3.2: Límites- Definición Formal

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Hasta ahora solo se ha utilizado la noción intuitiva de un límite, a saber:

Esa noción se puede poner en términos de una definición formal de la siguiente manera:

Una forma visual de pensar de esta definición se muestra en la Figura [fig:limit] a continuación:

La figura [fig:limit] dice que para cualquier intervalo alrededor$L$ del$y$ eje -podrá encontrar al menos un pequeño intervalo alrededor$x = a$ (pero excluyendo$a$) en el$x$ eje -que la función$y=f(x)$ mapea completamente dentro de ese intervalo en el$y$ eje -eje. Elegir intervalos más pequeños alrededor$L$ del$y$ eje -podría obligarle a encontrar intervalos más pequeños alrededor$a$ del$x$ eje.

En la Figura [fig:limit],$f(x)$ se hace arbitrariamente cerca de$L$ (dentro de cualquier distancia$\epsilon > 0$) mediante el picking$x$ suficientemente cerca de$a$ (dentro de cierta distancia$\delta > 0$). Dado que$0 < \abs{x - a} < \delta$ significa que$x = a$ en sí mismo está excluido, el punto sólido en$(a,L)$ podría incluso ser un punto hueco. Es decir,$f(a)$ no tiene que igualar$L$, ni siquiera definirse;$f(x)$ solo hay que acercarse$L$ como$x$ enfoques$a$. Así —quizás de manera contraintuitiva— la existencia del límite no depende en realidad de lo que suceda en$x=a$ sí mismo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limx

Agrega texto aquí.

Solución

Demuéstralo$\displaystyle\lim_{x \to a} ~x = a\,$ para cualquier número real$a$.

Solución: Aunque el límite es obvio, la siguiente prueba “épsilon-delta” muestra cómo usar la definición formal. La idea es dejar que$\epsilon > 0$ se dé, luego “trabajar hacia atrás” de la desigualdad$\abs{f(x)-L} < \epsilon$ para obtener una desigualdad de la forma$\abs{x-a} < \delta$, de donde$\delta > 0$ suele depender$\epsilon$. En este caso el límite es$L = a$ y la función es$f(x) = x$, así que desde

\[\begin{aligned} \abs{f(x)-a} < \epsilon \quad&\Leftrightarrow\quad \abs{x-a} < \epsilon ~,\\ \intertext{then choosing $\delta = \epsilon$ means that} 0 < \abs{x-a} < \delta \quad&\Rightarrow\quad \abs{x-a} < \epsilon \quad\Rightarrow\quad \abs{f(x)-a} < \epsilon ~, \end{aligned}\]lo que por definición significa eso$\displaystyle\lim_{x \to a} ~x = a$.

Calcular límites de esta manera puede parecer una tontería desde entonces, como en el Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limx

Agrega texto aquí.

Solución

—requiere un esfuerzo extra para un resultado que es obvio. La definición formal se utiliza con mayor frecuencia en pruebas de resultados generales y teoremas. Por ejemplo, las reglas para los límites, enumeradas en la Sección 1.2, pueden probarse usando la definición formal.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limsum

Agrega texto aquí.

Solución

Supongamos que eso$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ y$\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)$ ambos existen. Demostrar que

\[\lim_{x \to a} ~(f(x) + g(x)) ~=~ \left(\lim_{x \to a} ~f(x)\right) ~+~ \left(\lim_{x \to a} ~g(x)\right)\]

Solución: Dejar$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L_1$ y$\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = L_2$. El objetivo es demostrar eso$\displaystyle\lim_{x \to a} ~(f(x) + g(x)) = L_1 + L_2$. Así que vamos$\epsilon > 0$. Entonces$\epsilon/2 > 0$, y así por definición existen números$\delta_1 > 0$ y$\delta_2 > 0$ tal que

\[\begin{aligned} 0 < \abs{x - a} < \delta_1 \quad&\Rightarrow\quad \abs{f(x) ~-~ L_1} < \epsilon/2~\text{, and}\\ 0 < \abs{x - a} < \delta_2 \quad&\Rightarrow\quad \abs{g(x) ~-~ L_2} < \epsilon/2 ~.\end{aligned}\]Ahora vamos$\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Entonces$\delta > 0$ y

