3.3: Continuidad

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Recordemos de la sección anterior que un límite$\lim_{x \to a} f(x)$ puede existir sin ser igual a$f(a)$, o con$f(a)$ ni siquiera ser definido. Muchas funciones que se encuentran en las aplicaciones, sin embargo, cumplirán esas condiciones, y tienen un nombre especial:

Ecuación ([eqn:continuidad]) en la definición anterior implica que$f(a)$ se define, es decir,$x = a$ está en el dominio de$f$. La figura [fig:continuidad] a continuación muestra algunos ejemplos de continuidad y discontinuidad:

En la figura anterior, no$f$ es continuo en$x = x_2$ porque$\lim_{x \to x_2} f(x) \ne f(x_2)$; no$f$ es continuo en$x = x_3$ porque$\lim_{x \to x_3} f(x)$ no existe (los límites derecho e izquierdo no están de acuerdo—$f$ se dice que tiene una discontinuidad de salto en$x = x_3$); y no$f$ es continuo en$x = x_4$ porque no$f(x_4)$ está definido. Sin embargo,$f$ es continuo en$x = x_1$.

Una función es continua si su gráfica es una pieza ininterrumpida sobre todo su dominio. Los polinomios, las funciones racionales, las funciones trigonométricas, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son continuas en sus dominios. Por ejemplo,$\tan\,x$ es continuo sobre su dominio, que se divide en intervalos disjuntos$(-\pi/2,\pi/2)$,,$(\pi/2,3\pi/2)$$(3\pi/2,5\pi/2)$, y así sucesivamente; la gráfica es ininterrumpida en cada uno de esos intervalos. Sin embargo, no$\tan\,x$ es continuo sobre todo$\Reals$, ya que la función no está definida en todos los puntos en$\Reals$.

En el lenguaje de los infinitesimales, una función$f$ es continua en$x=a$ si$f(a+\dx) - f(a)$ es infinitesimal para cualquier infinitesimal$\dx$. Esta definición rara vez se usa.

Ejemplos físicos de funciones continuas son posición, velocidad, velocidad, aceleración, temperatura y presión. Algunas funciones discontinuas sí surgen en las aplicaciones.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: floorceil

Agrega texto aquí.

Solución

La función de suelo$\lfloor x \rfloor$ se define como

\[\lfloor x \rfloor ~=~ \text{the largest integer less than or equal to $x$} ~.\]En otras palabras,$\lfloor x \rfloor$ redondea un no entero hacia abajo al entero anterior, y los enteros permanecen iguales. Por ejemplo,$\lfloor 0.1 \rfloor = 0$,$\lfloor 0.9 \rfloor = 0$,$\lfloor 0 \rfloor = 0$, y$\lfloor -1.3 \rfloor = -2$. El gráfico de$\lfloor x \rfloor$ se muestra en la Figura [fig:floorceil] (a).

Del mismo modo, la función de techo$\lceil x \rceil$ se define como

\[\lceil x \rceil ~=~ \text{the smallest integer greater than or equal to $x$} ~.\]En otras palabras,$\lceil x \rceil$ redondea un no entero hasta el siguiente entero, y los enteros permanecen iguales. Por ejemplo,$\lceil 0.1 \rceil = 1$,$\lceil 0.9 \rceil = 1$,$\lceil 1 \rceil = 1$, y$\lceil -1.3 \rceil = -1$. La gráfica de$\lceil x \rceil$ se muestra en la Figura [fig:floorceil] (b).

Claramente ambos$\lfloor x \rfloor$ y$\lceil x \rceil$ tienen discontinuidades de salto en los enteros, pero ambos son continuos en todos los valores no enteros de$x$. Ambas funciones son también ejemplos de funciones escalonadas, debido a la apariencia de escalera de sus gráficas. Las funciones de paso son útiles en situaciones en las que se desea modelar una cantidad que toma solo un conjunto discreto de valores. Por ejemplo, en un automóvil con una transmisión de 4 marchas,$f(x)$ podría ser el engranaje al que se ha desplazado la transmisión mientras el automóvil viaja a velocidad$x$. Hasta una cierta velocidad el automóvil permanece en primera marcha ($f = 1$) y luego cambia a la segunda marcha ($f = 2$) después de alcanzar esa velocidad, luego permanece en segunda marcha hasta alcanzar otra velocidad, sobre la cual el automóvil luego cambia a la tercera marcha ($f = 3$), y así sucesivamente. En general, los cambios discretos de estado a menudo se modelan con funciones de paso.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: discontall

Agrega texto aquí.

