3.6: Diferenciales

Un gas ideal satisface la ecuación\(PV \;=\; RT\), donde\(R\) es una constante y\(P\),\(V\), y\(T\) son la presión, el volumen por mol y la temperatura, respectivamente, del gas. Se demostrará que

\[\label{eqn:gaslaw} \dfrac{\dP}{P} ~+~ \dfrac{\dV}{V} ~=~ \dfrac{\dT}{T} ~.\]Recordemos eso\(\dP\)\(\dV\),, y\(\dT\) representan cambios infinitesimales en las cantidades\(P\),\(V\), y\(T\), respectivamente. Observe que ninguno de los cocientes en la Ecuación ([eqn:gaslaw]) tiene un infinitesimal en el denominador. Por ejemplo, no\(\dP\) se divide por\(\dx\) o\(\dt\), como lo estaría en una derivada como\(\frac{\dP}{\dx}\) o\(\frac{\dP}{\dt}\). En cambio se divide por\(P\), lo que no es un infinitesimal. Entonces, la ecuación ([eqn:gaslaw]) es una ecuación que relaciona los infinitesimales mismos, es decir, los cambios infinitesimales, no las tasas de cambio infinitesimales. Esto es, de hecho, cuántas leyes físicas se enuncian, por razones que se discutirán en breve.

Aunque se han utilizado infinitesimales a lo largo de este texto, muchos libros de cálculo ⁷ ni siquiera los mencionan, prefiriendo llamarlos diferenciales. ⁸ Para la compatibilidad, la definición se da aquí:

Tenga en cuenta que esto es idéntico a la Ecuación ([eqn:dffprimedx]) en la Sección 1.3.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): diff1

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el diferencial\(\df\) de\(f(x) = x^3\).

Solución: Por definición,

\[\df ~=~ f'(x)\;\dx ~=~ 3x^2\;\dx\]Equivalentemente, esto puede escribirse como

\[d(x^3) ~=~ 3x^2\;\dx ~,\]que suele ser la forma en que aparecería en los libros de texto en las ciencias.

Todas las reglas para derivados (por ejemplo, regla de suma, regla de producto) se aplican a los diferenciales, y pueden probarse simplemente multiplicando la regla derivada correspondiente por\(\dx\) en ambos lados de la ecuación: Por ejemplo, para probar (e), multiplique ambos lados de la regla de producto habitual por de\(\dx\) manera que

\[\begin{aligned} \frac{d(fg)}{\dx} ~=~ f\,\frac{\dg}{\dx} ~+~ g\,\frac{\df}{\dx} \quad&\Rightarrow\quad d(fg) ~=~ \cancel{\dx}\,\left(f\,\frac{\dg}{\cancel{\dx}} ~+~ g\,\frac{\df}{\cancel{\dx}}\right)\\ &\Rightarrow\quad d(fg) ~=~ f\,\dg ~+~ g\,\df \quad\checkmark\end{aligned}\]ya que los\(\dx\) términos todos cancelan. Las pruebas de las otras reglas son similares.

La versión diferencial de la ley de gas ideal en la ecuación ([eqn:gaslaw])

\[\dfrac{\dP}{P} ~+~ \dfrac{\dV}{V} ~=~ \dfrac{\dT}{T}\]ahora se puede probar tomando el diferencial de ambos lados de la ecuación\(PV = RT\):

\[\begin{aligned} d(PV) ~&=~ d(RT) ~=~ R \cdot \dT \quad\text{by the Constant Multiple Rule}\\ V \; \dP ~+~ P \; \dV ~&=~ \frac{PV}{T} \; \dT \quad\text{by the Product Rule and since $R = \frac{PV}{T}$}\

\ [6pt]\ frac {V\;\ dP} {PV} ~+~\ frac {P\;\ dV} {PV} ~&=~\ frac {\ dT} {T}\ quad\ text {después de dividir ambos lados por $PV$}\

\ [6pt]\ frac {\ dP} {P} ~+~\ frac {\ dV} {V} ~&=~\ frac {\ dT} {T}\ quad\ checkmark\ end {alineado}\] Observe que\(\frac{\dP}{P}\),\(\frac{\dV}{V}\) y\(\frac{\dT}{T}\) representan los cambios infinitesimales relativos en\(P\),\(V\), y\(T\), respectivamente. La formulación diferencial es útil para encontrar un cambio infinitesimal relativo cuando se conocen los otros dos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): diff2

Agrega texto aquí.