\[\begin{aligned} 0 < \abs{x - a} < \delta \quad&\Rightarrow\quad 0 < \abs{x - a} < \delta_1 \quad\text{and}\quad 0 < \abs{x - a} < \delta_2\\ &\Rightarrow\quad \abs{f(x) ~-~ L_1} < \epsilon/2 \quad\text{and}\quad \abs{g(x) ~-~ L_2} < \epsilon/2\end{aligned}\]Ya que$\abs{A+B} \le \abs{A} + \abs{B}$ para todos los números reales$A$ y$B$, entonces

\[\abs{f(x) ~+~ g(x) ~-~ (L_1 + L_2)} ~=~ \abs{(f(x) ~-~ L_1) ~+~ (g(x) ~-~ L_2)} ~\le~ \abs{f(x) ~-~ L_1} ~+~ \abs{g(x) ~-~ L_2}\]y por lo tanto

\[0 < \abs{x-a} < \delta \quad\Rightarrow\quad \abs{f(x) ~+~ g(x) ~-~ (L_1 + L_2)} ~<~ \epsilon/2 ~+~ \epsilon/2 ~=~ \epsilon\]lo que por definición significa eso$\displaystyle\lim_{x \to a} ~(f(x) + g(x)) = L_1 + L_2$.

Las pruebas de las otras reglas de límite son similares. ¹ En general, el uso de la definición formal no será necesario para evaluar los límites de funciones específicas; en muchos casos, todo lo que se necesita es un simple análisis de la función, muchas veces desde su gráfica.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limsimple

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Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 1}~f(x)$ para la siguiente función:

\[f(x) ~=~ \begin{cases} ~x & \text{if } x > 1\\ ~2 & \text{if } x = 1\\ ~1 & \text{if } x < 1 \end{cases}\]

Solución: A partir de la gráfica de$f(x)$ la Figura [fig:limsimple], está claro que a medida que se$x$$1$ aproxima desde la derecha (es decir, for$x > 1$)$f(x)$ se acerca$1$ a lo largo de la línea$y = x$, mientras que como$x$ se acerca$1$ desde la izquierda (es decir, para $x < 1$)$f(x)$ se acerca$1$ a lo largo de la línea horizontal$y = 1$. Por lo tanto,$\displaystyle\lim_{x \to 1}~f(x) = 1~$.
Tenga en cuenta que el límite no dependía del valor de$f(x)$ at$x = 1$.

Como ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limsimple

Agrega texto aquí.

Solución

muestra, lo que importa para un límite es lo que sucede con el valor de$f(x)$ como$x$ se acerca$a$, no en$x=a$ sí mismo. La figura [fig:lims] (a) a continuación muestra cómo a medida que se$x$ aproxima$a$,$f(x)$ se acerca a un número diferente de$f(a)$. La figura [fig:lims] (b) muestra que$x=a$ ni siquiera necesita estar en el dominio de$f(x)$, es decir,$f(a)$ no tiene que ser definido. Por lo que no siempre será así$\displaystyle\lim_{x \to a} ~f(x) = f(a)$.

En Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limsimple

Agrega texto aquí.

Solución

la dirección en la que$x$ se acercó al número no$1$ afectó el límite. Pero, ¿y si$f(x)$ hubiera abordado diferentes valores dependiendo de cómo$x$ se acercara$1$? En ese caso el límite no existiría. Las siguientes definiciones y notación para límites unilaterales harán que situaciones como esa sean más simples de declarar.

