3.1: Líneas tangentes

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Todo el mundo sabe que la Tierra no es plana, sino localmente, por ejemplo, en sus inmediaciones, ¿no es efectivamente plana la Tierra? En otras palabras, “plano” es una aproximación bastante buena de la superficie de la Tierra “cerca” de ti, y simplifica las cosas lo suficiente como para que hagas algunas cosas útiles.

Esta idea de aproximar formas curvas por formas rectas es un tema frecuente en el cálculo. Recordemos del Capítulo 1 que por la Propiedad de Microrectitud una curva diferenciable$y = f(x)$ en realidad es una línea recta sobre un intervalo infinitesimal, teniendo pendiente$\dydx$. La extensión de esa línea a todos los valores de$x$ se llama la línea tangente:

La figura [fig:tangentline] a la derecha muestra la línea tangente a una curva$y = f(x)$ en un punto$P$. Si tuvieras que mirar la curva cercana$P$ con un microscopio, se vería casi idéntica a su línea tangente a través$P$. ¿Por qué esta línea, de todas las líneas posibles a$P$ través de, es una aproximación tan buena de la curva cerca$P$? Es porque en el punto$P$ la línea tangente y la curva ambas tienen la misma tasa de cambio, es decir,$f'(a)$. Entonces los valores de la curva y los valores de la línea cambian aproximadamente en la misma cantidad ligeramente alejados de$P$ (donde la línea y la curva tienen el mismo valor), haciendo que sus valores sean casi iguales.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: tangentline1

Encuentra la línea tangente a la curva$y = x^2$ en$x = 1$.

Solución

Por fórmula ([eqn:tangentline]), la ecuación de la línea tangente es

\[y ~-~ f(a) ~=~ f'(a) \cdot (x - a)\]con$a = 1$ y$f(x) = x^2$. Entonces$f(a) = f(1) = 1^2 = 1$. Tanto la curva$y = x^2$ como la línea tangente pasan por el punto$(1, f(1)) = (1,1)$. La derivada de$f(x) = x^2$ es$f'(x) = 2x$, así$f'(a) = f'(1) = 2(1) = 2$, que es la pendiente de la línea tangente en$(1,1)$. De ahí que la ecuación de la línea tangente sea$y - 1 = 2(x - 1)$, o (en forma pendiente-intersección)$y = 2x - 1$.

La curva y la línea tangente se muestran en la Figura [fig:tangentlinea1]. Cerca del punto$(1,1)$ la curva y la línea tangente están muy juntas, pero la separación crece más lejos de ese punto, especialmente en la$x$ dirección negativa.

En trigonometría probablemente aprendiste sobre líneas tangentes a círculos, donde una línea tangente se define como la línea única que toca el círculo en un solo punto, como en la figura de la derecha. En este caso la línea tangente está siempre en un lado del círculo, es decir, el exterior del círculo; no corta el interior del círculo. De hecho, esa definición es un caso especial de la definición de cálculo. En general, sin embargo, la línea tangente a cualquier otro tipo de curva no necesariamente estará en un solo lado de la curva, como lo fue en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: tangentline1

Agrega texto aquí.

Solución

Ejemplo$\PageIndex{1}$: tangentline2

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la línea tangente a la curva$y = x^3$ en$x = 0$.

Solución: Usar fórmula ([eqn:tangentline]) con$a = 0$ y$f(x) = x^3$. Entonces$f(a) = f(0) = 0^3 = 0$. El derivado de$f(x) = x^3$ es$f'(x) = 3x^2$, entonces$f'(a) = f'(0) = 3(0)^2 = 0$. De ahí que la ecuación de la línea tangente es${y - 0 = 0(x - 0)}$, que es$y = 0$. En otras palabras, la línea tangente es el$x$ eje -mismo.

Como se muestra en la Figura [fig:tangentline2], la línea tangente corta a través de la curva. En general es posible que una línea tangente intersecte la curva en más de un punto, dependiendo de la función.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: tangentline3

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la línea tangente a la curva$y = \sin\,x$ en$x = 0$.

Solución: Usar fórmula ([eqn:tangentline]) con$a = 0$ y$f(x) = \sin\,x$. Entonces$f(a) = f(0) = \sin\,0 = 0$. El derivado de$f(x) = \sin\,x$ es$f'(x) = \cos\,x$, entonces$f'(a) = f'(0) = \cos\,0 = 1$. De ahí que la ecuación de la línea tangente es${y - 0 = 1(x - 0)}$, que es$y = x$, como en la Figura [fig:tangentline3]. Cerca$x = 0$, la línea tangente$y = x$ está cerca de la línea$y = \sin\,x$, que se mostró en la Sección 1.3 (es decir,$\sin\,\dx = \dx$,$\sin\,x \approx x$ para que para$x \ll 1$).

