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3.5: Tarifas Relacionadas

  • Page ID
    110232
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Si varias cantidades están relacionadas por una ecuación, entonces diferenciar ambos lados de esa ecuación con respecto a una variable (generalmente\(t\), que representa el tiempo) produce una relación entre las tasas de cambio de esas cantidades. Las tasas de cambio conocidas se utilizan entonces en esa relación para determinar una tasa relacionada desconocida.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): relrate1

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Supongamos que el agua está siendo bombeada a una piscina rectangular a una velocidad de 60,000 pies cúbicos por minuto. Si la piscina mide 300 pies de largo, 100 pies de ancho y 10 pies de profundidad, ¿qué tan rápido cambia la altura del agua dentro de la piscina?

    Solución: Deja\(V\) que sea el volumen del agua en la alberca. Dado que el volumen de un sólido rectangular es el producto de la longitud, anchura y altura del sólido, entonces

    \[V ~=~ (300)(100)h ~=~ 30000h ~~\text{ft}^3\]donde\(h\) esta la altura del agua, como en la imagen de la derecha. Ambas\(V\) y\(h\) son funciones del tiempo\(t\) (medidas en minutos), y se dio\(\dVdt = 60000~\text{ft}^3\) /min. El objetivo es encontrar\(\frac{d\!h}{\dt}\). Desde

    \[\dVdt ~=~ \ddt\,(30000h) ~=~ 30000\,\frac{d\!h}{\dt}\]entonces

    \[\frac{d\!h}{\dt} ~=~ \frac{1}{30000} \dVdt ~=~ \frac{1}{30000}\cdot 60000 ~=~ 2~\text{ft/min} .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): relrate2

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Supongamos que el ángulo de inclinación desde la parte superior de un polo de 100 pies hasta el sol está disminuyendo a una velocidad de\(0.05\) radianes por minuto. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud de la sombra del poste en el suelo cuando el ángulo de inclinación es\(\pi/6\) radianes? Se puede suponer que el poste es perpendicular al suelo.

    Solución: Dejar\(\theta\) ser el ángulo de inclinación y dejar\(x\) ser la longitud de la sombra, como en la imagen de la derecha. Ambas\(\theta\) y\(x\) son funciones del tiempo\(t\) (medidas en minutos), y se dio\(\frac{d\negmedspace\theta}{\dt} = -0.05\) rad/min (la derivada es negativa ya que\(\theta\) es decreciente). El objetivo es encontrar\(\dxdt\) cuándo\(\theta = \pi/6\), denotado por\(\dxdt\Biggr|_{\theta=\pi/6}\) (la barra vertical significa “evaluado en” el valor del subíndice a la derecha de la barra). Desde

    \[x ~=~ 100\;\cot\,\theta \quad\Rightarrow\quad \dxdt ~=~ -100\;\csc^2\theta \cdot \frac{d\negmedspace\theta}{\dt} ~=~ -100\;\csc^2\theta \cdot (-0.05) ~=~ 5\;\csc^2\theta\]entonces

    \[\dxdt\Biggr|_{\theta=\pi/6} ~=~ 5\;\csc^2(\pi/6) ~=~ 5\;(2)^2 ~=~ 20~\text{ft/min} .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): relrate3

    Agrega texto aquí.

    Solución

    El radio de un cilindro circular derecho está disminuyendo a la velocidad de\(3\) cm/min, mientras que la altura aumenta a la velocidad de\(2\) cm/min. Encuentra la tasa de cambio del volumen del cilindro cuando el radio es\(8\) cm y la altura es\(6\) cm.

    Solución: Dejar\(r\)\(h\), y\(V\) ser el radio, la altura y el volumen, respectivamente, del cilindro. Entonces\(V = \pi\,r^2 \,h\). Desde\(\frac{\dr}{\dt} = -3\) cm/min y\(\frac{d\negmedspace h}{\dt} = 2\) cm/min, luego por la Regla del Producto:

    \[\dVdt ~=~ \ddt (\pi\,r^2 \,h) ~=~ \left( 2\pi \,r\;\cdot\;\drdt\right)\,h ~+~ \pi\,r^2 \;\cdot\;\frac{d\negmedspace h}{\dt} \quad\Rightarrow\quad \dVdt\Biggr|_{\text{\scriptsize{$\begin{matrix}r=8\\h=6\end{matrix}$}}} ~=~ 2\pi\,(8)\,(-3)\,(6) ~+~ \pi\,(8^2)\,(2) ~=~ -160\pi~\frac{\text{\scriptsize cm}^3}{\text{\scriptsize min}}\]

    [sec3dot5]

    1. Una piedra se deja caer en agua sin gas. Si el radio de la ondulación exterior circular aumenta a la velocidad de\(4\) pies/s, ¿qué tan rápido aumenta el área del círculo de agua perturbada cuando el radio es\(10\) ft?

    2. El radio de una esfera disminuye a una velocidad de 3 mm/hr. Determine qué tan rápido están cambiando el volumen y el área de superficie de la esfera cuando el radio es de 5 mm.

    3. Un\(80\) pie de cometa sobre el suelo nivelado se mueve horizontalmente a una velocidad de\(4\) pies/s lejos de la persona que lo vuela. ¿Qué tan rápido se libera la cuerda en el instante en que se han liberado\(100\) pies de cuerda?

    4. Una escalera\(10\) de pies está apoyada contra una pared en un terreno nivelado. Si la parte inferior de la escalera es arrastrada lejos de la pared a razón de\(5\) pies/s, ¿qué tan rápido descenderá la parte superior de la escalera en el instante en que esté a\(8\) pies del suelo?

    5. Una persona de\(6\) pies de altura camina a una velocidad de\(6\) pies/s lejos de una luz que está a\(15\) pies sobre el suelo. ¿A qué ritmo se mueve el final de la sombra de la persona a lo largo del suelo lejos de la luz?

    6. Un objeto se mueve a lo largo de la curva\(y = x^3\) en el\(xy\) plano. ¿En qué puntos de la curva están cambiando\(y\) las coordenadas\(x\) y del objeto a la misma velocidad?

    7. El radio de un cono circular derecho está disminuyendo a la velocidad de\(4\) cm/min, mientras que la altura aumenta a la velocidad de\(3\) cm/min. Encuentra la tasa de cambio del volumen del cono cuando el radio es\(6\) cm y la altura es\(7\) cm.

    8. Dos embarcaciones salen del mismo muelle al mismo tiempo, una va hacia el norte a 25 mph y la otra va hacia el este a 30 mph. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las embarcaciones cuando están a 100 millas de distancia?

    9. Repita el Ejercicio 8 con el ángulo entre las embarcaciones siendo\(110\Degrees\). [[1.] ]

    10. Un ángulo\(\theta\) cambia con el tiempo. ¿Para qué valores de\(\theta\) hacer\(\sin\,\theta\) y\(\tan\,\theta\) cambiar al mismo ritmo?

    11. Repetir Ejemplo

      Ejemplo\(\PageIndex{1}\): relrate2

      Agrega texto aquí.

      Solución

      pero con el suelo haciendo un\(100\Degrees\) ángulo con el poste a la izquierda del poste. [[1.] ]

    12. Un tanque cilíndrico vertical lleno de agua se vuelca a una velocidad angular constante. Supongamos que la altura del tanque es al menos el doble de su radio. Demuestre que en el instante en que el tanque ha sido volcado\(45\Degrees\), el agua está saliendo del tanque dos veces más rápido que en el instante en que primero se volcó el tanque. (Pista: Piense en cómo se ve el agua dentro del tanque a medida que se le da la propina.


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