La siguiente afirmación se desprende inmediatamente de las definiciones anteriores:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: onesidedlim

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 0-}~f(x)$$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~f(x)$,, y$\displaystyle\lim_{x \to 0}~f(x)$ para la siguiente función:

\[f(x) ~=~ \begin{cases} ~x^2 & \text{if } x < 0\\ ~2 - x & \text{if } x \ge 0 \end{cases}\]

Solución: A partir de la gráfica de$f(x)$ la Figura [fig:onesidedlim], queda claro que a medida que se$x$$0$ aproxima desde la izquierda (es decir, for$x < 0$)$f(x)$ se acerca$0$ a lo largo de la parábola$y = x^2$, mientras que como$x$ se acerca$0$ desde la derecha (es decir, para $x > 0$)$f(x)$ se acerca$2$ a lo largo de la línea$y = 2 - x$. De ahí,$\displaystyle\lim_{x \to 0-}~f(x) = 0~$ y$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~f(x) = 2~$. Por lo tanto,$\displaystyle\lim_{x \to 0}~f(x) ~~\text{does not exist}~$ dado que los límites izquierdo y derecho no coinciden en$x=0$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limsin1overx

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~\sin\,\left(\dfrac{1}{x}\right)~$.

Solución: Para$x > 0$ la función$f(x) = \sin\,(1/x)$ se define, y su gráfica se muestra en la Figura [fig:limsin1overx]. A medida que se$x$$0$ aproxima desde la derecha,$\sin\,(1/x)$ será$1$ para los números$x = 2/\pi$$2/5\pi$,$2/9\pi$,$2/13\pi$,,$\ldots$ (que se acerquen$0$), y$\sin\,(1/x)$ será$-1$ para los números$x = 2/3\pi$,$2/7\pi$,$2/11\pi$,$2/15\pi$, $\ldots$(que también se acercan$0$). Entonces a medida que$x$ se$0$ aproxima desde la derecha,$\sin\,(1/x)$ oscilará entre$1$ y$-1$. Por lo tanto,$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~\sin\,\left(\dfrac{1}{x}\right) ~~\text{does not exist}~$.

Hasta el momento solo se han considerado límites finitos, es decir,$L = \displaystyle\lim_{x \to a}~f(x)$ dónde$L$ está un número real (es decir, finito). Defina un límite infinito, con$L = \infty$ o$-\infty$, de la siguiente manera:

Las definiciones anteriores se pueden modificar en consecuencia para límites unilaterales. Si$\displaystyle\lim_{x \to a} ~f(x) = \infty$ o$\displaystyle\lim_{x \to a} ~f(x) = -\infty$, entonces la línea$x=a$ es una asíntota vertical de$f(x)$, y$f(x)$ se acerca a la línea$x=a\,$ asintóticamente. Las definiciones formales rara vez son necesarias.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: lim1overx

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Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 0}~\dfrac{1}{x}~$.

Solución: Para$x \ne 0$ la función$f(x) = \frac{1}{x}$ se define, y su gráfica
se muestra en la Figura [fig:lim1overx]. Como$x$ enfoques$0$ desde la derecha,$1/x$
enfoques$\infty$, es decir,

\[\lim_{x \to 0+}~\dfrac{1}{x} ~=~ \infty ~.\]A medida que$x$ se$0$ aproxima desde la izquierda,$1/x$ se aproxima$-\infty$, es decir,

\[\lim_{x \to 0-}~\dfrac{1}{x} ~=~ -\infty ~.\]Ya que el límite derecho y el límite izquierdo no son iguales, entonces$\displaystyle\lim_{x \to 0}~\dfrac{1}{x} ~\text{does not exist}$.

Tenga en cuenta que el$y$ eje -( es decir, la línea$x = 0$) es una asíntota vertical para$f(x) = \frac{1}{x}$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: lim1overx2

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 0}~\dfrac{1}{x^2}~$.

Solución: Para$x \ne 0$ la función$f(x) = \frac{1}{x^2}$ se define, y su gráfica
se muestra en la Figura [fig:lim1overx2]. A medida que$x$ se$0$ aproxima desde la derecha
o la izquierda,$1/x^2$ se aproxima$\infty$, es decir,

\[\lim_{x \to 0+}~\dfrac{1}{x^2} ~=~ \infty ~=~ \lim_{x \to 0-}~\dfrac{1}{x^2} ~.\]Dado que el límite derecho y el límite izquierdo ambos iguales$\infty$, entonces$\displaystyle\lim_{x \to 0}~\dfrac{1}{x^2} ~=~ \infty$.

