) ~&=~ \ddx\,\left(x^m\right) \quad\text{, so evaluating the left side by the Chain Rule gives}\

\ [4pt] n y^ {n-1}\;\ cdot\;\ dydx ~&=~ m x^ {m-1}\

\ [4pt] n\ izquierda (x^ {m/n}\ derecha) ^ {n-1}\;\ cdot\;\ dydx ~&=~ m x^ {m-1}\

\ [4pt]\ dydx ~&=~\ frac {m x^ {m-1}} {n x^ {m - (m/n)}} ~=~\ frac {m} {n}\, x^ {m - 1 - (m - (m/n))} ~=~\ frac {m} {n}\, x^ {(m/n) - 1} ~=~ r\, x^ {r-1}\ quad\ marca de verificación\ final {alineado}\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: derivsqrtx

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de$f(x) = \sqrt{x}$.

Solución: Desde$\sqrt{x} = x^{1/2}$ entonces por la Regla de Poder:

\[\dfdx ~=~ \ddx\,\left(x^{1/2}\right) ~=~ \frac{1}{2}\,x^{1/2 - 1} ~=~ \frac{1}{2}\,x^{-1/2} ~=~ \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: deriv1oversqrtx

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la derivada de$f(x) = \frac{2}{3\sqrt{x}}$.

\[\dfdx ~=~ \ddx\,\left(\frac{2}{3}\,x^{-1/2}\right) ~=~ \frac{2}{3} \cdot \frac{-1}{2}\,x^{-3/2} ~=~ -\frac{1}{3\,x^{3/2}}\]

[sec1dot5]

Para Ejercicios 1-18, encuentra la derivada de la función dada.

$f(x) ~=~ (1 ~-~ 5x)^4$

$f(x) ~=~ 5\,(x^3 ~+~ x ~-~ 1)^4$

\(f(x) ~=~ \sqrt{1 ~-~ 2x}\vphantom

ParseError: ")" expected (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Libro:_Calculo_elemental_(Corral)/01:_El_Derivado/1.05:_La_regla_de_la_cadena), /content/body/div/p[87]/span/span, line 1, column 5

$f(x) ~=~ (1 ~-~ x^2 )^{\tfrac{3}{2}}$

$f(x) ~=~ \dfrac{\sqrt{x}}{x ~+~ 1}$

$f(x) ~=~ \dfrac{\sqrt{x} ~+~ 1}{\sqrt{x} ~-~ 1}$

$f(t) ~=~ \left(\dfrac{1 ~-~ t}{1 ~+~ t}\right)^4\vphantom{\left(\dfrac{x^2 ~+~ 1}{x ~-~ 1}\right)^6}$

$f(x) ~=~ \left(\dfrac{x^2 ~+~ 1}{x ~-~ 1}\right)^6$

$f(x) ~=~ \sin^2 x$

$f(x) ~=~ \cos\,\left(\sqrt{x}\right)$

$f(x) ~=~ 3 \tan\,(5x)$

$f(x) ~=~ A\,\cos\,(\omega x ~+~ \phi)$($A$,$\omega$,$\phi$ son constantes)

$f(x) ~=~ \sec\,(x^2)\vphantom{\left(\dfrac{1}{1 - x}\right)}$

$f(x) ~=~ \sin^2 \left(\dfrac{1}{1 - x}\right) ~+~ \cos^2 \left(\dfrac{1}{1 - x}\right)$

$L(\beta) ~=~ \dfrac{1}{\sqrt{1 ~-~ \beta^2}}\vphantom{\left(1 ~+~ \left(\dfrac{x - l}{s}\right)^2\right)^{-1}}$

$f(x) ~=~ \dfrac{1}{\pi s}\left(1 ~+~ \left(\dfrac{x - l}{s}\right)^2\right)^{-1}$($s$,$l$ son constantes)

$f(x) ~=~ \cos\,(\cos\,x)$

$f(x) ~=~ \sqrt{1 ~+~ \sqrt{x}}$

[[1.] ]

En cierto tipo de circuito electrónico ²⁶ la ganancia total$A_v$ viene dada por

\[A_v ~=~ \frac{A_o}{1 ~-~ T}\]donde la ganancia de bucle$T$ es una función de la ganancia de bucle abierto$A_o$.

Demostrar que
\[\frac{d \negmedspace A_v}{d\!A_o} ~=~ \frac{1}{1 ~-~ T} ~-~ \frac{A_o}{(1 ~-~ T)^2} \frac{d \negmedspace (1 - T)}{d\!A_o} ~.\]
En el caso de$T$ que sea directamente proporcional a$A_o$, utilice la parte (a) para demostrar que
\[\frac{d \negmedspace A_v}{d\!A_o} ~=~ \frac{1}{(1 ~-~ T)^2} ~.\](Pista: Primero$\;A_o \cdot \frac{d \negmedspace (1 - T)}{d\!A_o} ~=~ -T$ demuéstralo.)

Mostrar que la Regla de Cadena se puede extender a 3 funciones: si$u$ es una función diferenciable de$x$,$v$ es una función diferenciable de$u$, y$f$ es una función diferenciable de$v$, entonces

\[\dfdx ~=~ \dfdv \;\cdot\; \dvdu \;\cdot\; \dudx\]por lo que$f$ es una función diferenciable de$x$. Observe que las 3 derivadas están unidas entre sí como en una cadena (de ahí el nombre de la regla). La Regla de Cadena se puede extender a cualquier número finito de funciones mediante la técnica anterior.

En un motor de combustión interna, a medida que un pistón se mueve hacia abajo, la biela gira la manivela en el sentido de las agujas del reloj, como se muestra en la Figura [fig:crank] abajo ²⁷

El punto sólo$A$ puede moverse verticalmente, haciendo que el punto$B$ se mueva alrededor de un círculo de radio$a$ centrado en el punto$O$, que está directamente debajo del punto$A$ y no se mueve. A medida que la manivela gira hace un ángulo$\theta$ con la línea$\overline{OA}$. Vamos$l = AB$ y$s = OA$ como en la imagen. Supongamos que todas las longitudes se miden en centímetros, y deja que la variable de tiempo$t$ se mida en minutos.

$s ~=~ a \cos\,\theta ~+~ \left(l^2 ~-~ a^2 \sin^2\theta\right)^{1/2}~$Demuéstralo para$0 \le \theta \le \pi$.
La velocidad media del pistón es$\bar{S}_p = 2LN$, donde$L = 2a$ está la carrera del pistón, y$N$ es la velocidad de rotación del cigüeñal, medida en revoluciones por minuto (rpm). La velocidad instantánea del pistón es$S_p = \dsdt$. Vamos$R = l/a$. Demostrar que para$0 \le \theta \le \pi$,
\[\ABS{\frac{S_p}{\bar{S}_p}} ~=~ \frac{\pi}{2}\,\sin\,\theta \left[1 ~+~ \frac{\cos\,\theta}{\left(R^2 - \sin^2\theta\right)^{1/2}}\right] ~~.\]