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6.3: Sustituciones trigonométricas

  • Page ID
    110337
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Una de las fórmulas fundamentales en geometría es para el área\(A\) de un círculo de radio r:\(A = \pi r^2\). La prueba basada en cálculo de esa fórmula utiliza una integral definida evaluada por medio de una sustitución trigonométrica, como se demostrará ahora.

    Usa el círculo de radio\(r >0\) centrado en el origen\((0,0)\) en el\(xy\) plano -, cuya ecuación es\(x^2 + y^2 = r^2\) (ver Figura [fig:circle] (a) abajo).

    Por simetría alrededor del\(x\) eje -eje, el área\(A\) del círculo es el doble del área de su hemisferio superior (ver Figura [fig:circle] (b) anterior), que es el área bajo la curva\(y =\sqrt{r^2 - x^2}\):

    \[A ~=~ 2 \, \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}~\dx\]Para evaluar esta integral, recordemos de la trigonometría que cualquier punto\((x,y)\) del círculo puede escribirse como\((x,y)=(r\cos\,\theta,r\sin\,\theta)\), donde\(0 \le \theta < 2\pi\) (en radianes) es el ángulo que se muestra en la Figura [fig:circle] (a). La figura [fig:circle] (b) muestra que a medida que\(x\) va de\(x=-r\) a\(x=r\), el ángulo\(\theta\) va de\(\theta = \pi\) a\(\theta = 0\). Ahora sustituya\(x=r\,\cos\,\theta\) y\(\dx=-r\,\sin\,\theta\,\dtheta\) en lo integral y cambie los límites de la integración desde\(x=-r\) y\(x=r\) hacia\(\theta =\pi\) y\(\theta=0\), respectivamente:

    \[\begin{aligned} A ~&=~ 2 \,\int_{\pi}^{0} \sqrt{r^2 - r^2\,\cos^2 \,\theta}~(-r\,\sin\,\theta)~\dtheta ~=~ -2 \,\int_{0}^{\pi} \sqrt{r^2\,(1 - \cos^2 \,\theta)}~(-r\,\sin\,\theta)~\dtheta\

    \ [6pt] &=~ 2\,\ int_ {0} ^ {\ pi} r\,\ sqrt {\ sin^2\,\ theta} ~r\,\ sin\,\ theta~\ dtheta ~=~ 2r^2\,\ int_ {0} ^ {\ pi}\ sin^2\,\ theta~\ dtheta =~\ cancel {2} r^2\,\ int_ {0} ^ {\ pi}\ frac {1 -\ cos\ ,2\ theta} {\ cancel {2}} ~\ dtheta\

    \ [6pt] &=~ r^2\,\ izquierda (\ theta ~-~\ frac {1} {2}\,\ sin\ ,2\ theta\ derecha) ~\ Biggr|_0^ {\ pi} ~=~ r^2\,\ izquierda (\ pi ~-~\ frac {1} {2}\,\ sin\ ,2\ pi ~-~ (0 ~-~\ frac {1} {2}\,\ sin\ ,0\ derecha)\ derecha)\ derecha)\

    \ [6pt] &=~\ pi r^2\ quad\ checkmark\ end {aligned}\] Para una integral indefinida de la forma general\(\int \sqrt{a^2 - u^2}\;\du\), el mismo cálculo que el anterior con las sustituciones\(u=a \cos\,\theta\) y\(\du=-a \sin\,\theta\,\dtheta\) rendimientos

    \[\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - u^2}~\du ~&=~ \int \sqrt{a^2 - a^2\,\cos^2 \,\theta}~(-a\,\sin\,\theta)~\dtheta ~=~ -a^2 \,\int \sin^2\,\theta~\dtheta\

