6.1: Integración por Partes

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En física e ingeniería la función Gamma ¹$\Gamma\,(t)$, definida por

\[\Gamma\,(t) ~=~ \int_0^{\infty} x^{t-1} \, e^{-x} ~\dx \quad\text{for all $t > 0$,}\]ha encontrado muchos usos. Evaluar$\Gamma\,(2)$ implica integrar la función$f(x) = x\,e^{-x}$. Ninguna fórmula o sustitución que hayas aprendido hasta ahora sería de ayuda. Diferenciar esa función, por otro lado, es fácil. Por la Regla del Producto para los diferenciales,

\[\begin{aligned} d(x\,e^{-x}) ~&=~ x\,d(e^{-x}) ~+~ d(x)\,e^{-x}\\ &=~ -x\,e^{-x}\,\dx ~+~ e^{-x}\,\dx\\ d(x\,e^{-x}) ~&=~ -x\,e^{-x}\,\dx ~-~ d(e^{-x})\\ x\,e^{-x}\,\dx ~&=~ -d(x\,e^{-x}) ~-~ d(e^{-x}),\quad\text{so integrate both sides to get}\

\ [6pt]\ int x\, e^ {-x}\,\ dx ~&=~ -\ int d (x\, e^ {-x}) ~-~\ int d (e^ {-x}) ~=~ -x\, e^ {-x} ~-~ e^ {-x} ~+~ C\ end {alineado}\] desde$\int d\!F \,=\, F \,+\, C$. Generalizar este proceso para funciones$u$ y$v$,

\[\begin{aligned} d(uv) ~&=~ u\,\dv ~+~ v\,\du\\ u\,\dv ~&=~ d(uv) ~-~ v\,\du\end{aligned}\]de manera que la integración de ambos lados produce la fórmula de integración por partes:

La integración por partes es solo la regla del producto para derivados en forma integral, generalmente utilizada cuando la integral$\int v\,\du$ sería más simple que la integral original$\int u\,\dv$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts1

Agrega texto aquí.

Solución

Utilice la integración por partes para evaluar$~\displaystyle\int x\,e^{-x}\,\dx~$. Usa la respuesta para evaluar$\Gamma\,(2)$.

Solución: La integral original es siempre de la forma$\int u\,\dv$, por lo que debes decidir qué partes de$x e^{-x}\,\dx$ representarán$u$ y$\dv$. Normalmente elegirías$\dv$ ser un diferencial que pudieras integrar fácilmente (ya que necesitarás integrarlo$\dv$ para obtener$v$) y elegir$u$ ser una función cuya derivada sea más simple que$u$ (ya que esa derivada aparecerá en$v\,\du$, en la que esperas ser una integral más simple). En este caso, recoger$u = x$ y$\dv = e^{-x}\,\dx$. Entonces$\du = \dx$ y$v = \int \dv = \int e^{-x}\,\dx = -e^{-x}$ (puedes omitir la constante genérica$C$ por ahora, inclúyala cuando hayas evaluado$\int v\,\du$). Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \int u\,\dv ~&=~ uv ~-~ \int v\,\du\

\ [6pt]\ int\ underbracket [0.3pt] {x\ vphantom {\ tfrac {1} {2}} _ {u\ vphantom {d}}\,\ underbracket [0.3pt] {e^ {-x}\,\ dx\ vphantom {\ tfrac {1} {2}}} _ {\ dv} ~&=~\ underbracket [0.3pt] _ {\ dv} ~&=~\ underbracket [3pt] {x\ vphantom {\ tfrac {1} {2}}} _ {u\ vphantom {d}}\,\ underbracket [0.3pt] {(-e^ {-x})\ vphantom {\ tfrac {1} {2}} _ {v\ vphantom {d}} ~-~\ int\ underbracket [0.3pt] {- e^ {-x}\ vphantom {\ tfrac {1} {2}}} _ {v\ vphantom {d}}\,\ underbracket [0.3pt] {\ dx\ vphantom {\ tfrac {1} {2}}} _ {\ du}\