Solución

Para un caso extremo de discontinuidad, considere la función

\[f(x) ~=~ \begin{cases} ~0 & \text{if $x$ is rational}\\ ~1 & \text{if $x$ is irrational} \end{cases}\]Esta función es discontinua en cada valor de$x$ in$\Reals$, ya que dentro de cualquier distancia positiva$\delta$ de un número real$x$ —por pequeño que$\delta$ sea— habrá un número infinito de números tanto racionales como irracionales. Esta es una propiedad de$\Reals$. Entonces el valor de$f$ seguirá saltando entre$0$ y$1$ no importa lo cerca que te acerques$x$. Es decir, para cualquier número$a$ en$\Reals$,$f(a)$ existe pero nunca será igual$\lim_{x \to a}\;f(x)$ porque ese límite no existirá.

Por las diversas reglas de límites, es sencillo demostrar que las sumas, las diferencias, los múltiplos constantes, los productos y cocientes de las funciones continuas son continuos. Asimismo, una función continua de una función continua (es decir, una composición de funciones continuas) también es continua. Además, una función continua de un límite finito de una función se puede pasar dentro del límite:

El resultado anterior es útil para evaluar las formas indeterminadas$0^0$,$\infty^0$, y$1^{\infty}$. La idea es tomar el logaritmo natural del límite pasando la función continua$\ln\,x$ dentro del límite y evaluar el límite resultante.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: zerotozerolim

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~x^x~$.

Solución: Este límite es de la forma$0^0$, así que vamos$y = \displaystyle\lim_{x \to 0+}~x^x$ y luego tomar el logaritmo natural de$y$:

\[\begin{aligned} \ln\,y ~&=~ \ln\,\left(\lim_{x \to 0+}~x^x\right)\\[4pt] &=~ \lim_{x \to 0+}~\ln\,x^x \quad\text{(pass the natural logarithm function inside the limit)}\\[4pt] &=~ \lim_{x \to 0+}~x\;\ln\,x \quad\to\quad 0 \cdot (-\infty)\\ &=~ \lim_{x \to 0+}~\frac{\ln\,x}{1/x} \quad\to\quad\frac{-\infty}{\infty}\\[6pt] &=~ \lim_{x \to 0+}~\frac{1/x}{-1/x^2} \quad\text{by L'H\^{o}pital's Rule}\\[6pt] \ln\,y ~&=~ \lim_{x \to 0+}~(-x) ~=~ 0\end{aligned}\]Por lo tanto,$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~x^x ~=~ y ~=~ e^0 ~=~ 1$.

Existe una relación importante entre diferenciabilidad y continuidad:

Prueba: Si una función$f$ es diferenciable en$x = a$ entonces$f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a}~$$\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe, entonces

\[\lim_{x \to a}~(f(x) - f(a)) ~=~ \lim_{x \to a}~(f(x) - f(a)) \cdot \dfrac{x - a}{x - a} ~=~ \lim_{x \to a}~\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} ~\cdot~ \lim_{x \to a}~(x - a) ~=~ f'(a) \cdot 0 ~=~ 0\]lo que significa$\displaystyle\lim_{x \to a}~f(x) ~=~ f(a)\,,$ que$f$ es continuo en$x = a\,.\quad\checkmark$

Tenga en cuenta que lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la función de valor absoluto$f(x) = \abs{x}$ es continua en todas partes, su gráfica es ininterrumpida, como se muestra en la imagen de la derecha, pero recuerda del Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: absnondiff

Agrega texto aquí.