    \ [6pt] &=~ -a^2\,\ int\ frac {1 -\ cos\ ,2\ theta} {2} ~\ dtheta ~=~ -\ frac {a^2} {2}\,\ theta ~+~\ frac {a^2\,\ sin\ ,2\ theta} {4} ~+~ C ~,\ end {alineado}\] que sigue siendo en términos de\(\theta\). Para volver a poner esto en términos de\(u\), use\(\theta = \cos^{-1} (\frac{u}{a})\), la fórmula de doble ángulo\(\sin\,2\theta = 2\,\sin\,\theta\,\cos\,\theta\), y\(\sqrt{a^2 - u^2} = \sqrt{a^2\,\sin^2\,\theta} = a\,\sin\,\theta\). Entonces

    \[\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - u^2}~\du ~&=~ -\frac{a^2}{2}\,\cos^{-1} \left(\frac{u}{a}\right) ~+~ \frac{2a^2\,\sin\,\theta\,\cos\,\theta}{4}\

    \ [6pt] &=~ -\ frac {a^2} {2}\,\ cos^ {-1}\ izquierda (\ frac {u} {a}\ derecha) ~+~\ frac {(a\,\ cos\,\ theta)\, (a\,\ sin\,\ theta)} {2} ~+~ C\ end {alineado}\] que da como resultado la siguiente fórmula:

    Se deja como ejercicio para demostrar que la sustitución\(u=a \sin\,\theta\) da: Que estos dos antiderivados aparentemente diferentes sean equivalentes se desprende inmediatamente de la identidad\(\sin^{-1} x \,+\, \cos^{-1} x \,=\, \frac{\pi}{2}\) para todos\(-1 \le x \le 1\), lo que demuestra que los antiderivados difieren por la constante\(\frac{\pi a^2}{4}\) (absorbida en el genérico constante\(C\)):

    \[\begin{aligned} \frac{a^2}{2}\,\sin^{-1} \left(\frac{u}{a}\right) ~+~ \frac{1}{2}\,u\,\sqrt{a^2 - u^2} ~+~ C ~&=~ \frac{a^2}{2}\,\left(\frac{\pi}{2} ~-~ \cos^{-1} \left(\frac{u}{a}\right)\right) ~+~ \frac{1}{2}\,u\,\sqrt{a^2 - u^2} ~+~ C\

    \ [6pt] &=~ -\ frac {a^2} {2}\,\ cos^ {-1}\ izquierda (\ frac {u} {a}\ derecha) ~+~\ frac {1} {2}\, u\,\ sqrt {a^2 - u^2} ~+~\ underbracket [0.3pt] {C +\ frac {\ a^pi 2} {4} _ {C}\ end {alineado}\] Así, ya sea la sustitución—\(u=a \cos\,\theta\) o\(u=a \sin\,\theta\) —se puede utilizar al evaluar la integral\(\int \sqrt{a^2 - u^2}\,\du\). A veces se prefiere esta última elección, para evitar el signo negativo de entrada\(\du\) y la fórmula resultante.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): trigsub1

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Evaluar\(~\displaystyle\int \sqrt{9-4x^2}~\dx~\).

    Solución: El integrando es de la forma\(\sqrt{a^2 - u^2}\) con\(a=3\) y\(u=2x\), así que eso\(\du = 2\dx\). Entonces\(\dx = \frac{1}{2}\du\) y así:

    \[\begin{aligned} \int \sqrt{9-4x^2}~\dx ~&=~ \frac{1}{2}\,\int \sqrt{a^2 - u^2}~\du\

    \ [6pt] &=~\ frac {1} {2}\,\ izquierda (\ frac {a^2} {2}\,\ sin^ {-1}\ izquierda (\ frac {u} {a}\ derecha) ~+~\ frac {1} {2}\, u\,\ sqrt {a^2 - u^2}\;\ derecha) ~+~ C\

    \ [6pt] &=~\ frac {9} {4}\,\ sin^ {-1}\ izquierda (\ frac {2x} {3}\ derecha) ~+~\ frac {1} {2}\, x\,\ sqrt {9 - 4x^2} ~+~ C\ end {alineado}\]

    En general, cuando otros métodos fallan, utilice la siguiente tabla como guía para ciertos tipos de integrales, haciendo uso de la sustitución especificada e identidad trigonométrica:

    Por ejemplo, la sustitución\(u = a\,\tan\,\theta\) conduce a la siguiente fórmula:

    Del mismo modo, la sustitución\(u = a\,\sec\,\theta\) produce esta fórmula:

    La prueba de cada fórmula requiere este resultado del Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): intparts7

    Agrega texto aquí.