Hay varias cosas importantes a tener en cuenta sobre las líneas tangentes:

La pendiente de la línea tangente de una curva es la pendiente de la curva.
Dado que la pendiente de una línea tangente es igual a la derivada de la curva en el punto de tangencia, la pendiente de una curva en un punto determinado se puede definir como la pendiente de su línea tangente en ese punto. Por lo que las curvas pueden tener pendientes variables, dependiendo del punto, a diferencia de las líneas rectas, que tienen una pendiente constante. Una manera fácil de recordar todo esto es pensar “pendiente = derivada”.
La línea tangente a una recta es la línea recta misma.
Esto se desprende fácilmente de la definición de una línea tangente, pero también es fácil de ver con la idea de “pendiente = derivada”: la pendiente de una línea recta (es decir, derivada) nunca cambia, por lo que su línea tangente, que tiene la misma pendiente, será paralela y por lo tanto debe coincidir con la recta (ya que tener los puntos de tangencia en común). Por ejemplo, la línea tangente a la recta$y = -3x + 2$ está$y = -3x + 2$ en cada punto de la línea recta.
La línea tangente puede ser pensada como un límite de líneas secantes.
Una línea secante a una curva es una línea que pasa por dos puntos en la curva. La figura [fig:secantline] muestra una línea secante$L_{PQ}$ que pasa por los puntos$P = (x_0,f(x_0))$ y$Q = (w,f(w))$ en la curva$y = f(x)$,
A medida que el punto$Q$ se mueve a lo largo de la curva hacia$P$, la línea$L_{PQ}$ se acerca a la línea tangente$T_P$ en el punto$P$, siempre que la curva sea suave en$P$ (es decir,$f'(x_0)$ existe). Esto se debe a que la pendiente de$L_{PQ}$ es$(f(w) - f(x_0))/(w - x_0)$, y así

\[\lim_{Q \to P} ~ \left(\text{slope of } L_{PQ}\right) ~=~ \lim_{w \to x_0} ~\frac{f(w) ~-~ f(x_0)}{w ~-~ x_0} ~=~ f'(x_0) ~=~ \text{slope of } T_P\]lo que significa que a medida que$Q$ se acerca$P$ el “límite” de la línea secante$L_{PQ}$ tiene la misma pendiente y pasa por el$P$ mismo punto que la línea tangente$T_P$.
Las curvas suaves tienen líneas tangentes, las curvas no suaves no.
Por ejemplo, piense en la función de valor absoluto$f(x) = \abs{x}$. Su gráfica tiene un borde afilado en el punto$(0,0)$, haciéndola no lisa allí, como se muestra en la Figura [fig:tangentnonsmooth] (a) abajo. No hay manera real de definir una línea tangente at$(0,0)$, porque como se menciona en la Sección 1.2, la derivada de$f(x)$ no existe en$x = 0$. Lo mismo es cierto para las curvas con cúspides, como en la Figura [fig:tangentnonsmooth] (b).
Muchas líneas pasan por el punto de no suavidad, algunas de las cuales están indicadas por las líneas discontinuas en las figuras anteriores, pero ninguna de ellas puede ser la línea tangente. Los bordes afilados y las cúspides deben “suavizarse” para tener una línea tangente.

A medida que un punto se mueve a lo largo de una curva suave, las líneas tangentes correspondientes a la curva forman ángulos variables con el$x$ eje positivo, por lo tanto, el ángulo es función de$x$. Dejar$\phi = \phi(x)$ ser el ángulo más pequeño que la línea tangente$L$ a una curva$y = f(x)$ hace con el$x$ eje positivo, de modo que$-90\Degrees < \phi(x) <90\Degrees$ para todos$x$ (ver Figura [fig:tangentangle]).

