Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

3.4: Diferenciación implícita

  • Page ID
    110226
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Una función\(y = f(x)\) generalmente viene dada por una fórmula explícita, como\(y = x^2\). Entonces es sencillo encontrar\(\dydx\) usando las reglas de diferenciación que has aprendido hasta ahora. Pero supongamos en cambio que se le dio simplemente una ecuación que involucra\(x\) y\(y\), como

    \[x^3 y^2 e^{\sin\,(xy)} ~=~ x^2 ~+~ xy ~+~ y^3 ~~.\]

    El conjunto de puntos que\((x,y)\) satisface esta ecuación describe algún tipo de curva en el\(xy\) plano, pero podría no ser posible resolverlo\(y\) en términos de\(x\) —es decir, podría no haber una fórmula explícita para\(y\) como función de la variable\(x\). Entonces en este caso la derivada tiene\(\dydx\) algún significado, y si es así entonces ¿cómo la encontrarías?

    Resulta que\(\dydx\) sí tiene sentido en tal caso, porque una ecuación que involucra\(x\) y\(y\) como la anterior define implícitamente\(y\) en términos de\(x\) en el siguiente sentido: como\(x\) varía también lo hace\(y\). De ahí que sea posible encontrar la tasa de cambio de\(y\) respecto a la variable\(x\) (i.e.\(\dydx\)). Para hacerlo, toma\(\ddx\) de ambos lados de la ecuación, luego asume que\(y\) realmente es una función de para que\(x\) puedas usar la Regla de Cadena para resolver\(\dydx\). El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento, denominado diferenciación implícita.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicit1

    Encontrar\(\dydx\) dada la ecuación\(x^3 + 3x + 2 = y^2\). \

    Solución

    La ecuación anterior define implícitamente una curva elíptica, y su gráfica se muestra a la derecha. Esta curva no es una función\(y=f(x)\), ya que viola la prueba de línea vertical, pero\(y\) aún varía con\(x\). Para encontrar\(\ddx\) la\(\dydx\) toma de ambos lados de la ecuación luego resuelva para\(\dydx\):

    \[\begin{aligned} \ddx\,(x^3 ~+~ 3x ~+~ 2) ~&=~ \ddx\,(y^2)\\[5pt] 3x^2 ~+~ 3 ~&=~ 2y \cdot \dydx \quad\text{by the Chain Rule, so}\\[5pt] \dydx ~&=~ \frac{3x^2 ~+~ 3}{2y}\end{aligned}\]

    Al principio esto puede parecer poco satisfactorio —o confuso— ya que\(\dydx\) se da en términos de ambos\(x\) y\(y\). Sin embargo, la derivada aún puede evaluarse\((x,y)\) en puntos específicos de la curva, es decir, cualquiera que\((x,y)\) satisfaga la ecuación original. Por ejemplo, es fácil comprobar que\((x,y) = (1,\sqrt{6})\) satisface la ecuación\(x^3 + 3x + 2 = y^2\), entonces\(\dydx(1,\sqrt{6}) = \frac{3(1)^2 + 3}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\). Tenga en cuenta que no\(\dydx\) se define cuando\(y=0\).

    Observe que tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación original no da como resultado una fórmula explícita para\(y\), ya que\(y = \pm \sqrt{x^3 + 3x + 2}\) define dos funciones, no solo una. La belleza de la diferenciación implícita es que la derivada\(\dydx = \frac{3x^2 + 3}{2y}\) calculada anteriormente te da una sola expresión para la derivada de ambas funciones.

    Una curva algebraica se define como el conjunto de todos los puntos que\((x,y)\) satisfacen una ecuación polinómica en las variables\(x\) y\(y\), tales como\(x^2 - 3xy^4 + 1 = x^5 - y^2\). Una curva elíptica es un caso especial de una curva algebraica, donde el polinomio tiene la forma específica\(x^3 + ax + b = y^2\), como la ecuación\(x^3 + 3x + 2 = y^2\) del Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicit1

    Agrega texto aquí.

    Solución

    . Las curvas elípticas tienen ciertas propiedades que han encontrado aplicaciones en criptografía. 5

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicit2

    Encontrar\(\dydx\) dada la ecuación\(x + y = x^3 + y^3\).

    Solución

    La ecuación anterior define implícitamente una curva algebraica y su gráfica se muestra a la derecha. Para encontrar\(\ddx\) la\(\dydx\) toma de ambos lados de la ecuación luego resuelva para\(\dydx\):

    \[\begin{aligned} \ddx\,(x ~+~ y) ~&=~ \ddx\,(x^3 ~+~ y^3)\\[6pt] 1 ~+~ \dydx ~&=~ 3x^2 ~+~ 3y^2 \cdot \dydx \quad\text{by the Chain Rule, so}\\[6pt] \dydx ~&=~ \frac{3x^2 ~-~ 1}{1 ~-~ 3y^2}\end{aligned}\]Observe que la curva consiste en una forma ovalada (una elipse, en realidad) con una línea a través de ella. De hecho, esa línea es\(y = -x\), como se puede verificar reemplazando cada instancia de\(y\) en la ecuación\(x + y = x^3 + y^3\) por\(-x\) (resultando en la ecuación\(0=0\)). Quizás se esté preguntando cómo\(\dydx\) se define en los puntos donde esa línea se cruza con la elipse: ¿es la pendiente de la línea\(y=-x\) (es decir\(-1\)), o es la pendiente de la línea tangente a la elipse en esos puntos (que no sería igual\(-1\))? Esto se discute en los ejercicios.

