5.3: El teorema fundamental del cálculo

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Usar sumas de Riemann para calcular integrales definidas puede ser tedioso, como se vio en la sección anterior. De hecho la técnica mostrada en esa sección dependía de que la función fuera un polinomio de bajo grado, lo que obviamente no siempre será el caso. Por suerte hay una mejor manera, involucrando antiderivados, dado por el siguiente teorema:

La función$A(x)$ en la Parte I del teorema a veces se llama la función de área porque representa el área bajo la curva$y=f(x)$ sobre el intervalo$\ival{a}{x}$, como se muestra en la Figura [fig:ftc1] a continuación.

Para probar la Parte I, supongamos que$f(x) \ge 0$ on$\ival{a}{b}$ como en la Figura [fig:ftc1] (las pruebas para el signo negativo$f(x)$ o de cambio$\ival{a}{b}$ son similares). El objetivo es mostrar que para cualquiera$x$ en$\ival{a}{b}$ el diferencial$\dA$ existe e iguala$f(x)\,\dx$. En primer lugar,$\dA = A(x+\dx) - A(x)$ se encuentra el área bajo la curva$y=f(x)$ a lo largo del intervalo$\ival{x}{x+\dx}$, como se muestra en la Figura [Fig:FTC1DA] anterior.

Por la Propiedad de Microrectitud$f$ es una línea recta sobre el intervalo infinitesimal$\ival{x}{x+\dx}$, por lo que$f$ debe ser creciente, constante o decreciente a lo largo de ese intervalo. Las tres posibilidades se muestran en la Figura [Fig:FTC1DA3]:

En el caso donde$f$ se va incrementando$\ival{x}{x+\dx}$, el área infinitesimal$\dA$ es la suma del área del rectángulo de altura$f(x)$ y ancho$\dx$ y el área del triángulo rectángulo que$\triangle ABC$ se muestra en la Figura [Fig:FTC1DA3] (a). El área de$\triangle ABC$ es$\frac{1}{2}(\df)(\dx) = \frac{1}{2}f'(x)(\dx)^2 = 0$, entonces$\dA = f(x)\,\dx$.

En el caso donde$f$ es constante sobre$\ival{x}{x+\dx}$, el área infinitesimal$\dA$ es el área del rectángulo de altura$f(x)$ y ancho$\dx$, como se muestra en la Figura [Fig:FTC1DA3] (b). Entonces otra vez,$\dA = f(x)\,\dx$.

En el caso en el que$f$ está disminuyendo$\ival{x}{x+\dx}$, el área infinitesimal$\dA$ es la suma del área del rectángulo de altura$f(x+\dx)$ y ancho$\dx$ y el área del triángulo rectángulo que$\triangle ABC$ se muestra en la Figura [Fig:FTC1DA3] (c). Tenga en cuenta que$\df < 0$ ya$f$ es decreciente, y así el área de$\triangle ABC$ es$\frac{1}{2}(-\df)(\dx) = -\frac{1}{2}f'(x)(\dx)^2 = 0$. Por lo tanto,

\[\dA ~=~ f(x+\dx)\,\dx ~=~ (f(x) + \df)\,\dx ~=~ f(x)\,\dx ~+~ f'(x)(\dx)^2 ~=~ f(x)\,\dx ~+~ 0 ~=~ f(x)\,\dx ~.\]

Entonces en los tres casos,$\dA = f(x)\,\dx$, y así$A'(x) = \frac{\dA}{\dx} = f(x)$, lo que demuestra que$A(x)$ es diferenciable y tiene derivado$f(x)$. Esto prueba la Parte I del Teorema Fundamental del Cálculo. $\quad\checkmark$

Para probar la Parte II del teorema, deja$F(x)$ ser una antiderivada de$f(x)$ más$\ival{a}{b}$. Ya que también$A(x) = \int_a^x f(x)\,\dx$ es un antiderivado de$f(x)$ más$\ival{a}{b}$ por la Parte I del teorema, entonces$A(x)$ y$F(x)$ difieren por una constante$C$ sobre$\ival{a}{b}$. En otras palabras:

\[A(x) ~=~ F(x) ~+~ C \quad\text{for all $x$ in $\ival{a}{b}$}\]