Tenga en cuenta que el$y$ eje -( es decir, la línea$x = 0$) es una asíntota vertical para$f(x) = \frac{1}{x^2}$.

En el límite$\displaystyle\lim_{x \to a}~f(x)$ hasta el momento sólo se$a$ han considerado valores reales de. Sin embargo,$a$ podría ser cualquiera$\infty$ o$-\infty$:

Las definiciones anteriores se pueden modificar en consecuencia para$L$ sustituirse por cualquiera$\infty$ o$-\infty$.

Una forma de interpretar la afirmación$\displaystyle\lim_{x \to \infty} ~f(x) ~=~ L$ es: el comportamiento a largo plazo de$f(x)$ es acercarse a un estado estacionario en$L$. Si$\displaystyle\lim_{x \to \infty} ~f(x) = L$ o$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} ~f(x) = L$, entonces la línea$y=L$ es una asíntota horizontal de$f(x)$, y$f(x)$ se acerca a la línea$y=L\,$ asintóticamente. Nuevamente, para la mayoría de los límites de funciones específicas, solo se necesitan las nociones intuitivas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: lim1overxandx2inf

Agrega texto aquí.

Solución

De las Figuras [fig:lim1overx] y [fig:lim1overx2], queda claro que

\[\lim_{x \to \infty}~\dfrac{1}{x} ~=~ 0 ~=~ \lim_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x} \qquad\text{and}\qquad \lim_{x \to \infty}~\dfrac{1}{x^2} ~=~ 0 ~=~ \lim_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x^2}\]Tenga en cuenta que el$x$ eje -( es decir, la línea$y = 0$) es una asíntota horizontal para$f(x) = \frac{1}{x}$ y$f(x) = \frac{1}{x^2}$.

Algunos límites son obvios, puedes usarlos para calcular otros límites:

Una noción relacionada es la de la notación Big O (es decir, la letra mayúscula O, no un cero):

Por ejemplo, obviamente$2x^3 = O(x^3)$, por picking$M = 2$, con$x_0$ cualquier número positivo. En general,$f(x) = O(g(x))$ significa que$f$ exhibe el mismo comportamiento a largo plazo que$g$, hasta un múltiplo constante. Se puede pensar en$g$ el “tipo” de función más básico que describe$f$, en cuanto al comportamiento a largo plazo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: bigOexmp

Agrega texto aquí.

Solución

$5x^4 - 2 = O(x^4)$Demuéstralo.

Solución: Primero, recordar del álgebra que$\abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b}$ para todos los números reales$a$ y$b$. Por lo tanto,

\[\Abs{5x^4 - 2} ~\le~ \Abs{5x^4} ~+~ \abs{-2} ~=~ 5\,\Abs{x^4} ~+~ 2\]para todos$x$. Así que ya que$\Abs{x^4} = x^4 \ge 1$ para todos$x \ge 1$, entonces

\[\Abs{5x^4 - 2} ~\le~ 5\,\Abs{x^4} ~+~ 2 ~\le~ 5\,\Abs{x^4} ~+~ 2\,\Abs{x^4} \quad\Rightarrow\quad \Abs{5x^4 - 2} ~\le~ 7\,\Abs{x^4} ~~\text{for all $x \ge 1$,}\]lo que demuestra que$5x^4 - 2 = O(x^4)$, con$M= 7$ y$x_0 = 1$.

Algunos límites necesitan manipulación algebraica antes de que puedan ser evaluados.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: liminfminusinf

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~\left(\sqrt{x + 1} \,-\, \sqrt{x}\right)~$.