\ [6pt]\ int x\, e^ {-x}\,\ dx ~&=~ -x\, e^ {-x} ~-~ e^ {-x} ~+~ C\ end {alineado}\] lo que concuerda con el ejemplo al inicio de esta sección. Obsérvese eso$\int v\,\du = \int -e^{-x}\,\dx$, que en efecto es más sencillo que la integral original. El valor de la función Gamma ahora se$\Gamma\,(2)$ puede evaluar:

\[\begin{aligned} \Gamma\,(2) ~&=~ \int_0^{\infty} x\,e^{-x}\,\dx\\ &=~ -x\,e^{-x} ~-~ e^{-x}~\Biggr|_{0}^{\infty}\

\ [4pt] &=~\ lim_ {x\ a\ infty} ~ (-x\, e^ {-x} ~-~ e^ {-x}) ~-~ (-0\, e^ {0} ~-~ e^ {0})\

\ [4pt] &=~ -\ izquierda (\ lim_ {x\ a\ infty} ~\ frac {x} {e^x}\ derecha) ~-~\ izquierda (\ lim_ {x\ a\ infty} ~e^ {-x}\ derecha) ~-~ (0 - 1)\

\ [4pt] &=~ 0 ~-~ 0 ~+~ 1 ~=~ 1\ end {alineado}\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts2

Agrega texto aquí.

Solución

Qué pasaría en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts1

Agrega texto aquí.

Solución

si se deja$u = e^{-x}$ y$\dv = x\,\dx$?

Solución: En este caso$\du = -e^{-x}\,\dx$ y$v = \int \dv = \int x\,\dx = \frac{1}{2}x^2$, para que

\[\begin{aligned} \int x\,e^{-x}\,\dx ~&=~ \int \underbracket[0.3pt]{e^{-x}\vphantom{\tfrac{1}{2}}}_{u\vphantom{d}}\,\underbracket[0.3pt]{x~\dx\vphantom{\tfrac{1}{2}}}_{\dv}\

\ [6pt] &=~\ underbracket [0.3pt] {e^ {-x}\ vphantom {\ frac {1} {2}} _ {u\ vphantom {d}}\,\ underbracket [0.3pt] {\ frac {1} {2} x^2} _ _ {v\ vphantom {d}} ~-~\ int\ underbracket [0.3pt] {\ frac {1} {2} x^2} _ {v\ vphantom {d}}\,\ underbracket [0.3pt] {(-e^ {-x})\,\ dx\ vphantom {\ frac {1} {2}}} _ {\ du}\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {2} x^2\, e^ {-x} ~+~\ frac {1} {2}\,\ int x^2\, e^ {-x}\,\ dx\ end {alineado}\] lo que te lleva en la dirección equivocada: una integral más difícil que la original.

Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts2

Agrega texto aquí.

Solución

mostró la importancia de una elección adecuada para$u$ y$\dv$. Hay algunas pautas aproximadas para esa elección, como en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts1

Agrega texto aquí.

Solución

—pero no hay reglas que estén garantizadas para funcionar siempre. Puede que no quede claro cuándo se debe intentar la integración por partes.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts3

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int \ln x~\dx~$.

Solución: La integración por partes requiere ostensiblemente dos funciones en la integral, mientras que aquí$\ln x$ parece ser la única. Sin embargo, la elección para$\dv$ es un diferencial, y uno existe aquí:$\dx$. Elegir te$\dv = \dx$ obliga a dejar$u = \ln\,x$. Entonces$\du = \frac{1}{x}\;\dx$ y$v = \int \dv = \int \dx = x$. Ahora integre por partes:

\[\begin{aligned} \int u\,\dv ~&=~ uv ~-~ \int v\,\du\

\ [6pt]\ int\ ln\, x~\ dx ~&=~ (\ ln\, x)\, (x) ~-~\ int x\ cdot\ frac {1} {x} ~\ dx\

\ [6pt] &=~ x\,\ ln\, x ~-~\ int 1~\ dx\

\ [6pt] &=~ x\,\ ln\, x ~-~ x ~+~ C\ end {aligned}\] Tenga en cuenta que elegir no$\dv = \ln\,x\;\dx$ tendría sentido, ¡ya que integrar$\dv$ para obtener$v$ es el problema original!