Por definición$A(a) = 0$, ya que es el área bajo la curva sobre el intervalo$\ival{a}{a}$ de longitud cero. Por lo tanto,

\[0 ~=~ A(a) ~=~ F(a) ~+~ C \quad\Rightarrow\quad C ~=~ -F(a) \quad\Rightarrow\quad A(x) ~=~ F(x) ~-~ F(a) \quad\text{for all $x$ in $\ival{a}{b}$}\]y así

\[\int_a^b f(x)~\dx ~=~ A(b) ~=~ F(b) ~-~ F(a)\]lo que prueba la Parte II del teorema. ³$\quad\checkmark$

Nota: En algunos libros de texto la Parte I se llama el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y la Parte II se llama el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. La siguiente notación proporciona una forma taquigráfica de escribir$F(b) - F(a)$:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: ftc1

Agrega texto aquí.

Solución

Calcular$\displaystyle\int_1^2 x^2~\dx$.

Solución: Recuérdalo del Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: riemann1

Agrega texto aquí.

Solución

en el apartado anterior que la integral iguala$7/3$. En ese ejemplo se utilizaron sumas de Riemann, pero la Parte II del Teorema Fundamental del Cálculo hace que la integral sea mucho más fácil de calcular. Dado que$F(x) = \frac{x^3}{3}$ es un antiderivado de$f(x) = x^2$, entonces

\[\int_1^2 x^2~\dx ~=~ \frac{x^3}{3}~\Biggr|_1^{2} ~=~ \frac{2^3}{3} ~-~ \frac{1^3}{3} ~=~ \frac{7}{3} ~.\]

Obsérvese en el ejemplo anterior que se$f(x)=x^2$ podría haber usado cualquier antiderivado de, e.g$F(x)= \frac{x^3}{3} + 5$. Observe que la constante 5 habría sido cancelada a la hora de evaluar$F(2)-F(1)$. Por lo que no es necesario agregar una constante genérica$C$ a la antiderivada de$f(x)$ en una integral definida, como lo haría en una integral indefinida.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: ftc2

Agrega texto aquí.

Solución

Calcular$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin\,x~\dx$.

Solución: Dado que$F(x) = -\cos\,x$ es un antiderivado de$f(x) = \sin\,x$, entonces

\[\int_0^{\pi} \sin\,x~\dx ~=~ -\cos\,x~\Biggr|_0^{\pi} ~=~ -\cos\,\pi ~-~ (-\cos\,0) ~=~ -(-1) ~-~ (-1) ~=~ 2 ~.\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: ftc3

Agrega texto aquí.

Solución

Calcular$\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3~\dx$.

Solución: Dado que$F(x) = \frac{x^4}{4}$ es un antiderivado de$f(x) = x^3$, entonces

\[\int_{-1}^{1} x^3~\dx ~=~ \frac{x^4}{4}~\Biggr|_{-1}^{1} ~=~ \frac{1^4}{4} ~-~ \frac{(-1)^4}{4} ~=~ \frac{1}{4} ~-~ \frac{1}{4} ~=~ 0~.\]

Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: ftc3

es un caso especial del siguiente resultado para funciones impares:

La idea es que dado que una función impar es simétrica alrededor del origen, entonces el área entre la curva y el$x$ eje sobre$\ival{0}{a}$ cancelará el área entre la curva y el$x$ eje sobre$\ival{-a}{0}$. Ambas áreas son iguales pero una se cuenta como positiva y la otra negativa, como se muestra en la Figura [fig:defintodd] a continuación:

Por simetría alrededor del$y$ eje -eje, se mantiene un resultado similar para funciones pares (ver Figura [fig:definteven]):

Las siguientes reglas para integrales definidas son consecuencia de las reglas correspondientes para integrales indefinidas:

Los siguientes resultados para integrales definidas son consecuencia del Teorema Fundamental del Cálculo:

Por ejemplo, si$F(x)$ es un antiderivado de$f(x)$ on$\ival{a}{b}$, entonces

\[\int_a^c f(x)~\dx ~+~ \int_c^b f(x)~\dx ~=~ (F(c) - F(a)) ~+~ (F(b) - F(c)) ~=~ F(b) ~-~ F(a) ~=~ \int_a^b f(x)~\dx\]lo que prueba la regla (3).