Solución: Tenga en cuenta que ambos$\sqrt{x + 1}$ y$\sqrt{x}$ acercarse$\infty$ como$x$ va a$\infty$, resultando en un límite de la forma$\infty - \infty$. Este es un ejemplo de una forma indeterminada, que puede igualar a cualquier cosa (como se discutirá en breve); no tiene que igualar$0$ (es decir, los$\infty$'s no necesariamente “cancelan”). El truco aquí es usar el conjugado de$\sqrt{x + 1} \,-\, \sqrt{x}$, para que

\[\lim_{x \to \infty}~\left(\sqrt{x + 1} \,-\, \sqrt{x}\right) ~=~ \lim_{x \to \infty}~\left(\sqrt{x + 1} \,-\, \sqrt{x}\right) \cdot \frac{\sqrt{x + 1} \,+\, \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} \,+\, \sqrt{x}} ~=~ \lim_{x \to \infty}~\frac{(x + 1) ~-~ x}{\sqrt{x + 1} \,+\, \sqrt{x}} ~=~ \lim_{x \to \infty}~\frac{1}{\sqrt{x + 1} \,+\, \sqrt{x}} ~=~ 0\]ya que el numerador es$1$ y ambos términos en la suma en el enfoque denominador$\infty$ (i.e.$\frac{1}{\infty} = 0$).

Algunas otras formas indeterminadas son$\infty/\infty$,$0/0$ y$\infty \cdot 0$. ¿Cómo manejarías esos límites? Una forma es usar la Regla ² de L'Hôpital; a continuación se indica una forma simplificada:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limxexpx

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Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~\dfrac{2x - 1}{e^x}~$.

Solución: Este límite es de la forma$\infty/\infty$:

\[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}~\dfrac{2x - 1}{e^x} ~&\to~ \frac{\infty}{\infty}\\ &=~ \lim_{x \to \infty}~\dfrac{2}{e^x} \quad\text{by L'H\^{o}pital's Rule}\\ &=~ 0\end{aligned}\]ya que el numerador es$2$ y$e^x \to \infty$ como$x \to \infty$.
Tenga en cuenta que una forma de interpretar el ser límite$0$ es que$e^x$ crece mucho más rápido que$2x - 1$. De hecho, usando la Regla de L'Hôpital se puede demostrar que$e^x$ crece mucho más rápido que cualquier polinomio, es decir, el crecimiento exponencial supera al crecimiento polinomial.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limxlnx

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~\dfrac{x}{\ln\,x}~$.

Solución: Este límite es de la forma$\infty/\infty$:

\[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}~\dfrac{x}{\ln\,x} ~&\to~ \frac{\infty}{\infty}\\ &=~ \lim_{x \to \infty}~\dfrac{1}{\frac{1}{x}} \quad\text{by L'H\^{o}pital's Rule}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {x\ to\ infty} ~x ~=~\ infty\ end {alineado}\] Tenga en cuenta que una forma de interpretar el ser límite$\infty$ es que$x$ crece mucho más rápido que$\ln\,x$. De hecho, usando la Regla de L'Hôpital se puede demostrar que cualquier polinomio crece mucho más rápido que$\ln\,x$, es decir, el crecimiento polinómico supera al crecimiento logarítmico.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limzeroinf

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Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~x e^{-2x}~$.

Solución: Este límite es de la forma$\infty \cdot 0$, que se puede convertir a$\infty/\infty$:

\[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}~x e^{-2x} ~=~ \lim_{x \to \infty}~\frac{x}{e^{2x}} ~&\to~ \frac{\infty}{\infty}\\ &=~ \lim_{x \to \infty}~\dfrac{1}{2e^{2x}} \quad\text{by L'H\^{o}pital's Rule}\\ &=~ 0\end{aligned}\]Tenga en cuenta que el límite es otra consecuencia del crecimiento exponencial superando al crecimiento polinomial.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: limratpoly

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~\dfrac{2x^2 ~-~ 7x ~-~ 5}{3x^2 ~+~ 2x ~-~ 1}~$.