Solución

Supongamos que\(M\) es la masa total de un cohete y su combustible no quemado en cualquier momento\(t\) (así\(M\) es una función de\(t\)). Durante un tiempo infinitesimal se quema\(\dt\) una masa\(\dm\) de combustible y los subproductos gaseosos son expulsados por la parte trasera del cohete a una velocidad\(v_E\) relativa al cohete. Utilizando la ley de conservación del impulso a lo largo del intervalo\(\dt\), mostrar que

\[v_E\,\dm ~=~ M\,\dv\]donde\(m\) y\(v\) son la masa de combustible quemado y la velocidad del cohete, respectivamente, al inicio del tiempo\(\dt\).

Solución: Momentum se define como masa por velocidad. El impulso del cohete al inicio de los tiempos\(\dt\) es así\(Mv\). Al final del tiempo\(\dt\), el impulso del cohete consta de dos partes, a saber, el impulso del cohete y su combustible restante no quemado, que es

\[\begin{gathered} \text{((mass before $\dt$) $-$ (increase in burnt fuel)) $\times$ ((velocity before $\dt$) $+$ (increase in velocity))}\\ (M - \dm)(v + \dv)\end{gathered}\]y el impulso del combustible que se quemó y expulsó por la retaguardia, que es

\[(v - v_E)\,\dm ~.\]Entonces, por la conservación del impulso,

\[\begin{aligned} Mv ~&=~ (M - \dm)(v + \dv) ~+~ (v - v_E)\,\dm\\ Mv ~&=~ Mv ~-~ v\,\dm ~+~ M\,\dv ~-~ (\dm)(\dv) ~+~ v\,\dm ~-~ v_E\,\dm, \quad\text{so}\\ v_E\,\dm ~&=~ M\,\dv ~-~ (\dm)(\dv) ~=~ M\,\dv\end{aligned}\]ya que\((\dm)(\dv) = (m'(t)\,\dt)(v'(t)\,\dt) ~=~ m'(t)v'(t)(\dt)^2 ~=~ m'(t)v'(t) \cdot 0 = 0\).

Dividir ambos lados de\(v_E\,\dm = M\,\dv\) por\(\dt\) produce la ecuación

\[M\,\dot{v} ~=~ \dot{m}\,v_E\]utilizando la notación de puntos, mencionada en la Sección 1.3, para la derivada con respecto a la variable tiempo\(t\), que sigue siendo popular entre los físicos. Ya que\(\dot{v}\) es solo aceleración\(a\), esta formulación es la ecuación clásica para la aceleración de un cohete. ⁹

Dejar\(f\) ser la función de logaritmo natural y dejar\(g = u\) entrar la versión diferencial de la Regla de Cadena produce el siguiente resultado útil:

Esto se utiliza a menudo en una versión diferencial de la técnica de diferenciación logarítmica discutida en la Sección 2.3.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): diff3

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Solución

Demostrar la relación\(\frac{\dP}{P} + \frac{\dV}{V} = \frac{\dT}{T}\) mediante diferenciación logarítmica.

Solución: Tome el logaritmo natural y luego el diferencial de ambos lados de la ecuación\(PV = RT\):

\[\begin{aligned} \ln\,(PV) ~=~ \ln\,(RT) \quad&\Rightarrow\quad \ln\,P ~+~ \ln\,V ~=~ \ln\,R ~+~ \ln\,T\\ &\Rightarrow\quad d(\ln\,P ~+~ \ln\,V) ~=~ d(\ln\,R ~+~ \ln\,T)\\ &\Rightarrow\quad \frac{\dP}{P} ~+~ \frac{\dV}{V} ~=~ 0 ~+~ \frac{\dT}{T} ~=~ \frac{\dT}{T} \quad\text{(since $\ln\,R$ is a constant)}\end{aligned}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): diff4

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Solución

La derivada del área\(\pi r^2\) de un círculo de radio\(r\), en función de\(r\), es igual a su circunferencia\(2\pi r\). Utilizar la noción de diferencial como cambio infinitesimal para explicar por qué esto tiene sentido geométricamente.

