6.2: Integrales trigonométricas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En aplicaciones de ingeniería a veces encuentras integrales de la forma

\[\int \cos\;(\alpha t + \phi_1)~\cos\;(\beta t + \phi_2)~\dt\]donde$\alpha t + \phi_1$ y$\beta t + \phi_2$ son diferentes ángulos (por ejemplo, cuando el voltaje y la corriente están desfasados en un circuito de CA). En general, las integrales que involucran productos de senos y cosenos con ángulos “mixtos” se pueden simplificar con las fórmulas útiles de producto a suma: ²

Ejemplo$\PageIndex{1}$: trigint1

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int 0.5\,\sin\,x\;\sin\,12x~\dx~$.

Solución: Usar la fórmula de producto a suma ([eqn:p2ssinsin]) con$A=x$ y$B=12x$,

\[\begin{aligned} \sin\;A~\sin\;B ~&=~ -\tfrac{1}{2}\;(\cos\;(A+B) ~-~ \cos\;(A-B))\\ \sin\,x~\sin\,12x ~&=~ -\tfrac{1}{2}\;(\cos\;(x+12x) ~-~ \cos\;(x-12x))\\ \sin\,x~\sin\,12x ~&=~ -\tfrac{1}{2}\;(\cos\,13x ~-~ \cos\,11x)\end{aligned}\]ya que$\cos\,(-11x) = \cos\,11x$. Entonces

\[\begin{aligned} \int 0.5\,\sin\,x\;\sin\,12x~\dx ~&=~ -\frac{1}{4}\,\int (\cos\,13x ~-~ \cos\,11x)~\dx\

\ [6pt] &=~ -\ frac {1} {52}\,\ sin\ ,13x ~+~\ frac {1} {44}\,\ sin\ ,11x ~+~ C\ end {alineado}\] Observe cómo la fórmula producto a suma convirtió una integral de productos de senos en integrales de cosenos individuales, que se integran fácilmente. El integrando es un ejemplo de una onda modulada, comúnmente utilizada en comunicaciones electrónicas (por ejemplo, radiodifusión). La gráfica se muestra a continuación:

Las curvas$y=\pm 0.5 \sin\,x$ (mostradas en líneas discontinuas) forman una envolvente de amplitud para la onda modulada.

En ocasiones es posible que necesites integrar funciones trigonométricas elevadas a potencias superiores a dos. Para la función sinusoidal elevada a potencias impares de la forma$2n+1$ (for$n \ge 1$), el truco es reemplazar$\sin^2 x$ por$1 - \cos^2 x$, de modo que

\[\begin{aligned} \int \sin^{2n+1} x~\dx ~&=~ \int (\sin^2 x)^n \,\sin\,x~\dx\

\ [6pt] &=~\ int (1 -\ cos^2 x) ^n\,\ sin\, x~\ dx\

\ [6pt] &=~\ int p (u) ~\ du\ end {alineado}\]

donde$p(u)$ es un polinomio en la variable$u=\cos\,x$, y el single$\sin\,x$ es ahora parte de$\du = -\sin\,x\;\dx$. Entonces puedes usar la Fórmula de Poder para integrar ese polinomio.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: trigint2

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int \sin^3 x~\dx~$.

Solución: Que$u=\cos\,x$ así$\du=-\sin\,x\;\dx$:

\[\begin{aligned} \int \sin^3 x~\dx ~&=~ \int (\sin^2 x) \;\sin\,x~\dx\

\ [6pt] &=~\ int (1 -\ cos^2 x)\;\ sin\, x~\ dx\

\ [6pt] &=~\ int (1 - u^2)\; (-\ du)\

\ [6pt] &=~\ int (u^2 - 1)\;\ du\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {3}\, u^3 ~-~ u ~+~ C\

\ [4pt] &=~\ frac {1} {3}\,\ cos^3 x ~-~\ cos\, x ~+~ C\ end {alineado}\]

En general$\int \sin^{2n+1}\,x\;\dx$ será un polinomio de grado$2n+1$ en cuanto a$\cos\,x$. Del mismo modo, utilice$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ para integrar poderes impares de$\cos\,x$, con la sustitución$u=\sin\,x$:

\[\begin{aligned} \int \cos^{2n+1} x~\dx ~&=~ \int (\cos^2 x)^n \,\cos\,x~\dx\

\ [6pt] &=~\ int\ underbracket [0.3pt] {(1 -\ sin^2 x) ^n\ vphantom {\ frac {1} {2}} _ {p (u)}\;\ underbracket [0.3pt] {\ cos\, x~\ dx\ vphantom {\ frac {1} {2}}} _ {\ du}\ end {alineadas}\] Integrales de la forma$\int \sin^m\,x\;\cos^n\,x\;\dx$, donde cualquiera$m$ o$n$ es impar, se pueden evaluar usando el truco anterior para la función que tiene el poder impar.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: trigint3

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int \sin^2 x\;\cos^3 x~\dx~$.