    La gráfica se creó con el programa gratuito de gráficos de código abierto Gnuplot 6 utilizando los siguientes comandos de Gnuplot (que dan una idea de cómo trazar funciones implícitas en general):

    set size square
    set view 0,0
    set isosamples 500,500
    set contour base
    set cntrparam levels discrete 0
    unset surface
    set grid
    unset key
    unset ztics
    set xlabel 'x'
    set ylabel 'y'
    f(x,y) = x + y - x**3 - y**3
    splot [-3:3][-3:3] f(x,y) lw 3
    

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicitcir

    Encuentra la línea tangente a la curva\(x^2 + y^2 = 1\) en el punto\((4/5,3/5)\).

    Solución

    Esta curva es el círculo unitario, que se muestra en la imagen de la derecha. Primero use la diferenciación implícita para encontrar\(\dydx\):

    \[\begin{aligned} \ddx\,(x^2 ~+~ y^2) ~=~ \ddx\,(1) \quad&\Rightarrow\quad 2x ~+~ 2y \cdot \dydx ~=~ 0 \quad\text{by the Chain Rule}\\[4pt] &\Rightarrow\quad \dydx ~=~ -\frac{x}{y}\end{aligned}\]

    La pendiente\(m\) de la línea tangente a la curva en\((4/5,3/5)\) es entonces\(m = \dydx(4/5,3/5) = -\frac{4/5}{3/5} = -4/3\). Así, la ecuación de la línea tangente es\(y - \frac{3}{5} = -\frac{4}{3}\left(x - \frac{4}{5}\right)\).

    [sec3dot4]

    Para los Ejercicios 1-9, use diferenciación implícita para encontrar\(\dydx\).

    3

    \(x^3 y ~-~ 4xy^2 ~=~ y ~+~ x^2\)

    \(xy ~=~ (x+y)^3\)

    \((x+y)^3 ~=~ (x - y + 1)^2\)

    3

    \(x^{2/3} ~+~ y^{2/3} ~=~ a^{2/3}\vphantom{\dfrac{x}{x}}\)

    \((x^2 - y^2 )^2 ~=~ 2x^2 + y^2\vphantom{\dfrac{x}{x}}\)

    \(\dfrac{x+y}{x-y} ~=~ x^2 + y^2\)

    3

    \(\cos\,(xy) ~=~ \sin\,(x^2 y^2)\)

    \(x^3 ~-~ x ~=~ y^2\)

    \(x^3 y^2 e^{\sin\,(xy)} ~=~ x^2 ~+~ xy ~+~ y^3\)

    En Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicitcir

    Agrega texto aquí.

    Solución

    ¿es posible resolver la ecuación\(x^2 + y^2 = 1\) explícitamente para\(y\) en términos de\(x\)? Explique.

    En Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicitcir

    Agrega texto aquí.

    Solución

    ¿qué pasa con la línea tangente en el punto\((1,0)\)? ¿Por qué esto tiene sentido geométricamente?

    Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva\(x^3 + 3x^2 y + y^3 ~=~ 8\) en el punto\((2,0)\). [[1.] ]

    Encuentra\(\frac{d^2y}{\dx^2}\) para la curva\(x^2 + y^2 = 1\). Puede utilizar los resultados de Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicitcir

    Agrega texto aquí.

    Solución

    .

    Mostrar que en cada punto\((x_0,y_0)\) de la curva\(y^2 = 4ax\), la ecuación de la línea tangente a la curva es\(y y_0 = 2a(x + x_0)\).

    [exer:elliptan] Mostrar que en cada punto\((x_0,y_0)\) de la elipse\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), la ecuación de la línea tangente a la elipse es\(\dfrac{x x_0}{a^2} + \dfrac{y y_0}{b^2} = 1\).

    [exer:hyptan] Demostrar que en cada punto\((x_0,y_0)\) de la hipérbola\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), la ecuación de la línea tangente a la hipérbola es\(\dfrac{x x_0}{a^2} - \dfrac{y y_0}{b^2} = 1\).

    Mostrar que no\(\dydx\) está definido en los puntos de intersección de la línea y elipse descritos por la curva\(x+y=x^3+y^3\) del Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicit2

    Agrega texto aquí.

    Solución

    . (Pista: Facturar la ecuación\(x+y=x^3+y^3\).)

    Mostrar que los puntos\(P=(2,4)\) y\(Q=(-31/64,-337/512)\) están en la curva elíptica\(x^3+3x+2=y^2\) del Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): implicit1

    Agrega texto aquí.

    Solución

    , y que la línea tangente a la curva en\(P\) también pasa\(Q\).


    This page titled 3.4: Diferenciación implícita is shared under a GNU General Public License 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Michael Corral.