El siguiente resultado es una consecuencia de la Parte I del Teorema Fundamental del Cálculo junto con la Regla de Cadena:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: ftc4

Agrega texto aquí.

Solución

Dejemos$F(x) = \displaystyle\int_0^{x^2} e^{-t^2}~\dt$ para todos$x > 0$. Encuentra$F'(x)$.

Solución: Por la regla de cadena para integrales, con$f(t) = e^{t^2}$ y$g(x) = x^2$:

\[F'(x) ~=~ f(g(x))\cdot g'(x) ~=~ e^{-(x^2)^2} \cdot (2x) ~=~ 2x\,e^{-x^4}\]

[sec5dot3]

Para los Ejercicios 1-12, evaluar la integral definida dada.

$\displaystyle\int_{0}^{1}\, x^2 ~\dx$

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\, x^2 ~\dx$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\, x^3 ~\dx$

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\, (x^2 + 3x - 4) ~\dx$

$\displaystyle\int_{1}^{2}\, \frac{1}{x^2} ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}$

$\displaystyle\int_{2}^{3}\, \frac{1}{x^3} ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\, \cos\,x ~\dx$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\, e^x ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}$

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\, 2e^x ~\dx\vphantom{\dfrac{x^3\,e^{x^2}}{\cos\,2x}}$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\, \sin\,x ~\dx\vphantom{\dfrac{x^3\,e^{x^2}}{\cos\,2x}}$

$\displaystyle\int_{0}^{4}\, \sqrt{x} ~\dx\vphantom{\dfrac{x^3\,e^{x^2}}{\cos\,2x}}$

$\displaystyle\int_{-2}^{2}\, \dfrac{x^3\,e^{x^2}}{\cos\,2x} ~\dx$

$\ln\,x ~=~ \displaystyle\int_{1}^{x}\, \frac{1}{t} ~\dt$Demuéstralo para todos$x > 0$.

$\displaystyle\int_b^a\,f(x)~\dx ~=~ -\displaystyle\int_a^b\,f(x)~\dx$Demuéstralo.

Dado$f(x) ~=~\displaystyle\int_{1}^{x}~\dfrac{t}{\sqrt{t^4 + 1}}~\dt~$, encontrar$f'(3)$ y$f'(-2)$. [[1.] ]

Demostrar la regla de la cadena para integrales.

Explicar por qué para cualquier función continua$f$ en$\ival{a}{b}$,$\ABS{\displaystyle\int_a^b\,f(x)~\dx} ~\le~ \displaystyle\int_a^b\,\abs{f(x)}~\dx ~.$

Explique por qué si$f(x) \le g(x)$ en$\ival{a}{b}$ entonces$\displaystyle\int_a^b\,f(x)~\dx ~\le~ \displaystyle\int_a^b\,g(x)~\dx ~.$ [[1.] ]

Demostrar que si$f(x)$ es continuo$\ival{a}{b}$ entonces hay un número$c$ en$(a,b)$ tal que

\[\int_a^b f(x)~\dx = f(c) \cdot (b-a) ~.\]

Dejar$f(t)$ ser una función continua para todos$t \ge 0$, y para cada uno$x \ge 0$ definir una función$g(x)$ por

\[g(x) ~=~ \displaystyle\int_0^x ~(x-t)\,f(t)~\dt ~.\]$g'(x) ~=~ \displaystyle\int_0^x ~f(t)~\dt ~$Demuéstralo para todos$x \ge 0$.

Demostrar que para todos$x > 0$,

\[\int_0^x \frac{\dt}{1+t^2} ~+~ \int_0^{1/x} \frac{\dt}{1+t^2}\]es independiente de$x$.