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts4

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int x^3\,e^{x^2}\,\dx~$.

Solución: Una guía frecuentemente útil para la integración por partes es eliminar la función más complicada de la integral integrándola$\dv$ —como— en algo más simple (que se vuelve$v$). En esta integral,$e^{x^2}$ es algo complicado pero no tiene forma cerrada antiderivada. Sin embargo,$x\,e^{x^2}$ aparece en la integral y se puede integrar fácilmente (utilizando una sustitución como en la Sección 5.4). Así que elige$\dv = x\,e^{x^2}\,\dx$, lo que significa$u = x^2$. Entonces$\du = 2x\,\dx$ y$v = \int \dv = \int x\,e^{x^2}\,\dx = \frac{1}{2}e^{x^2}$. Ahora integre por partes:

\[\begin{aligned} \int u\,\dv ~&=~ uv ~-~ \int v\,\du\

\ [6pt]\ int x^3\, e^ {x^2}\,\ dx ~&=~ x^2\,\ cdot\,\ frac {1} {2}\, e^ {x^2} ~-~\ int\ frac {1} {2}\, e^ {x^2}\ cdot 2x~\ dx\

\ [6pt] &=~\ frac {x^2} {2}\, e^ {x^2} ~-~\ int x\, e^ {x^2}\,\ dx\

\ [6pt] &=~\ frac {x^2} {2}\, e^ {x^2} ~-~\ frac {1} {2}\, e^ {x^2} ~+~ C\

\ [6pt] &=~\ frac {(x^2 - 1)} {2}\, e^ {x^2} ~+~ C\ end {alineado}\]

A veces se necesitan múltiples rondas de integración por partes, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts5

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int x^2\,e^{-x}\,\dx~$.

Solución: Esta integral parece similar a la del Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts1

Agrega texto aquí.

Solución

, así que elige$\dv = e^{-x}\,\dx$ y$u = x^2$. Entonces$\du = 2x\,\dx$ y$v = \int e^{-x}\,\dv = -e^{-x}$. Ahora integre por partes:

\[\begin{aligned} \int u\,\dv ~&=~ uv ~-~ \int v\,\du\

\ [6pt]\ int x^2\, e^ {-x}\,\ dx ~&=~ x^2\,\ cdot\, (-e^ {-x}) ~-~\ int -e^ {-x}\ cdot 2x~\ dx\

\ [6pt] &=~ -x^2\, e^ {-x} ~+~ 2\,\ int x\, e^ {-x}\,\ dx\ quad\ text {(integrar por partes\ emph {de nuevo})}\

\ [4pt]\ int x^2\, e^ {-x}\,\ dx ~&=~ -x^2\, e^ {-x} ~+~ 2\, (-x\, e^ {-x} ~-~ e^ {-x}) ~+~ C\ quad\ text {(por Ejemplo\ ref {exmp:intparts1})}\\ &=~ -x^2\, e^ {-x} ~-~ 2x\, e^ {-x} ~-~ 2\, e^ {-x} ~+~ C\ final {alineado}\]

En el ejemplo anterior, observe que la$u=2x$ en la segunda integral vino de la derivada de la$u=x^2$ en la primera integral. De igual manera, la$\dv =-e^{-x}\,\dx$ en la segunda integral vino de integrar la$\dv=e^{-x}\,\dx$ de la primera integral. En general, si se necesitaban$n$ rondas de integración por partes, con$u_i$ y$v_i$ representando la$u$ y$v$, respectivamente, para la ronda$i =1$$2$,$\ldots$,$n$,, entonces la integración repetida por partes se vería así:

\[\begin{aligned} \int u_1\,\dv_1 ~&=~ u_1v_1 ~-~ \int v_1\,\du_1\

\ [6pt] &=~ u_1v_1 ~-~\ int u_2\,\ dv_2\

\ [6pt] &=~ u_1v_1 ~-~\ izquierda (u_2v_2 ~-~\ int v_2\,\ du_2\ derecha) ~=~ u_1v_1 ~-~ u_2v_2 ~+~\ int u_3\,\ dv_3\