Solución

en la Sección 1.2 que no es diferenciable en$x = 0$. Las curvas continuas pueden tener aristas y cúspides afiladas, pero las curvas diferenciables no pueden.

Otros dos teoremas importantes ⁴ sobre las funciones continuas son:

La figura [fig:evt] muestra por qué se requiere un intervalo cerrado para el Teorema del Valor Extremo, ya que no$f$ alcanza ni un máximo ni un mínimo en el intervalo abierto$(c,d)$. El Teorema del Valor Intermedio dice que las funciones continuas no pueden “saltarse” valores intermedios entre otros dos valores de función. En la Figura [fig:ivt] la función$f$ salta el valor$k$ entre$f(c)=1$ y$f(d)=2$ porque no$f$ es continua sobre todos$\ival{c}{d}$. En$\ival{a}{b}$ el valor$k$ se alcanza por$f$ at$x = x_0$, es decir$f(x_0) = k$, ya que$f$ es continuo en$\ival{a}{b}$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: ivt

Agrega texto aquí.

Solución

Demostrar que hay una solución a la ecuación$\cos\,x = x$.

Solución: Dejar$f(x) = \cos\,x ~-~ x$. Ya que$f$ es continuo para todos$x$, en particular es continuo en$\ival{0}{1}$. Entonces desde$f(0) = 1 > 0$ y$f(1) = -0.459698 < 0$, entonces por el Teorema del Valor Intermedio hay un número$c$ en el intervalo abierto$(0,1)$ tal que$f(c) = 0$, ya que$0$ está entre los valores$f(0)$ y$f(1)$. De ahí,$\cos\,c ~-~ c ~=~ 0$, lo que significa que$\cos\,c ~=~ c$. Es decir,$x = c$ es una solución de$\cos\,x = x$.

Observe en el ejemplo anterior que el Teorema del Valor Intermedio no le dice cómo encontrar la solución, solo que la solución existe. Para encontrar la solución se puede utilizar el método de la bisección: dividir el intervalo$\ival{0}{1}$ por la mitad y aplicar el Teorema del Valor Intermedio a cada medio intervalo para determinar cuál contiene la solución; repetir este procedimiento en ese medio intervalo, resultando en un intervalo menor que contiene el , luego repita el procedimiento una y otra vez, hasta que finalmente obtenga un intervalo tan pequeño que el punto medio de ese intervalo pueda tomarse como solución. El listado de [bisectpython] a continuación muestra una forma de implementar el método de bisección para Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: ivt

Agrega texto aquí.

Solución

para encontrar la raíz de$f(x) = \cos\,x - x$, usando el lenguaje de programación Python.

import math

def f(x):
    return math.cos(x) - x

def bisect(a, b):
    midpt = (a+b)/2.0
    tol = 1e-15
    if b - a > tol:
        val = f(midpt)
    if val*f(a) < 0:
            bisect(a, midpt)
    elif val*f(b) < 0:
        bisect(midpt, b)
    else:
        print("Root = %.13f" % (midpt))
    else:
        print("Root = %.13f" % (midpt))

bisect(0, 1)

La línea 8 establece la tolerancia en$10^{-15}$: el programa termina al alcanzar un intervalo cuya longitud es menor que esa. La salida se muestra a continuación:

Root = 0.7390851332152

Este es el número obtenido al tomar el coseno de un número (en radianes) repetidamente. [sec3dot3]

Para los Ejercicios 1-18, indique si la función dada$f(x)$ es continua o discontinua en el valor dado$x=a$ comparando$f(a)$ con$\lim_{x \to a}~ f(x)$.