Solución: Dejar\(A = \pi r^2\) ser el área de un círculo de radio variable\(r\). Entonces\(A'(r) = 2\pi r\), lo que equivale a decir\(d\negmedspace A = 2\pi r\,\dr\). Para ver por qué esto tiene sentido geométricamente, imagínese aumentar el radio en\(\dr\), como en la imagen de abajo a la izquierda. Esto aumenta el área\(A\) del círculo a\(A + d\negmedspace A\), con\(d\negmedspace A\) el área infinitesimal del anillo sombreado en la imagen.

Corte ese anillo a lo largo de la línea discontinua y luego gírelo plano\(\dr\), dando un trapecio con altura, longitud superior\(2\pi r\) (desde la circunferencia del círculo interno del anillo) y longitud inferior\(2\pi(r+\dr)\) (desde la circunferencia del círculo exterior del anillo), como se muestra en la imagen de arriba a la derecha . Los bordes triangulares del trapecio no aportan nada al área del trapecio, ya que (por la Propiedad de Microrectitud) la hipotenusa de cada uno es efectivamente una línea recta, por lo que cada uno es un triángulo rectángulo con altura\(\dr\) y (por simetría) base\(\pi\dr\), teniendo así área\(\frac{1}{2}\pi(\dr)^2 = 0\). De ahí que toda el área\(d\negmedspace A\) del trapecio proviene de la porción rectangular de altura\(\dr\) y base\(2\pi r\), lo que significa\(d\negmedspace A = 2\pi r\,\dr\), como se esperaba.

El ejemplo anterior responde a la pregunta de si es una feliz coincidencia que la derivada del área de un círculo resulte ser la circunferencia del círculo, ¡no, no lo es! Algunos otros casos de este tipo (por ejemplo, la derivada del volumen de una esfera es su superficie) se dejan a los ejercicios. Tenga en cuenta que una “coincidencia” similar no ocurre para un cuadrado: si\(x\) es la longitud de cada lado entonces el área es\(x^2\), pero la derivada de\(x^2\) es\(2x\), que no es el perímetro del cuadrado (i.e.\(4x\)). ¿Por qué esto no sigue el mismo patrón que el círculo? Piense en una diferencia clave en la forma de un cuadrado en comparación con un círculo, teniendo en cuenta la diferenciabilidad.

Hay muchos beneficios al usar diferenciales, es decir, infinitesimales, en el cálculo. ¹⁰ Por ejemplo, recordar Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): relrate3

Agrega texto aquí.

Solución

en la Sección 3.5 sobre tasas relacionadas, donde el volumen\(V\) de un cilindro circular derecho con radio\(r\) y altura\(h\) cambia con el tiempo\(t\) como

\[\dVdt ~=~ \left( 2\pi \,r\;\cdot\;\drdt\right)\,h ~+~ \pi\,r^2 \;\cdot\;\frac{d\negmedspace h}{\dt} ~.\]La ecuación anterior obliga a considerar solo la derivada con respecto a la variable de tiempo\(t\). ¿Y si quisieras ver las tasas de cambio con respecto a otra variable, como\(r\),\(h\), o alguna otra cantidad? En ese caso, utilizando la versión diferencial de la ecuación anterior, a saber

\[\dV ~=~ 2\pi \,rh\;\dr ~+~ \pi\,r^2 \;d\negmedspace h\]proporciona más flexibilidad—usted es libre de dividir ambos lados por cualquier diferencial, no solo por\(\dt\). Muchos problemas relacionados con las tasas probablemente se beneficiarían de este enfoque.

Los libros de cálculo actuales confunden la noción de diferencial (infinitesimal)\(\dx\) con la idea de un valor pequeño pero real\(\Delta x\). Los dos no son iguales. Un infinitesimal no es un número real y no se le puede asignar un valor real, por pequeño que sea; se le\(\Delta x\) pueden asignar valores reales. Usar\(\dx\) e\(\Delta x\) indistintamente es una fuente de mucha confusión para los estudiantes (igualmente para\(\dy\) y\(\Delta y\)). Esta confusión asalta su cabeza en ejercicios que involucran la aproximación lineal de una curva por su línea tangente cerca de un punto\(x_0\), es decir,\(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) cuando\(x-x_0\) es “pequeño” (por ejemplo\(\sqrt{63} \approx 7.9375\), usando\(f(x)=\sqrt{x}\),\(x=63\),\(x_0=64\), y\(x-x_o = \Delta x = -1\)). Tales ejercicios no tienen nada que ver con diferenciales, por no hablar de tener un valor dudoso en la actualidad. Son restos de una época pasada, antes del advenimiento de la computación moderna obviaba la necesidad de aproximaciones tan (generalmente) pobres.

