5.2: La Integral Definitiva

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Recordemos de la última sección que el signo integral en la integral indefinida

\[\int\,f(x)~\dx\]

representa una suma de los infinitesimales$f(x)\,\dx = d\!F$ para una antiderivada$F(x)$ de$f(x)$. ¿Por qué se usa el término “indefinido”? Porque la suma es indefinida: el$x$ in$f(x)\;\dx$ se define genéricamente, que significa “$x$en general”, es decir, no para$x$ en un rango específico de valores. La misma suma en un rango específico y definido de valores de$x$, por ejemplo, a lo largo de un intervalo$\ival{a}{b}$, es un tipo diferente de integral:

Una integral indefinida produce una función genérica, mientras que una integral definida produce un número o una función específica. Existen muchas formas de calcular la suma específica en una integral definida, una de las cuales está motivada por una interpretación geométrica de lo infinitesimal$f(x)\;\dx$ como el área de un rectángulo, como en la Figura [fig:defint] a continuación:

El rectángulo sombreado en la imagen de arriba tiene altura$f(x)$ y ancho$\dx$, y así es su área$f(x)\;\dx$. De hecho, parece que esa área es apenas un poco más pequeña que el área bajo la curva$y=f(x)$ y por encima del$x$ eje -entre$x$ y$x+\dx$; hay un pequeño hueco entre la curva y la parte superior del rectángulo, lo que explica la diferencia en el área. No obstante, el área de esa brecha resulta ser cero, como se muestra a continuación:

Por la Propiedad de Microrectitud, la curva$y=f(x)$ mostrada en la Figura [fig:defint] es una línea recta sobre el intervalo infinitesimal$\ival{x}{x+\dx}$, como se muestra en la Figura [fig:defintinf]. ¹ Así, la parte del área entre la curva y el$x$ eje -sobre el intervalo$\ival{x}{x+\dx}$ consta de dos partes: el área$f(x)\,\dx$ del rectángulo sombreado y el área del triángulo rectángulo$\triangle ABC$, ambas de las cuales se muestran en la Figura [fig:defintinf]. Sin embargo, el área de$\triangle ABC$ es cero:

\[\text{Area of }\triangle ABC ~=~ \frac{1}{2}\text{(base)}\times\text{(height)} ~=~ \frac{1}{2}(\dx)(\df) ~=~ \frac{1}{2}(\dx)(f'(x)\,\dx) ~=~ \frac{1}{2}f'(x)(\dx)^2 ~=~ 0\]

La función que$f$ se muestra en la Figura [fig:defintinf] está aumentando en$x$, pero se podría hacer un argumento similar si$f$ estuvieran disminuyendo en$x$. De ahí que el área entre la curva$y=f(x)$ y el$x$ eje -proviene únicamente de los rectángulos con área$f(x)\,\dx$, ya que$x$ varía de$a$ a$b$. La suma de todas esas áreas rectangulares, sin embargo, es igual a la integral definida de$f(x)$ over$\ival{a}{b}$. La integral definida puede interpretarse así como un área:

En la Figura [fig:defintarea] el área bajo la curva$y=f(x)$ entre$x=a$ y$x=b$ es el área$A$ de la región sombreada$R$, a saber$A = \int_a^bf(x)\,\dx$. Para calcular esa área para una función específica, se pueden utilizar de nuevo rectángulos, pero esta vez con anchos que son pequeños números positivos en lugar de infinitesimales. El procedimiento es el siguiente:

Crear una partición$P = \lbrace x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n \rbrace$ del intervalo$\ival{a}{b}$ en$n \ge 1$ subintervalos$\ival{x_0}{x_1}$,$\ival{x_1}{x_2}$,$\ldots$,$\ival{x_{n-1}}{x_n}$, con$x_0 = a$ y$x_n = b$.
En cada subintervalo$\ival{x_{i-1}}{x_i}$ de$P$ elegir un número$x_i^*$,$x_{i-1} \le x_i^* \le x_i$ para que$i=1$ para$n$.
$i=1$Para$n$, formar un rectángulo cuya base es el subintervalo$\ival{x_{i-1}}{x_i}$ de longitud$\Delta x_i = x_i - x_{i-1} > 0$ y cuya altura es$f(x_i^*)$.
Toma la suma$f(x_1^*) \Delta x_1 + f(x_2^*) \Delta x_2 + \cdots + f(x_n^*) \Delta x_n$ de las áreas de estos rectángulos, llamada suma de Riemann.
Tome el límite de las sumas de Riemann como$n \to \infty$, para que las longitudes del subintervalo se acerquen a 0. Si el límite existe entonces ese límite es el área$A$ de la región$R$:
\[\label{eqn:riemannsum} \text{Area } A ~=~ \int_a^b\,f(x)~\dx ~=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x_i\]

El límite en la Fórmula ([eqn:riemannsum]) debe ser tomado sobre todas las particiones cuya norma —la longitud del subintervalo más grande— se aproxime a 0. En la práctica, sin embargo, las particiones generalmente se eligen de manera que los subintervalos sean de igual longitud, y luego simplemente hacer esas longitudes iguales cada vez más pequeñas dividiendo el intervalo$\ival{a}{b}$ en más y más subintervalos de este tipo. Tenga en cuenta que los puntos$x_i^*$ en cada subintervalo pueden estar en cualquier lugar del subintervalo, a menudo se elige el punto medio del subintervalo, pero los extremos izquierdo y derecho también son opciones típicas.