Como muestra la Figura [fig:tangentangle],$-90\Degrees < \phi(x) < 0\Degrees$ cuando la línea tangente$L$ tiene pendiente negativa,$0\Degrees < \phi(x) < 90\Degrees$ cuando$L$ tiene pendiente positiva, y$\phi(x)=0\Degrees$ cuando$L$ es horizontal (es decir, tiene pendiente cero). La pendiente de una línea suele definirse como la subida dividida por la carrera en un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura de la derecha. La figura muestra también que por definición de la tangente de un ángulo,$\tan\,\phi(x)$ también es igual a la subida (opuesta) sobre carrera (adyacente). Así, ya que la pendiente de$L$ es$f'(x)$, esto significa que$\tan\,\phi(x) = f'(x)$. En otras palabras:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: tangentangle

Encuentra el ángulo$\phi$ que la línea tangente a la curva$y=e^{2x}$$x = -\frac{1}{2}$ hace con el$x$ eje positivo, tal que$-90\Degrees < \phi < 90\Degrees$.

Solución

El ángulo es$\phi = \phi(-1/2) = \tan^{-1} f`(-1/2)$, dónde$f(x) = e^{2x}$. Desde$f'(x) = 2e^{2x}$ entonces

\[\phi ~=~ \phi(-1/2) ~=~ \tan^{-1} f`(-1/2) ~=~ \tan^{-1} 2e^{-1} ~=~ \tan^{-1} 0.7358 ~=~ 36.3\Degrees ~.\]La figura de la derecha muestra la línea tangente$L$ a la curva en$x = -\frac{1}{2}$ y el ángulo$\phi$.

Aprendiste sobre las líneas perpendiculares en geometría elemental. La figura [fig:normalline] muestra la forma natural de definir cómo una línea$N$ puede ser perpendicular a una curva$y=f(x)$ en un punto$P$ de la curva: la línea es perpendicular a la línea tangente de la curva en$P$. Llame a esta línea$N$ la línea normal a la curva en$P$. Dado que$N$ y$L$ son perpendiculares, sus pendientes son recíprocas negativas entre sí (siempre que ninguna pendiente sea 0). La ecuación de la línea normal sigue fácilmente:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: normalline

Encuentra la línea normal a la curva$y = x^2$ en$x = 1$. (Nota: Esta es la curva de Ejemplo.)

Solución

La ecuación de la línea normal es

\[y ~-~ f(a) ~=~ -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x - a)\]

con$a = 1$,$f(x) = x^2$, y$f'(x) = 2x$. Entonces$f(a) = 1$ y$f'(a) = 2$. De ahí que la ecuación de la línea normal sea$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$, o (en forma pendiente-intercepción)$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

[sec3dot1

Para los Ejercicios 1-12, encuentre la ecuación de la línea tangente a la curva$y = f(x)$ en$x = a$.

$f(x) ~=~ x^2 ~+~ 1$; en$x = 2$

$f(x) ~=~ x^2 ~-~ 1$; en$x = 2$

$f(x) ~=~ -x^2 ~+~ 1$; en$x = 3$

$f(x) ~=~ 1$; en$x = -1$

$f(x) ~=~ 4x$; en$x = 1$

$f(x) ~=~ e^x$; en$x = 0$

$f(x) ~=~ x^2 ~-~ 3x ~+~ 7$; en$x = 2\vphantom{\dfrac{x ~+~ 1}{x ~-~ 1}}$

$f(x) ~=~ \dfrac{x ~+~ 1}{x ~-~ 1}$; en$x = 0$

$f(x) ~=~ (x^3 ~+~ 2x ~-~ 1)^3$; en$x = -1\vphantom{\dfrac{x ~+~ 1}{x ~-~ 1}}$

$f(x) ~=~ \tan\,x$; en$x = 0$

$f(x) ~=~ \sin\,2x$; en$x = 0$

$f(x) ~=~ \sqrt{1 ~-~ x^2}$; en$x = 1/\sqrt{2}$

Encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes a la curva$y = x^3 - 2x^2 + 4x + 1$ que son paralelas a la línea$y = 3x - 5$.

Dibuje un ejemplo de una curva que tenga una línea tangente que intersecta la curva en más de un punto. Para los Ejercicios 15-17, encuentra el ángulo$\phi$ que la línea tangente a la curva$y=f(x)$$x=a$ en forma con el$x$ eje positivo, tal que$-90\Degrees < \phi < 90\Degrees$. [[1.] ]

$f(x) ~=~ x^2$; en$x = 2$

$f(x) ~=~ \cos\,2x$; en$x = \pi/6$

$f(x) ~=~ x^2 ~+~ 2x ~-~ 3$; en$x = -1$

Mostrar que si$\phi(x)$ es el ángulo que la línea tangente a una curva$y = f(x)$ hace con el$x$ eje positivo tal que$0\Degrees \le \phi(x) < 180\Degrees$, entonces