Solución: Este límite es de la forma$\infty/\infty$:

\[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}~\dfrac{2x^2 ~-~ 7x ~-~ 5}{3x^2 ~+~ 2x ~-~ 1} ~&\to~ \frac{\infty}{\infty}\

\ [4pt] &=~\ lim_ {x\ a\ infty} ~\ dfrac {4x ~-~ 7} {6x ~+~ 2}\ quad\ text {por L'H\ ^ {o} Regla de pital}\

\ [6pt] ~&\ to~\ frac {\ infty} {\ infty}\ quad\ text {, así que usa L'H\ ^ {o} Regla de pital otra vez}\

\ [6pt] &=~\ frac {4} {6} ~=~\ frac {2} {3}\ end {alineado}\] Observe que el límite terminó siendo la relación de los coeficientes iniciales de los polinomios en el numerador y denominador del límite original. Obsérvese también que los términos de orden inferior (grado menor que 2) terminaron no importando. En general siempre se pueden descartar los términos de orden inferior al tomar el límite de una proporción de polinomios (es decir, una función racional).

Ejemplo$\PageIndex{1}$: lim1minuscos

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 0}~\dfrac{1 ~-~ \cos\,x}{x}~$.

Solución: Este límite es de la forma$0/0$:

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0}~\dfrac{1 ~-~ \cos\,x}{x} ~&\to~ \frac{0}{0}\

\ [4pt] &=~\ lim_ {x\ a 0} ~\ dfrac {\ sin\, x} {1}\ quad\ text {por L'H\ ^ {o} Regla de pital}\

\ [6pt] &=~\ frac {\ sin 0} {1} ~=~ 0\ end {alineado}\]

Hay una justificación intuitiva para la Regla de L'Hôpital: dado que el límite$\lim_{x \to a}\;\frac{f(x)}{g(x)}$ utiliza una proporción para comparar cómo$f$ cambia en relación a$g$ como se$x$ acerca$a$, entonces son realmente las tasas de cambio de$f$ y$g$ —es decir$g'$,$f'$ y, respectivamente —que se están comparando en esa proporción, que es lo que dice la Regla de L'Hôpital.

El siguiente resultado proporciona otra forma de calcular ciertos límites:

Intuitivamente, el Teorema de Squeeze dice que si una función es “apretada” entre dos funciones acercándose al mismo límite, entonces la función en el medio también debe acercarse a ese límite. El teorema también se aplica a los límites unilaterales ($x \to a+\;$o$\;x \to a-$).

Ejemplo$\PageIndex{1}$: squeeze

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~\dfrac{\sin\,x}{x}~$.

Solución: Dado que$-1 \;\le\; \sin\,x \;\le\; 1$ para todos$x$, luego dividiendo todas las partes de esas desigualdades por$x > 0$ rendimientos

\[-\frac{1}{x} ~\le~ \frac{\sin\,x}{x} ~\le~ \frac{1}{x} ~~\text{for all $x > 0$} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to \infty}~\frac{\sin\,x}{x} ~=~ 0\]por el Teorema de Squeeze, ya que$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~\frac{-1}{x} ~=~ 0 ~=~ \displaystyle\lim_{x \to \infty}~\frac{1}{x}$.

[sec3dot2]

Para los Ejercicios 1-18 evaluar el límite dado.

$\displaystyle\lim_{x \to 2}~ \dfrac{x^2 + 3x - 10}{x^2 - x - 2}$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~ \dfrac{x^2 + 3x - 10}{2x^2 - x - 2}$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~ \dfrac{x^2 + 3x - 10}{2x^3 - x - 2}$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~ \dfrac{x^3 + 3x - 10}{2x^2 - x - 2}$

$\displaystyle\lim_{x \to \pi/2}~ \dfrac{\cos\,x}{x - \pi/2}\vphantom{\dfrac{x^2}{e^x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~ \dfrac{x^2}{e^x}$