\ [6pt] &=~ u_1v_1 ~-~ u_2v_2 ~+~\ izquierda (u_3v_3 ~-~\ int u_4\,\ dv_4\ derecha)\

\ [6pt] &=~ u_1v_1 ~-~ u_2v_2 ~+~ u_3v_3 ~-~\ izquierda (u_4v_4 ~-~\ int u_5\,\ dv_5\ derecha)\

\ [6pt] &=~\ cdots\

\ [6pt] &=~ u_1v_1 ~-~ u_2v_2 ~+~ u_3v_3 ~-~ u_4v_4 ~+~ u_5v_5 ~-~\ cdots ~\ int u_n\,\ dv_n\ end {alineada}\] La última integral$\int u_n\,\dv_n$ es una que presumiblemente podrías integrar fácilmente. El procedimiento anterior se denomina método tabular para la integración por partes, ya que se puede mostrar en una tabla (las flechas indican multiplicación):

La idea es diferenciar hacia abajo la$u$ columna e integrar hacia abajo la$\dv$ columna. Si el$u$ en la integral original es un polinomio de grado$n$, entonces sabes por la Sección 1.6 que su$(n+1)$ -st derivada será 0, momento en el que termina el método tabular. La integral es entonces la suma de los productos indicados con signos alternos.

Por ejemplo, el método tabular sobre la integral de Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts5

Agrega texto aquí.

Solución

se ve así:

La integral es la suma de los productos, y concuerda con el resultado en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts5

Agrega texto aquí.

Solución

\[\int x^2\,e^{-x}\,\dx ~=~ +~(x^2)\,(-e^{-x}) ~-~(2x)\,(e^{-x}) ~+~(2)\,(-e^{-x}) ~+~ C ~=~ -x^2\,e^{-x} ~-~ 2x\,e^{-x} ~-~ 2\,e^{-x} ~+~ C\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts6

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int x^3\,e^{-x}\,\dx~$.

Solución: Utilice el método tabular con$u = x^3$ y$\dv = e^{-x}\,\dx$:

\[\int x^3\,e^{-x}\,\dx ~=~ -x^3\,e^{-x} ~-~ 3x^2\,e^{-x} ~-~ 6x\,e^{-x} ~-~ 6\,e^{-x} ~+~ C\]

La integración por partes a veces puede resultar en la reaparición de la integral original, permitiendo que se combine con la integral original.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts7

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int \sec^3 x~\dx~$.

Solución: Dejar$u=\sec\,x$ y$\dv=\sec^2 x\;\dx$, para que$\du = \sec\,x\;\tan\,x\;\dx$ y$v = \int \dv = \int \sec^2 x\,\dx = \tan\,x$. Entonces

\[\begin{aligned} \int u\,\dv ~&=~ uv ~-~ \int v\,\du\

\ [6pt]\ int\ seg^3 x~\ dx ~&=~\ seg\, x\;\ tan\, x ~-~\ int\ seg\, x\;\ tan^2 x~\ dx\

\ [6pt]\ int\ seg^3 x~\ dx ~&=~\ seg\, x\;\ tan\, x ~-~\ int\ seg\, x\; (\ seg^2 x\, -\, 1) ~\ dx\

\ [6pt]\ int\ seg^3 x~\ dx ~&=~\ seg\, x\;\ tan\, x ~+~\ int\ seg\, x~\ dx ~-~\ int\ seg^3 x~\ dx\

\ [6pt] 2\,\ int\ seg^3 x~\ dx ~&=~\ seg\, x\;\ tan\, x ~+~\ ln\;\ abs {\,\ sec\, x\; +\;\ tan\, x\,} ~+~ C\

\ [6pt]\ int\ seg^3 x~\ dx ~&=~\ frac {1} {2}\,\ izquierda (\ seg\, x\;\ tan\, x ~+~\ ln\;\ abs {\,\ seg\, x\; +\;\ tan\, x\,}\ derecha) ~+~ C\ final {alineado}\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts8

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int e^x\,\sin\,x~\dx~$.