[sec3dot6]

2

Encuentra el diferencial\(\df\) de\(f(x) = x^2 - 2x + 5\).

Encuentra el diferencial\(\df\) de\(f(x) = \sin^2 (x^2)\).

2

Demostrar que\(d\left(\tan^{-1}(y/x)\right) = \dfrac{x\,\dy ~-~ y\,\dx}{x^2 ~+~ y^2}\)

Dado\(y^2 - xy + 2x^2 = 3\), encuentra\(\dy\vphantom{\dfrac{x\,\dy ~-~ y\,\dx}{x^2 ~+~ y^2}}\).

La elasticidad de una función\(y = f(x)\) es\(E(y) = \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{\dy}{\dx}~\). \(E(y) = \dfrac{d(\ln\,y)}{d(\ln\,x)}~\)Demuéstralo.

Demostrar la versión diferencial de la Regla del Cociente:

\[d\left(\dfrac{f}{g}\right) ~=~ \dfrac{g\,\df ~-~ f\,\dg}{g^2}\]

Vamos\(y = c\,u^n\), donde\(c\) y\(n\) son constantes. Demostrar que

\[\frac{\dy}{y} ~=~ n\,\frac{\du}{u} ~.\]

Obviamente la derivada de la constante no\(\pi^2\) lo es\(2\pi\). Pero ¿es\(d(\pi^2) = 2\pi\,d(\pi)\) verdad? Explique. [[1.] ]

La relación de continuidad para un gas ideal es

\[\frac{PM}{\sqrt{T}} ~=~ \text{constant}\]donde\(P\) y\(T\) son la presión y temperatura, respectivamente, del gas, y\(M\) es el número Mach. Demostrar que

\[\frac{\dP}{P} ~+~ \frac{d\!M}{M} ~=~ \frac{\dT}{2T} ~.\]

Para un gas ideal, satisfaciendo la ecuación\(PV = RT\) como antes, la energía de Gibbs\(G\) se define como\(G = H - TS\), donde\(H\) y\(S\) son la entalpía y entropía, respectivamente, del gas.

1. Demostrar que

   \[d\left(\dfrac{G}{RT}\right) ~=~ \dfrac{1}{RT}\,dG ~-~ \dfrac{G}{RT^2}\,\dT ~.\]

2. Una de las relaciones patrimoniales fundamentales para un gas ideal (que no es necesario probar) es

   \[dG ~=~ V\,\dP ~-~ S\,\dT ~.\]Use esto y la parte (a) para demostrar que

   \[d\left(\dfrac{G}{RT}\right) ~=~ \dfrac{V}{RT}\,\dP ~-~ \dfrac{H}{RT^2}\,\dT ~.\]

La derivada del volumen\(\pi r^2 h\) de un cilindro circular derecho de radio\(r\) y altura\(h\), en función de\(r\), iguala su superficie lateral\(2\pi r h\). Utilizar la noción de diferencial como cambio infinitesimal para explicar por qué esto tiene sentido geométricamente.

La derivada del volumen\(\frac{4\pi}{3}r^3\) de una esfera de radio\(r\), en función de\(r\), es igual a su superficie\(4\pi r^2\). Utilizar la noción de diferencial como cambio infinitesimal para explicar por qué esto tiene sentido geométricamente.

En el cálculo\(q\) cuántico el diferencial de una función\(f(x)\) es

\[d_qf(x) ~=~ f(qx) ~-~ f(x) ~,\]y el \(q\)-derivado de\(f(x)\) es

\[D_qf(x) ~=~ \frac{d_qf(x)}{d_qx} ~=~ \frac{f(qx) ~-~ f(x)}{qx ~-~ x} ~=~ \frac{f(qx) ~-~ f(x)}{(q - 1)x} ~.\]

1. Demostrar que para todos los enteros positivos\(n\),

   \[D_q\left(x^n\right) ~=~ \lbrack n \rbrack\, x^{n-1} ~,\]donde\(\lbrack n \rbrack = 1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}\).

2. Utilice la parte (a) para mostrar que para todos los enteros positivos\(n\),

   \[\lim_{q \to 1}~D_q\left(x^n\right) ~=~ \ddx\left(x^n\right) ~.\]