    Solución

    en la Sección 6.1:

    Las sustituciones anteriores se pueden usar incluso si no hay raíces cuadradas presentes.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): trigsub2

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Evaluar\(~\displaystyle\int \frac{\dx}{(1 + x^2)^2}~\).

    Solución: Observe que esta integral no puede ser evaluada mediante el uso de la Fórmula de Potencia con la sustitución\(u=1+x^2\) (¿por qué?). La integración por partes tampoco parece prometedora. Así que intenta una sustitución trigonométrica. El integrando contiene un término de la forma\(a^2 + u^2\) (con\(a=1\) y\(u=x\)), así que usa la sustitución\(x=\tan\,\theta\). Entonces\(\dx = \sec^2 \theta\,\dtheta\) y así

    \[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{(1 + x^2)^2} ~&=~ \int \frac{\sec^2 \theta~\dtheta}{(1 + \tan^2 \theta)^2}\

    \ [6pt] &=~\ int\ frac {\ sec^2\ theta\,\ dtheta} {(\ seg^2\ theta) ^2}\

    \ [6pt] &=~\ int\ frac {\ dtheta} {\ seg^2\ theta^2}\

    \ [6pt] &=~\ int\ cos^2\ theta~\ dtheta\

    \ [6pt] &=~\ int\ frac {1 +\ cos\ ,2\ theta} {2}\,\ dtheta\

    \ [6pt] &=~\ frac {\ theta} {2} ~+~\ frac {1} {4}\,\ sin\ ,2\ theta ~+~ C\

    \ [6pt] &=~\ frac {\ theta} {2} ~+~\ frac {1} {2}\,\ sin\,\ theta\;\ cos\,\ theta ~+~ C\ end {alineado}\] por la identidad trigonométrica de doble ángulo\(\sin\,2\theta = 2\,\sin\,\theta\;\cos\,\theta\). La forma más sencilla de obtener expresiones para\(\sin\,\theta\) y\(\cos\,\theta\) en términos de\(x\) es dibujar un triángulo rectángulo con un ángulo\(\theta\) tal que\(\tan\,\theta = x = \frac{x}{1}\), como en el dibujo de la derecha. La hipotenusa debe ser entonces\(\sqrt{1+x^2}\) (según el Teorema de Pitágoras), lo que facilita la lectura de los valores de\(\sin\,\theta\) y\(\cos\,\theta\):

    \[\sin\,\theta ~=~ \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \qquad\text{and}\qquad \cos\,\theta ~=~ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\]Ya que\(\theta = \tan^{-1} x\), volviendo a poner la integral en términos de\(x\) rendimientos:

    \[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{(1 + x^2)^2} ~&=~ \frac{1}{2}\,\tan^{-1} x ~+~ \frac{1}{2}\,\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\;\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} ~+~ C\

    \ [6pt] &=~\ frac {1} {2}\,\ tan^ {-1} x ~+~\ frac {x} {2\, (1 + x^2)} ~+~ C\ end {alineado}\] Nota: Un método alternativo para obtener\(\sin\,\theta\) y\(\cos\,\theta\) en términos de\(x\) sería poner\(\tan\,\theta = x\) en la identidad\(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\) para resolver para\(\cos\,\theta\), luego usar la identidad\(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\) para resolver para \(\sin\,\theta\).

    Al completar el cuadrado, las expresiones cuadráticas en se\(x\) pueden poner en una de las formas\(a^2 \pm u^2\) o\(u^2 - a^2\), habilitando el uso de la sustitución trigonométrica correspondiente.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): trigsub3

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Evaluar\(~\displaystyle\int \frac{\dx}{(4x^2 + 8x - 5)^{3/2}}~\).