En el procedimiento anterior los huecos entre los rectángulos y la curva tendrán áreas que se acercan a 0 a medida que crece el número$n$ de subintervalos y las longitudes del subintervalo se acercan a 0. Esto es cierto si la función$f$ es diferenciable, y de hecho incluso si$f$ es meramente continua. ² Así, el área bajo la curva puede ser definida por el procedimiento anterior.

Para calcular el área bajo una curva de esta manera, el lector debe tener cierta familiaridad con la notación de suma en Fórmula ([eqn:riemannsum]).

Las siguientes reglas para esta “notación Sigma” son intuitivamente obvias:

Las siguientes fórmulas de suma pueden ser útiles a la hora de calcular las sumas de Riemann:

La fórmula (1) es obvia: sumar el número$1$ un total de$n$ veces y la suma es$n$.
La fórmula (2) se puede probar por inducción:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k ~=~ \dfrac{n\,(n + 1)}{2}$Demuéstralo para$n=1$:
\[\sum_{k=1}^{1} k ~=~ 1 ~=~ \frac{1\,(1 + 1)}{2} \quad\checkmark\]
Supongamos que$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k ~=~ \dfrac{n\,(n + 1)}{2}$ para algún entero$n \ge 1$. Mostrar que la fórmula se mantiene para$n$ reemplazado por$n+1$, es decir:
\[\sum_{k=1}^{n+1} k ~=~ \frac{(n + 1)\,((n + 1) + 1)}{2} ~=~ \frac{(n + 1)\,(n + 2)}{2}\]Para mostrar esto, tenga en cuenta que

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} k ~&=~ 1 ~+~ 2 ~+~ \cdots ~+~ n ~+~ (n+1) ~=~ \sum_{k=1}^{n} k ~+~ (n+1)\\[6pt] &=~ \frac{n\,(n + 1)}{2} ~+~ (n+1) ~=~ \frac{n\,(n + 1) ~+~ 2(n+1)}{2} ~=~ \frac{(n + 1)\,(n + 2)}{2} \quad\checkmark\end{aligned}\]
Por inducción, esto prueba la fórmula para todos los enteros$n \ge 1$.

Las fórmulas (3) - (5) se pueden probar de manera similar por inducción (ver los ejercicios). El siguiente ejemplo muestra cómo se utilizan las fórmulas (2) y (3) para encontrar el límite de una suma de Riemann.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: riemann1

Usa las sumas de Riemann para calcular$\displaystyle\int_1^2 x^2~\dx$.

Solución

La integral definida es el área bajo la curva$y=f(x)=x^2$ entre$x=1$ y$x=2$, como se muestra en la Figura [fig:riemann1] (a):

Divida el intervalo$\ival{1}{2}$ en$n$ subintervalos de igual longitud$\Delta x_i = (2-1)/n = 1/n$ para$i =1$ a$n$, de modo que la partición$P$ esté$\lbrace x_0 < x_1 < \ldots x_n \rbrace$ donde$x_i = 1 + \frac{i}{n}$ para$i=0$,,$1$$\ldots$,$n$ (y por lo tanto$x_0=1$ y$x_n=2$). En cada subintervalo$\ival{x_{i-1}}{x_i}$ escoge el punto$x_i^*$ para ser el punto final izquierdo$x_{i-1}$, para que los rectángulos aparezcan como en la Figura [fig:riemann1] (b). Entonces

\[\begin{aligned} \int_1^2 x^2~\dx ~&=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x_i ~=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\,\frac{1}{n} ~=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} x_{i-1}^2\,\frac{1}{n}\\[6pt] &=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} \left(1 + \frac{i-1}{n}\right)^2\frac{1}{n} ~=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n} ~+~ \frac{2}{n^2}(i-1) ~+~ \frac{1}{n^3}(i-1)^2\right)\\[6pt] &=~ \lim_{n \to \infty}~\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} ~+~ \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(i-1) ~+~ \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}(i-1)^2\right) ~=~ \lim_{n \to \infty}~\left(1 ~+~ \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n-1}i ~+~ \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n-1}i^2\right)\\[6pt] &= \lim_{n \to \infty}~\left(1 \;+\; \frac{2}{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2} \;+\; \frac{1}{n^3}\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\right)\quad\text{(replace $n$ by $n-1$ in Formulas (2) and (3))}\\[6pt] &=~ \left(\lim_{n \to \infty}\,1\right) ~+~ \left(\lim_{n \to \infty}\,\frac{n-1}{n}\right) ~+~ \left(\lim_{n \to \infty}\,\frac{2n^2-3n+1}{6n^2}\right)\\[6pt] &=~ 1 ~+~ \frac{1}{1} ~+~ \frac{2}{6} ~=~ \frac{7}{3}\end{aligned}\]