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}~ x^2 e^x\vphantom{\dfrac{x^2}{e^x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~ \dfrac{\ln\,x}{e^{1/x}}\vphantom{\dfrac{x^2}{e^x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}~ \dfrac{\tan\,x ~-~ x}{x ~-~ \sin\,x}\vphantom{\dfrac{\sin\,3x}{\sin\,4x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}~ \dfrac{\sin\,3x}{\sin\,4x}$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~ \dfrac{\cos\,x}{x}\vphantom{\dfrac{\sin\,3x}{\sin\,4x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}~ x\,\sin\,\left(\dfrac{1}{x}\right)\vphantom{\dfrac{\sin\,3x}{\sin\,4x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}~ \dfrac{\ln\,(1-x) ~-~ \sin^2 x}{1 ~-~ \cos^2 x}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1}~ \left(\dfrac{1}{\ln\,x} ~-~ \dfrac{1}{x-1}\right)\vphantom{\dfrac{\ln\,(1-x) ~-~ \sin^2 x}{1 ~-~ \cos^2 x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to \pi/2}~ (\sec\,x ~-~ \tan\,x)\vphantom{\dfrac{\ln\,(1-x) ~-~ \sin^2 x}{1 ~-~ \cos^2 x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~ \dfrac{e^{-1/x}}{x}$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~ \left(\sqrt{x^2 + 4} ~-~ x\right)\vphantom{\dfrac{e^{-1/x}}{x}}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}~ \dfrac{\cot\,x}{\csc\,x}\vphantom{\dfrac{e^{-1/x}}{x}}$

[[1.] ]

La famosa “paradoja de los gemelos”, resultado de la teoría especial de la relatividad de Einstein, dice que si uno de un par de gemelos deja la tierra en un cohete que viaja a gran velocidad, entonces será más joven que su gemelo al regresar a la tierra. ³ Esto se debe al fenómeno de la dilatación del tiempo, que dice que un reloj que se mueve con una velocidad$v$ relativa a un reloj en reposo en algún cuadro de referencia inercial cuenta el tiempo más lento en relación con el reloj en reposo, por un factor de

\[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} ~,\]llamado el factor Lorentz, donde$\beta = \frac{v}{c}$ está la fracción de la velocidad de la luz$c$ a la que se mueve el reloj ($c \approx 2.998 \times 10^8$m/seg). Observe eso$0 \le \beta < 1$ (¿por qué?). Por ejemplo, un reloj que se mueve a la mitad de la velocidad de la luz, así que eso$\beta = 0.5$, tendría$\gamma = 1.1547$, es decir, que el reloj funciona más o menos$15.47\%$ lento que el reloj en la tierra.

Evaluar$\displaystyle\lim_{\beta \to 1-}~\gamma~$. ¿Cuál es la interpretación física de este límite?
Supongamos que un astronauta y su gemelo acaban de cumplir 30 años cuando el astronauta deja la tierra en un viaje de alta velocidad por el espacio. Al regresar a la tierra el astronauta tiene 35 años y su gemelo tiene 70. ¿A aproximadamente qué fracción de la velocidad de la luz debe haber viajado el astronauta?

Demostrar eso$\,\displaystyle\lim_{x \to \infty} ~\dfrac{p(x)}{e^x} = 0~$ para todos los polinomios$p(x)$ de grado$n \ge 1$ con un coeficiente principal positivo.

Demostrar eso$\,\displaystyle\lim_{x \to \infty} ~\dfrac{p(x)}{\ln\,x} = \infty~$ para todos los polinomios$p(x)$ de grado$n \ge 1$ con un coeficiente principal positivo.

$5x^3 + 6x^2 - 4x + 3 = O(x^3)\vphantom{\dfrac{2x^2 + 1}{x + 1}}$Demuéstralo.

$\dfrac{2x^2 + 1}{x + 1} = O(x)$Demuéstralo. (Pista: Considere$x \ge 1$)

Llamar a$h(x)$ una función infinitesimal como$x \to a\,$ si$\,\displaystyle\lim_{x \to a} ~h(x) = 0$. Es decir, una función infinitesimal se acerca a cero cerca de algún punto. Demostrar el siguiente resultado, donde$a$ y$L$ son números reales:

\[\lim_{x \to a}~f(x) ~=~ L \quad\Leftrightarrow\quad f(x) = L + h(x) \text{ for all $x$, where $h(x)$ is an infinitesimal function as $x \to a$}\]