    Solución: Esta integral no puede ser evaluada mediante el uso de la Fórmula de Potencia, así que pruebe una sustitución trigonométrica. Completa el cuadrado en la expresión\(4x^2 + 8x - 5\):

    \[4x^2 ~+~ 8x ~-~ 5 ~=~ 4\,(x^2 + 2x) ~-~ 5 ~=~ 4\,(x^2 + 2x + 1) ~-~ 5 ~-~ 4 ~=~ 4\,(x + 1)^2 ~-~ 9\]Esta expresión es ahora de la forma\(u^2 - a^2\) para\(u=2\,(x+1)\) y\(a=3\). Utilice la sustitución\(u=a\,\sec\,\theta\), lo que significa\(2\,(x+1) = 3\,\sec\,\theta\). Entonces\(2\,\dx = 3\,\sec\,\theta\;\tan\,\theta\;\dtheta\) y así:

    \[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{(4x^2 + 8x - 5)^{3/2}} ~&=~ \int \frac{\dx}{(4\,(x + 1)^2 ~-~ 9)^{3/2}}\

    \ [6pt] &=~\ frac {3} {2}\,\ int\ frac {\ sec\,\ theta\;\ tan\,\ theta~\ dtheta} {(9\,\ seg^2\ theta ~-~ 9) ^ {3/2}} ~=~\ frac {3} {2}\,\ int\ frac {\ seg\,\ theta\;\ tan\,\ theta~\ dtheta} {(9\, (\ sec^2\ theta ~-~ 1)) ^ {3/2}}\

    \ [6pt] &=~\ frac {1} {18}\,\ int\ frac {\ sec\,\ theta\;\ tan\,\ theta~\ dtheta} {\ tan^3\ theta} ~=~\ frac {1} {18}\,\ int\ frac {\ sec\,\ theta~\ dtheta} {\ tan^2\ theta} ~=~\ frac {1} {18}\,\ int\ frac {\ cos\,\ theta~\ dtheta} {\ sin^2\ theta}\

    \ [6pt] &=~\ frac {1} {18}\,\ int\ csc\,\ theta\;\ cot\,\ theta~\ dtheta ~=~ -\ frac {1} {18}\,\ csc\,\ theta ~+~ C\ end {alineado}\] Para obtener una expresión para\(\csc\,\theta\) en términos de\(x\), dibuja un triángulo rectángulo con un ángulo\(\theta\) tal que\(\sec\,\theta = \frac{2(x+1)}{3}\), como en el dibujo de la derecha. El lado opuesto\(\theta\) debe ser entonces\(\sqrt{4x^2 + 8x - 5}\) (según el Teorema de Pitágoras), y por lo tanto:

    \[\csc\,\theta ~=~ \frac{2(x+1)}{\sqrt{4x^2 + 8x - 5}}\]Volviendo a poner la integral en términos de\(x\) rendimientos:

    \[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{(4x^2 + 8x - 5)^{3/2}} ~&=~ -\frac{1}{18}\,\frac{2(x+1)}{\sqrt{4x^2 + 8x - 5}} ~+~ C\

    \ [6pt] &=~ -\ frac {x+1} {9\,\ sqrt {4x^2 + 8x - 5}} ~+~ C\ end {alineado}\] Nota: Las identidades trigonométricas podrían haber sido utilizadas para obtener\(\csc\,\theta\) conociendo\(\sec\,\theta\).

    Las siguientes integrales de la Sección 5.4 podrían ser útiles para los ejercicios:

    [sec6dot3]

    Para los Ejercicios 1-16, evaluar la integral dada.