Solución: Dejar$u=e^x$ y$\dv=\sin\,x\,\dx$, para que$\du = e^x\,\dx$ y$v = \int \dv = \int \sin\,x\,\dx = -\cos\,x$. Entonces

\[\begin{aligned} \int u\,\dv ~&=~ uv ~-~ \int v\,\du\

\ [6pt]\ int e^x\,\ sin\, x~\ dx ~&=~ -e^x\,\ cos\, x ~+~\ int e^x\,\ cos\, x~\ dx\ end {alineado}\] y así se necesita nuevamente la integración por partes, para la integral a la derecha: let$u=e^x$ y$\dv=\cos\,x\,\dx$, para que$\du = e^x\,\dx$ y$v = \int \dv = \int \cos\,x\,\dx = \sin\,x$. Entonces

\[\begin{aligned} \int e^x\,\sin\,x~\dx ~&=~ -e^x\,\cos\,x ~+~ \left(uv ~-~ \int v\,\du\right)\

\ [6pt]\ int e^x\,\ sin\, x~\ dx ~&=~ -e^x\,\ cos\, x ~+~\ izquierda (e^x\,\ sin\, x ~-~\ int e^x\,\ sin\, x~\ dx\ derecha)\

\ [6pt] 2\,\ int e^x\,\ sin\, x~\ dx ~&=~ -e^x\,\ cos\, x ~+~ e^x\,\ sin\, x\

\ [6pt]\ int e^x\,\ sin\, x~\ dx ~&=~\ frac {e^x} {2}\, (\ sin\, x ~-~\ cos\, x) ~+~ C\ final {alineado}\]

En Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts1

Agrega texto aquí.

Solución

integración por partes se utilizó en la evaluación de una integral inadecuada. En general, en integrales definidas o impropias donde$a$ y$b$ son números reales o$\pm\,\infty$,

\[\int_a^b u\,\dv ~=~ uv~\Biggr|_a^b ~-~ \int_a^b v\,\du ~.\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts9

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int_0^1 x^3\,\sqrt{1-x^2}~\dx~$.

Solución: Desde$x^3\,\sqrt{1-x^2} =x^2\,\cdot\,x\,\sqrt{1-x^2}$, y$x\,\sqrt{1-x^2}$ es fácil de integrar (a través de una sustitución), dejar$u=x^2$ y$\dv=x\,\sqrt{1-x^2}\,\dx$. Entonces$\du = 2x\,\dx$ y$v = \int \dv = \int x\,\sqrt{1-x^2}\,\dx = -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2}$, y así:

\[\begin{aligned} \int_a^b u\,\dv ~&=~ uv~\Biggr|_a^b ~-~ \int_a^b v\,\du\

\ [6pt]\ int_0^1 x^3\,\ sqrt {1-x^2} ~\ dx ~&=~ -\ frac {x^2} {3} (1-x^2) ^ {3/2} ~\ Biggr|_0^1 ~+~\ int_0^1\ frac {2x} {3} (1-x^2) ^ {3/2} ~\ dx\

\ [6pt] &=~ (0 - 0) ~+~\ izquierda (\ frac {-2} {15} (1-x^2) ^ {5/2} ~\ Biggr|_0^1\ derecha) ~=~ 0 ~+~\ frac {2} {15} ~=~\ frac {2} {15}\ end {alineado}\]

[sec6dot1]

Para los Ejercicios 1-25, evaluar la integral dada.

$\displaystyle\int x\,\ln\,x~\dx$

$\displaystyle\int x^2\,e^{x}\,\dx$

$\displaystyle\int x\,\cos\,x~\dx$

$\displaystyle\int x\,3^x\,\dx$

$\displaystyle\int x^2\,a^x\,\dx~~(a>0)$

$\displaystyle\int \ln\,4x~\dx$

$\displaystyle\int \ln\,x^2~\dx$

$\displaystyle\int x^2\,\sin\,x~\dx$

$\displaystyle\int x\,\cos^2\,x~\dx$

$\displaystyle\int \sin\,x\;\cos\,2x~\dx$

$\displaystyle\int \sin^{-1} x~\dx$

$\displaystyle\int \cos^{-1}\,2x~\dx$

$\displaystyle\int \tan^{-1}\,3x~\dx$

$\displaystyle\int x\,\sec^2 x~\dx$

$\displaystyle\int \sin\,x\;\sin\,3x~\dx$

$\displaystyle\int \frac{\ln\,x}{x^3}\,\dx\vphantom{\displaystyle\int_0^2 \frac{x^3\,\dx}{\sqrt{4 - x^2}}}$