A menudo es más sencillo usar una computadora para calcular aproximaciones de una integral definida, tomando la suma de Riemann de un número suficientemente grande de rectángulos para lograr la precisión deseada. Elegir subintervalos de igual longitud, como en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: riemann1

, facilita el uso de un algoritmo para calcular la integral.

Por ejemplo, la siguiente tabla resume los cálculos de las sumas de Riemann para la función en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: riemann1

—es decir,$f(x)= x^2$ sobre$\ival{1}{2}$ —usando diferentes valores para los puntos$x_i^*$ en los subintervalos (puntos finales izquierdos, puntos medios y extremos derechos):

Debido a la concavidad de la curva$y=x^2$, el uso de los extremos izquierdos subestima el área real, mientras que el uso de los extremos derechos produce una sobreestimación. El uso de los puntos medios generalmente da mejores resultados (es decir, más precisión en menos iteraciones).

Hasta ahora solo se han considerado integrales definidas de funciones no negativas, es decir, funciones a$f(x) \ge 0$ lo largo de un intervalo$\ival{a}{b}$. Si$f(x)$ es negativo o cambia de signo$\ival{a}{b}$, entonces la integral definida se puede definir de la siguiente manera:

Nota: En la integral definida$\displaystyle\int_a^b\,f(x)\;\dx$ los números$a$ y$b$ se denominan los límites de integración,$a$ siendo el límite inferior de integración y$b$ el límite superior de integración. La función$f(x)$ que se integra se llama integrando, tanto en integrales definidas como indefinidas.

[sec5dot2]

Explica por qué$\displaystyle\int_a^b c~\dx ~=~ c(b-a)$ para cualquier constante$c$.

¿El uso de endpoints izquierdos en las sumas de Riemann subestimaría o sobreestimaría$\int_1^2 \ln x\,\dx$? Explicar. [[1.] ]

Usa las sumas de Riemann para calcular$\displaystyle\int_0^1 x~\dx$.

Usa las sumas de Riemann para calcular$\displaystyle\int_0^1 x^2~\dx$.

Usa las sumas de Riemann para calcular$\displaystyle\int_0^1 3x^2~\dx$.

Usa las sumas de Riemann para calcular$\displaystyle\int_0^1 x^3~\dx$.

Demostrar la fórmula$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k^2 ~=~ \dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}~$ por inducción en$n\ge 1$.

Probar la fórmula de$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k^2 ~=~ \dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}~$ la siguiente manera:

$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~\left( (k+1)^3 ~-~ k^3 \right) ~=~ (n+1)^3 ~-~ 1~$Demuéstralo.
$(k+1)^3 ~-~ k^3 ~=~ 3k^2 ~+~ 3k ~+~ 1~$Demuéstralo.
Use la fórmula$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k ~=~ \dfrac{n\,(n+1)}{2}~$ y las partes (a) y (b) para mostrarlo$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k^2 ~=~ \dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}~$.

Demostrar la fórmula$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k^3 ~=~ \dfrac{n^2\,(n+1)^2}{4}~$ por inducción en$n \ge 1$.

El famoso algoritmo quicksort en informática es un método popular para colocar objetos en algún orden (por ejemplo, numérico, alfabético). En promedio el algoritmo necesita$O(n\;\log\,n)$ comparaciones para ordenar$n$ los objetos (aquí$\log\,n$ significa el logaritmo natural de$n$). La prueba de esa complejidad promedio depende de la desigualdad

\[\sum_{k=2}^{m-1}\;k\,\ln\,k ~\le~ \int_2^m x\,\ln\,x\;\dx\]para todos los enteros$m > 2$. Explique por qué esa desigualdad es cierta. [[1.] ]

Demostrar la fórmula$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^4 ~=~ 1^4 ~+~ 2^4 ~+~ \cdots ~+~ n^4 ~=~ \dfrac{n\,(n + 1)\,(6n^3 + 9n^2 + n - 1)}{30}$ por inducción en$n \ge 1$.

Calcula la siguiente suma:

\[1 ~+~ (1 + 2) ~+~ (1 + 2 + 3) ~+~ (1 + 2 + 3 + 4) ~+~ \cdots ~+~ (1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 50)\]