    4

    \(\displaystyle\int \sqrt{9 + 4x^2}~\dx\)

    \(\displaystyle\int \sqrt{2 - 3x^2}~\dx\)

    \(\displaystyle\int \sqrt{4x^2 - 9}~\dx\)

    \(\displaystyle\int \sqrt{x^2 + 2x + 10}~\dx\)

    4

    \(\displaystyle\int \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2}~\dx\)

    \(\displaystyle\int \frac{x^2~\dx}{\sqrt{x^2 - 9}}\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2}}\)

    \(\displaystyle\int \frac{\dx}{x\,\sqrt{1 + x^2}}\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2}}\)

    \(\displaystyle\int \frac{\dx}{x^2\,\sqrt{a^2 + x^2}}~~~(a > 0)\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^2}}\)

    4

    \(\displaystyle\int \frac{x^3~\dx}{\sqrt{x^2 + 4}}\vphantom{\displaystyle\int \frac{x^2~\dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}}\)

    \(\displaystyle\int \frac{dx}{(4x^2 - 9)^{3/2}}\vphantom{\displaystyle\int \frac{x^2~\dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}}\)

    \(\displaystyle\int \frac{dx}{(9 + 4x^2)^2}\vphantom{\displaystyle\int \frac{x^2~\dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}}\)

    \(\displaystyle\int \frac{x^2~\dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}~~~(a > 0)\)

    4

    \(\displaystyle\int \frac{x^3~\dx}{\sqrt{9 - x^2}}\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}}\)

    \(\displaystyle\int \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}~\dx\)

    \(\displaystyle\int \frac{(x - 4)~\dx}{\sqrt{-9x^2 + 36x - 32}}\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}}\)

    \(\displaystyle\int \frac{dx}{(4x^2 + 16x + 15)^{3/2}}\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}}\)

    Probar fórmula ([eqn:sqrta2u2sin]) directamente usando la sustitución\(u=a \sin\,\theta\).

    2

    Demostrar fórmula ([eqn:sqrta2u2tan]).

    Demostrar fórmula ([eqn:sqrtu2a2sec]).

    Mostrar que el uso de la sustitución\(u=a \cot\,\theta\) para evaluar la integral\(\int \sqrt{a^2 + u^2}\,\dx~\) conduce a un antiderivado equivalente al de fórmula ([eqn:sqrta2u2tan]).

    Mostrar que el uso de la sustitución\(u=a \csc\,\theta\) para evaluar la integral\(\int \sqrt{u^2 - a^2}\,\dx~\) conduce a un antiderivado equivalente al de fórmula ([eqn:sqrtu2a2sec]). [[1.] ]

    Las integrales\(~\displaystyle\int \frac{\dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}~\) pueden evaluarse sin el uso de sustituciones trigonométricas, mediante el uso de diferenciales:

    1. Para\(u^2 = x^2 \pm a^2\), mostrar que

      \[\frac{\dx}{u} ~=~ \frac{d\,(x+u)}{x+u} ~.\]

    2. Integrar ambos lados del resultado de la parte (a).

    Nota: En general, muchas integrales que involucran\(\sqrt{x^2 \pm a^2}\) pueden manejarse con una manipulación similar de diferenciales, con complejidad variable.

    Según la física newtoniana, el camino de un fotón que roza la superficie del Sol debe ser desviado por el campo gravitacional del Sol en un ángulo\(\theta\), dado aproximadamente por

    \[\theta ~=~ \ABS{\frac{2\,GMR}{c^2}\,\int_{\infty}^0 \frac{\dy}{(R^2 + y^2)^{3/2}}}\]donde\(c= 2.998 \times 10^8\) m/s es la velocidad de la luz,\(G = 6.67 \times 10^{-11}\) N/m 2 /kg 2 es la constante gravitacional,\(M = 1.99 \times 10^{30}\) kg es la masa del Sol, y\(R = 6.96 \times 10^{8}\) m es el radio del Sol. Demostrar que

    \[\theta ~=~ \frac{2\,GM}{c^2 R} ~=~ 4.24 \times 10^{-6}~\text{radians} ~=~ 2.43 \times 10^{-4}~\text{degrees} ~\approx~ 0.875~\text{seconds of arc,}\]donde 1 segundo de arco\(= 1/3600\) de 1 grado. 3


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