$\displaystyle\int x^3\,\ln^2 x~\dx\vphantom{\displaystyle\int_0^2 \frac{x^3\,\dx}{\sqrt{4 - x^2}}}$

$\displaystyle\int x^5\,e^{x}\,\dx\vphantom{\displaystyle\int_0^2 \frac{x^3\,\dx}{\sqrt{4 - x^2}}}$

$\displaystyle\int_0^2 \frac{x^3\,\dx}{\sqrt{4 - x^2}}$

$\displaystyle\int_0^1 x^3\,\sqrt{1+x^2}\,\dx\vphantom{\displaystyle\int_0^2 \frac{x^3\,\dx}{\sqrt{4 - x^2}}}$

$\displaystyle\int \sin\,(\ln\,x)~\dx$

$\displaystyle\int \ln\,(1+x^2)\,\dx$

$\displaystyle\int x\,\tan^{-1} x~\dx$

$\displaystyle\int \cot^{-1}\,\sqrt{x}~\dx$

$\displaystyle\int e^{\sqrt{x}}\,\dx$

Evaluar la integral$\int e^x\,\sin\,x\,\dx$ a partir del Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intparts8

Agrega texto aquí.

Solución

mediante el uso de dos rondas del método tabular y la fórmula$\int u_1\,\dv_1 = u_1v_1 - u_2v_2 + \int v_2\,\du_2$ de p.162. [[1.] ]

[exer:eaxtrigbx] Mostrar que para todas las constantes$a$ y$b \ne 0$,

\[\int e^{ax}\,\cos\,bx~\dx ~=~ \frac{e^{ax}\,(a\,\cos\,bx ~+~ b\,\sin\,bx)}{a^2 + b^2} \quad\text{and}\quad \int e^{ax}\,\sin\,bx~\dx ~=~ \frac{e^{ax}\,(a\,\sin\,bx ~-~ b\,\cos\,bx)}{a^2 + b^2} ~.\]

[exer:gamma] Para la función Gamma$\Gamma\,(t)$ muestra lo siguiente:

$\Gamma\,(t + 1) ~=~ t\,\Gamma\,(t)$para todos$t > 0$. (Pista: Utilice la integración por partes.)
$\Gamma\,(n) ~=~ (n-1)\,!~$para todos los enteros positivos$n$. (Pista: Usa la parte (a) y la inducción.)

Tenga en cuenta que por la parte (b) la función Gamma puede considerarse como una extensión de la operación factorial a todos los números reales positivos. De hecho, la función Gamma fue creada para ese propósito.

Use Exercise [exer:gamma] para probar para todos los enteros$n \ge 1$:

\[\int_0^{\infty} r^n\,e^{-r}\,\ln\,r~\dr ~=~ (n-1)\,! ~+~ n\,\int_0^{\infty} r^{n-1}\,e^{-r}\,\ln\,r~\dr\]

Por la distribución de velocidad Maxwell para moléculas de gas, la velocidad promedio$\avg{\nu}$ de las moléculas de masa$m$ en un gas a temperatura$T$ es

\[\avg{\nu} ~=~ 4\pi\,\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\; \int_0^{\infty} \nu^3\,e^{-m\nu^2/2kT}\,d\!\nu ~,\]donde$k \approx 1.38056 \times 10^{-23}$ J/K es la constante de Boltzmann. Demostrar que

\[\avg{\nu} ~=~ \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} ~.\]