\ [\ phi (x) ~=~\ begin {casos} ~\ cos^ {-1}\ izquierda (\ dfrac {1} {\ sqrt {1 ~+~ (f' (x)) ^2}}\ derecha) &\ text {cuando $f' (x)\ ge 0$}\

\[12pt] ~\cos^{-1} \left(\dfrac{-1}{\sqrt{1 ~+~ (f'(x))^2}}\right) & \text{when $f'(x) < 0$.} \end{cases}\](Sugerencia: Dibuja un triángulo rectángulo.) Para los Ejercicios 19-21, encuentra el ángulo$\phi$ que la línea tangente a la curva$y=f(x)$$x=a$ en forma con el$x$ eje positivo, tal que$0\Degrees \le \phi < 180\Degrees$. [[1.] ]

$f(x) ~=~ x^2$; en$x = -1$

$f(x) ~=~ e^{-x}$; en$x = 1$

$f(x) ~=~ \ln 2x$; en$x = 10$

Para Ejercicios 22-24, encuentre la ecuación de la línea normal a la curva$y = f(x)$ en$x = a$. [[1.] ]

$f(x) ~=~ \sqrt{x}$; en$x = 4$

$f(x) ~=~ x^2 ~+~ 1$; en$x = 2$

$f(x) ~=~ x^2 ~-~ 7x ~+~ 4$; en$x = 3$

Encuentra las ecuaciones de las líneas normales a la curva$y = x^3 - 2x^2 - 11x + 3$ que tienen una pendiente de$-\frac{1}{4}$. [[1.] ]

Mostrar que el área del triángulo formado por el$x$ eje -eje, el$y$ eje -y la línea tangente a la curva$y = 1/x$ en cualquier punto$P$ es constante (es decir, el área es la misma para todos$P$).

Para una constante$a > 0$, deja$P$ ser un punto en la curva$y = ax^2$, y deja$Q$ ser el punto donde la línea tangente a la curva en$P$ intersecta el$y$ eje -eje. Mostrar que el$x$ eje -seca el segmento de línea$\overline{PQ}$.

Dejar$P$ ser un punto en la curva$y = 1/x$ en el primer cuadrante, y dejar$Q$ ser el punto donde la línea tangente a la curva en$P$ intersecta el$x$ eje -eje. Mostrar que el triángulo$\Delta\,POQ$ es isósceles, donde$O$ está el origen.

Por ejemplo, véase la Sección 2.2 en Protter, M.H. y C.B. Morrey, A First Course in Real Analysis, Nueva York: Springer-Verlag, 1977. ↩
Para una prueba, véase pp.89-91 en Protter, M.H. y C.B. Morrey, A First Course in Real Analysis, Nueva York: Springer-Verlag, 1977. ↩
Ver p.154-159 en francés, A.P., Relatividad Especial, Surrey, Reino Unido: Thomas Nelson & Sons Ltd., 1968. ↩
Las pruebas completas requieren algunos resultados avanzados. Ver pp.97-98 y p.558 en Taylor, A.E. y W.R. Mann, Cálculo avanzado, 2a ed., Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1972. ↩
Por ejemplo, véase la Sección 12.2 en Buchmann, J.A., Introducción a la criptografía, Nueva York: Springer-Verlag, 2001. ↩
Consulte la documentación en http://www.gnuplot.info/documentation.html ↩
Con mayor precisión, muchos libros de texto de cálculo actuales nunca los mencionan. Los textos de cálculo hasta la década de 1930 o así no sólo mencionaban infinitesimales sino que los utilizaban extensamente, incluso hasta el punto de que los propios textos tuvieran títulos como Introducción al Cálculo Infinitesimal. ↩
Aunque a menudo de una manera poco clara y a veces confusa y engañosa, como se verá más adelante en esta sección. ↩
Para otras formulaciones véase el Capítulo 1 en Rosser, J.B., R.R. Newton y G.L. Gross, Mathematical Theory of Rocket Flight, Nueva York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1947. ↩
Para una excelente visión general sobre este tema, consulte Dray, T. y C.A. Manogue, Poniendo diferenciales de nuevo en el cálculo, Matemáticas universitarias. J. 41 (2010), 90100. Parte del material de esta sección está en deuda con ese documento, el cual está disponible en www.math.oregonstate.edu/bridge/papers/differentials.pdf ↩