Solución: Reemplazar$\cos^2 x$ por$1 - \sin^2 x$, luego dejar que$u=\sin\,x$ así$\du=\cos\,x\;\dx$:

\[\begin{aligned} \int \sin^2 x\;\cos^3 x~~\dx ~&=~ \int \sin^2 x ~(\cos^2 x) \;\cos\,x~\dx\

\ [6pt] &=~\ int\ underbracket [0.3pt] {\ sin^2 x ~ (1 -\ sin^2 x)\ vphantom {\ frac {1} {2}}} _ {p (u)}\;\ underbracket [0.3pt] {\ cos\, x~\ dx\ vphantom {\ frac {1} {2}} _ {\ du}\

\ [3pt] &=~\ int (u^2 - u^4)\;\ du\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {3}\, u^3 ~-~\ frac {1} {5}\, u^5 ~+~ C\

\ [4pt] &=~\ frac {1} {3}\,\ sin^3 x ~-~\ frac {1} {5}\,\ sin^5 x ~+~ C\ final {alineado}\]

Para incluso poderes de$\sin\,x$ o$\cos\,x$. Usted reemplazaría$\sin^2 x$ o$\cos^2 x$ con cualquiera

\[\sin^2 x ~=~ \frac{1 \;-\; \cos\,2x}{2} \quad\quad\text{or}\quad\quad \cos^2 x ~=~ \frac{1 \;+\; \cos\,2x}{2} ~,\]respectivamente, tantas veces como sea necesario, entonces proceder como antes si se producen poderes impares.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: trigint4

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int \sin^4 x ~\dx~$.

Solución: Reemplazar$\sin^2 x$ por$\frac{1 - \cos\,2x}{2}$:

\[\begin{aligned} \int \sin^4 x~\dx ~&=~ \int \left(\frac{1 \;-\; \cos\,2x}{2}\right)^2 \,\dx\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {4}\,\ int (1 ~-~ 2\,\ cos\ ,2x ~+~ cos^2 2x) ~\ dx\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {4}\,\ int\ izquierda (1 ~-~ 2\,\ cos\ ,2x ~+~\ frac {1\; +\;\ cos\ ,4x} {2}\ derecha) ~\ dx\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {8}\,\ int (3 ~-~ 4\,\ cos\ ,2x ~+~\ cos\ ,4x) ~\ dx\

\ [6pt] &=~\ frac {3x} {8} ~-~\ frac {1} {4}\,\ sin\ ,2x ~+~\ frac {1} {32}\,\ sin\ ,4x ~+~ C\ end {alineado}\]

Se pueden usar métodos similares para integrales de la forma$\;\int \sec^m\,x\;\tan^n\,x\;\dx\;$ cuando$m$ es par o$n$ impar. Para un poder$m = 2k+2$ parejo, use$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ para todos menos dos de los$m$ poderes de$\sec\,x$, luego use la sustitución$u=\tan\,x$, así que eso$\du=\sec^2 x\;\dx$. Esto da como resultado una integral de un polinomio$p(u)$ en términos de$u=\tan\,x$:

\[\begin{aligned} \int \sec^{2k+2} x ~\tan^n x~\dx ~&=~ \int (\sec^2 x)^k \,\sec^2 x~\tan^n x~\dx\

\ [6pt] &=~\ int\ underbracket [0.3pt] {(1 +\ tan^2 x) ^k\,\ tan^n x\ vphantom {\ frac {1} {2}}} _ {p (u)}\;\ underbracket [0.3pt] {\ seg^2 x~\ dx\ vphantom {\ frac {1} {2}} {\ du}\ end {aligned}\] Del mismo modo para un poder impar$n=2k+1$, use$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ para todos menos uno de los$n$ poderes de$\tan\,x$, luego use el sustitución$u=\sec\,x$, así que$\du=\sec\,x\;\tan\,x\;\dx$. Esto da como resultado una integral de un polinomio$p(u)$ en términos de$u=\sec\,x$:

\[\begin{aligned} \int \sec^m x ~\tan^{2k+1} x~\dx ~&=~ \int \sec^{m-1} x~\sec\,x \,~(\tan^2 x)^k ~\tan\,x~\dx\

\ [6pt] &=~\ int\ underbracket [0.3pt] {\ seg^ {m-1} x~ (\ seg^2 x - 1) ^k\ vphantom {\ frac {1} {2}}} _ {p (u)}\;\ underbracket [0.3pt] {\ seg\, x~\ tan\, x\ dx\ vphantom {\ frac {} {2}}} _ {\ du}\ end {alineado}\] Imitar el procedimiento anterior para integrales de la forma$\;\int \csc^m\,x\;\cot^n\,x\;\dx\;$ cuando sea$m$ par o$n$ es impar, usando la identidad$\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ de manera similar.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: trigint5

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int \sec^4 x ~\tan\,x~\dx~$.