Algunos textos de física escriben integrales en una forma como esta integral energética a partir de la mecánica estadística,

\[\int_0^{\infty} \ln\,\left(1 - \alpha e^{-x^2}\right)~d(x^3)\]que usa el diferencial de una función —en este caso$d(x^3)$ —en lugar de una variable (por ejemplo, no solo simple$\dx$). Esto a menudo indica que la integración por partes está en camino, con el beneficio agregado de tener el$v=\int \dv$ cálculo hecho por usted, en la integral anterior$d(x^3)$ significa que$v=x^3$,$\dv=d(x^3)$ sin realmente ser necesario para nada más. Con ese entendimiento, demostrar que para$0 < \alpha < 1$,

\[\int_0^{\infty} \ln\,\left(1 - \alpha e^{-x^2}\right)~d(x^3) ~=~ -2\alpha\,\int_0^{\infty} \frac{x^4\,e^{-x^2}\,\dx}{1 - \alpha e^{-x^2}} ~.\]

Encuentra el defecto en la siguiente “prueba” de que$0 = 1$:

\[\begin{aligned} \int u\,\dv ~&=~ uv ~-~ \int v\,\du\

\ [6pt]\ int\ frac {\ dx} {x} ~&=~\ izquierda (\ frac {1} {x}\ derecha)\,\ cdot\, x ~-~\ int x\,\ cdot\,\ izquierda (-\ frac {\ dx} {x^2}\ derecha)\

\ [6pt]\ int\ frac {\ dx} {x} ~&=~ 1 ~+~\ int\ frac {\ dx} {x}\

\ [6pt] 0 ~&=~ 1\ quad\ marca de verificación\ final {alineado}\]

Creado por el matemático, físico y astrónomo suizo Leonhard Euler (1707-1783). El uso de la letra mayúscula griega$\Gamma$ para esta función se debe al matemático francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) . ↩
Ver Sección 3.4 en Corral, M., Trigonometría, http://mecmath.net/trig/, 2009. ↩
Albert Einstein publicó este resultado en 1911, luego mostró en 1915 que el ángulo verdadero debería ser el doble de esa cantidad, debido a la curvatura del espacio. Los experimentos verificaron la predicción de Einstein. Ver pp.69-71 en Serway, R.A., C.J. Moses y C.A. Moyer, Modern Physics, Orlando, FL: Harcourt Brace Jovanovich Publishers, 1989. ↩
Por ejemplo, véase la Sección 5.10 en Hillman, A.P., y G.L. Alexanderson, Un primer curso de pregrado en álgebra abstracta, 3a ed., Belmont, CA: Wadsworth Publishing Co., 1983. ↩
El reconocido físico Richard Feynman (1918-1988) lamentó de manera famosa que ya no se enseñara la técnica. Ver p.72 en Feynman, R.P., ¡Seguro que está bromeando, señor Feynman! , Nueva York: Libros Bantam, 1986. ↩
Se puede probar que esto es válido cuando la derivada del integrando es una función continua de$\alpha$, lo que siempre será el caso en este libro. Ver pp.121-122 en Sokolnikoff, I.S., Cálculo avanzado, Nueva York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1939. ↩
Ver p.18-19 en Rainville, E.D., Funciones Especiales, Nueva York: Chelsea Publishing Company, 1971. ↩
Para más detalles sobre derivados fraccionarios, así como ejemplos de sus aplicaciones en física e ingeniería, véase Oldham, K.B. y J. Spanier, The Fractional Calculus, New York: Academic Press, 1974. ↩
Para una derivación diferente, ver pp.79-80 en Corral, M., Trigonometría, http://mecmath.net/trig/, 2009. ↩
Octave está disponible gratuitamente en https://www.gnu.org/software/octave/ ↩

MATLAB requeriría que utilizaras dos pasos:

MATLAB>> x = linspace(1,7,4);
MATLAB>> x(1:end-1)

↩

Para una derivación completa de ambas fórmulas, véase pp.144-149 en Hornbeck, R.W., Numeric Methods, New York: Quantum Publishers, Inc., 1975. ↩
Los detalles están más allá del alcance de este libro. Véase Capítulo 4 en Ralston, A. y P. Rabinowitz, Un primer curso en análisis numérico, 2a ed., Nueva York: McGraw-Hill, Inc., 1978. Véase también el Cuadro 1 en Stroud, A.H. y D. Secrest, fórmulas de cuadratura gaussiana, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., 1966. ↩
Consulte el Cuadro 6 en Stroud, A.H. y D. Secrest, Fórmulas de Cuadratura Gaussiana. ↩

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