$f(x)=\abs{x}$; en$x=0$

$f(x)=\abs{x-1}$; en$x=0$

$f(x)=\lfloor x \rfloor$; en$x=0$

$f(x)=\lfloor x \rfloor$; en$x=0.3$

$f(x)=\lceil x \rceil$; en$x=0$

$f(x)=\lceil x \rceil$; en$x=0.5$

$f(x)=x \;-\; \lfloor x \rfloor$; en$x=0$

$f(x)=x \;-\; \lfloor x \rfloor$; en$x=1.1$

$f(x)=x \;-\; \abs{x}$; en$x=0$

$f(x) ~=~ \begin{cases} 0 & \text{if$x 0$,}\\1 & \text{if$ x>0$;}\end{cases}$
a$x=0$

$f(x) ~=~ \begin{cases} 0 & \text{if$x 0$,}\\1 & \text{if$ x>0$;}\end{cases}$
a$x=1$

$f(x) ~=~ \begin{cases} x^2 & \text{if$x 0$,}\\1 & \text{if$ x>0$;}\end{cases}$
a$x=0$

$f(x) ~=~ \begin{cases} x+1 & \text{if$x 0$,}\\1 & \text{if$ x>0$;}\end{cases}$
a$x=1$

$f(x) ~=~ \begin{cases} \sin\,(x^2 ) & \text{if$x 0$,}\\0 & \text{if$ x=0$;}\end{cases}$
a$x=0$

$f(x) ~=~ \begin{cases} \sin\,(1/x) & \text{if$x 0$,}\\0 & \text{if$ x=0$;}\end{cases}$
a$x=0$

$f(x) ~=~ \begin{cases} 0 & \text{if$x$is rational,}\\1 & \text{if$ x$is irrational;}\end{cases}$
a$x=\sqrt{3}$

$f(x) ~=~ \begin{cases} 0 & \text{if$x$is rational,}\\x & \text{if$ x$is irrational;}\end{cases}$
a$x=0$

$f(x) ~=~ \begin{cases} 0 & \text{if$x$is rational,}\\x & \text{if$ x$is irrational;}\end{cases}$
a$x=1$

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 0+}~x^{x^2}~$.

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to \infty}~x^{1/x}~$.

Evaluar$\displaystyle\lim_{x \to 0}~(1 - x)^{1/x}~$.

Si es$f(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x-1}$ por$x\ne 1$, ¿cómo$f(1)$ se debe definir para que$f(x)$ sea continuo en$x=1\;$?

Si es$f(x) = 1/x$ por$x\ne 0$, ¿hay alguna manera de definir$f(0)$ para que$f(x)$ sea continuo para todos$x\;$? [[1.] ]

¿Puede una función que no es continua en un intervalo cerrado alcanzar un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo? Si es así, entonces da un ejemplo; si no entonces explica por qué.

Demostrar que hay un número$x$ tal que$x^5 - x ~=~ 3$.

Demostrar que$f(x) = x^8 + 3x^4 - 1$ tiene al menos dos raíces reales distintas.

Supongamos que una función$f$ es continua en el intervalo$\ival{0}{3}$, no$f$ tiene raíces en$\ival{0}{3}$, y$f(1) = 1$. $f(x) > 0$Demuéstralo para todos$x$ en$\ival{0}{3}$.

Demuestre que un objeto cuya velocidad promedio se$v_{\text{avg}}$ encuentre sobre el intervalo de tiempo$a\le t \le b$ se moverá con velocidad$v_{\text{avg}}$ en algún momento$t$ en$\ival{a}{b}$.

Vamos$f(x) = 1/(x-1)$. Entonces$f(0) = -1 <0$ y$f(2) = 1 > 0$. ¿Se puede concluir por el Teorema del Valor Intermedio que$f(x)$ debe ser$0$ para algunos$x$ en$\ival{0}{2}\;$? Explique.

Demostrar que si$f'$ y$f''$ existir y son continuos en$x$ entonces

\[f''(x) ~=~ \lim_{h \to 0}~\frac{f(x) ~-~ 2 f(x-h) ~+~ f(x-2h)}{h^2} ~.\]

Demostrar que si$f'$,$f''$ y$f'''$ existir y son continuos en$x$ entonces

\[f'''(x) ~=~ \lim_{h \to 0}~\frac{f(x) ~-~ 3 f(x-h) ~+~ 3 f(x-2h) ~-~ f(x-3h)}{h^3} ~.\]