Solución: Úselo$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ por un$\sec^2 x$ término, luego sustitúyalo$u=\tan\,x$, de modo que$\du=\sec^2 x\;\dx$:

\[\begin{aligned} \int \sec^4 x ~\tan\,x~\dx ~&=~ \int \sec^2 x~\sec^2 x~\tan\,x~\dx\

\ [6pt] &=~\ int (1 +\ tan^2 x)\,\ tan\, x~\ seg^2 x~\ dx\

\ [6pt] &=~\ int (1 + u^2)\, u~\ du\

\ [6pt] &=~\ int (u + u^3) ~\ du\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {2}\, u^2 ~+~\ frac {1} {4}\, u^4 ~+~ C\\ &=~\ frac {1} {2}\,\ tan^2 x ~+~\ frac {1} {4}\,\ tan^4 x ~+~ C\ end {alineado}\]

Para algunas integrales trigonométricas intenta poner todo en términos de senos y cosenos.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: trigint6

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$~\displaystyle\int \dfrac{\cot^4 x}{\csc^5 x}\;\dx~$.

Solución: Poner$\cot\,x$ y$\csc\,x$ en términos de$\sin\,x$ y$\cos\,x$:

\[\begin{aligned} \int \frac{\cot^4x}{\csc^5 x}\;\dx ~&=~ \int \frac{\cos^4x~\sin^5 x}{\sin^4 x}\;\dx\

\ [6pt] &=~\ int\ cos^4 x~\ sin\, x~\ dx\ quad\ text {(ahora vamos $u=\ cos\, x$, $\ du=-\ sin\, x~\ dx$)}\

\ [6pt] &=~ -\ int u^4~\ dx ~=~ -\ frac {1} {5}\,\ cos^5 x ~+~ C\ final {alineado}\]

[sec6dot2]

Para los Ejercicios 1-12, evaluar la integral dada.

$\displaystyle\int \sin\,2x~\cos\,5x~\dx$

$\displaystyle\int \cos\,2x~\cos\,5x~\dx$

$\displaystyle\int \sin\,2x~\sin\,5x~\dx$

$\displaystyle\int \cos\,2\pi x~\sin\,3\pi x~\dx$

$\displaystyle\int \sin^3 x~\cos^{3/2} x~\dx$

$\displaystyle\int \cos^4 x~\dx$

$\displaystyle\int \sin^6 x~\dx$

$\displaystyle\int \sin\,x~\sin\,2x~\sin\,3x~\dx$

$\displaystyle\int \sec^4 x~\dx\vphantom{\dfrac{\tan^3 x}{\sec^4 x}}$

$\displaystyle\int \sec^2 x~\tan^3 x~\dx\vphantom{\dfrac{\tan^3 x}{\sec^4 x}}$

$\displaystyle\int \dfrac{\tan^3 x}{\sec^4 x}\;\dx$

$\displaystyle\int \dfrac{\dx}{\csc^2 x ~\cot\,x}\vphantom{\dfrac{\tan^3 x}{\sec^4 x}}$

[[1.] ]

Evaluar$~\int \sin^3 x~\cos^3 x~\dx$ de dos maneras diferentes:

El uso$\sin^3 x = (1 - \cos^2 x)\;\sin\,x$ y la sustitución$u=\cos\,x$.
El uso$\cos^3 x = (1 - \sin^2 x)\;\cos\,x$ y la sustitución$u=\sin\,x$.

¿Las respuestas de las partes (a) y (b) son equivalentes? Explique.

Evaluar$~\int \sec^4 x ~\tan\,x~\dx~$ mediante el uso$\sec^4 x ~\tan\,x \;=\; \sec^3 x ~(\sec\,x~\tan\,x)$ y la sustitución$u=\sec\,x$. Es su respuesta equivalente a la respuesta en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: trigint5

Agrega texto aquí.

Solución

? Explique.

Demuestre eso$\displaystyle\int \dfrac{4\,\tan\,x~(1 - \tan^2 x)}{(1 +\tan^2 x)^2}\;\dx ~=~ -\frac{1}{4}\,\cos\,4x ~+~ C$.

La función$R_x(\tau)$ de autocorrelación de la función periódica$x(t) = A\,\cos\,(\omega t + \theta)$ viene dada por

\[R_x(\tau) ~=~ \frac{\omega}{2\pi}\,\int_0^{2\pi/\omega} x(t)\;x(t-\tau)~\dt\]donde$A$,$\omega$ y$\theta$ son constantes. Demostrar que

\[R_x(\tau) ~=~ \frac{A^2}{2}\,\cos\,\omega\tau ~.\]