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7.1: Elipses

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    110279
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Si le preguntaras a una persona al azar “¿Qué es un círculo?” una respuesta típica sería patear la lata en el camino: “Algo que es redondo”. Hay una definición simple:

    De igual manera, la pregunta “¿Qué es una elipse?” probablemente se respondería con “un óvalo”, “algo en forma de huevo” o “un círculo aplastado”. Una definición precisa sería:

    La figura [fig:circlelipse] ilustra las definiciones anteriores, con un punto\(P\) moviéndose a lo largo de cada curva.

    A lo largo de la elipse la suma\(d_1+d_2\) de las distancias desde\(P\) los focos se mantiene constante. La definición del círculo hace que sea fácil imaginar su forma, especialmente para cualquiera que haya dibujado un círculo con una brújula. La definición de la elipse, por otro lado, podría no sugerir inmediatamente una forma “ovalada”. Su forma se hace evidente al construir físicamente una elipse a mano, usando solo la definición. Pega dos alfileres en una tabla y ata los extremos de un trozo de cuerda a los alfileres, con la cuerda lo suficientemente larga para que quede algo de holgura (ver Figura [fig:drawellipse] (a)). Los pines serán los focos de la elipse.

    Tire de la cuerda tensa con un lápiz cuya punta está tocando el tablero, luego mueve el lápiz lo más lejos posible en todos los lados de los alfileres. La figura dibujada será una elipse, como en la figura [fig:drawellipse] (b). La longitud de la cadena es la suma constante\(d_1+d_2\) de distancias desde los puntos de la elipse hasta los focos. La simetría de la elipse es obvia.

    Hay cierta terminología relacionada con elipses. El eje principal es la línea que contiene los focos, y el centro está a medio camino entre los focos, como en la Figura [fig:elipseparts]:

    Los vértices son los puntos donde la elipse se cruza con el eje principal. El eje mayor es la cuerda que une los vértices, y el eje menor es la cuerda a través del centro que es perpendicular al eje mayor. Los dos semiejes principales son las mitades del eje mayor que unen el centro a los vértices (\(\overline{CV_1}\)y\(\overline{CV_2}\) en la Figura [fig:elipseparts]). De igual manera los ejes semi-menores son las dos mitades del eje menor. Una cuerda a través del centro es un diámetro. Observe que un círculo es el caso especial de una elipse con focos idénticos (es decir, los focos y el centro son todos el mismo punto). Las elipses aparecen en la naturaleza (por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol) y en muchas aplicaciones. Los antiguos griegos pudieron derivar muchas propiedades de la elipse a partir de su definición puramente geométrica. 1 Hoy en día esas propiedades se derivan típicamente usando métodos de geometría analítica, el estudio de objetos geométricos en el contexto de sistemas de coordenadas. 2 Ya has visto la ecuación de una elipse en el\(xy\) plano -centrado en el origen:\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), donde\(a>b>0\), con el\(x\) eje -como eje principal. La ecuación es sencilla de derivar de la definición de la elipse.

    En el\(xy\) plano -dejar que los focos de una elipse sean los puntos\((\pm c,0)\) para algunos\(c>0\), de manera que el centro sea el origen\((0,0)\) y el\(x\) eje -eje sea el eje principal, como en la figura de la derecha. Denote por\(2a\) la suma constante\(d_1+d_2\) de las distancias desde\((x,y)\) los puntos de la elipse hasta los focos, con\(a > 0\). Observe que\(a>c\), ya que la distancia\(2c\) entre los focos debe ser menor que\(d_1+d_2 = 2a\). Luego por la fórmula de distancia,

    \[\begin{aligned} d_1 ~+~ d_2 ~&=~ 2a\\ \sqrt{(x+c)^2 + y^2} ~+~ \sqrt{(x-c)^2 + y^2} ~&=~ 2a\\ \left(\sqrt{(x-c)^2 + y^2}\right)^2 ~&=~ \left(2a ~-~ \sqrt{(x+c)^2 + y^2}\right)^2\\ (x-c)^2 ~+~ \cancel{y^2} ~&=~ 4a^2 ~-~ 4a\,\sqrt{(x+c)^2 + y^2} ~+~ (x+c)^2 ~+~ \cancel{y^2}\\ 4a\,\sqrt{(x+c)^2 + y^2} ~&=~ 4a^2 ~+~ (x+c)^2 ~-~ (x-c)^2\\ \cancel{4}a\,\sqrt{(x+c)^2 + y^2} ~&=~ \cancel{4}a^2 ~+~ \cancel{4}xc\\ \sqrt{(x+c)^2 + y^2} ~&=~ a ~+~ \tfrac{c}{a}x\\ x^2 ~+~ \cancel{2cx} ~+~ c^2 ~+~ y^2 ~&=~ a^2 ~+~ \cancel{2cx} ~+~ \tfrac{c^2}{a^2}x^2\\ \left(1 - \tfrac{c^2}{a^2}\right)\,x^2 ~+~ y^2 ~&=~ a^2 ~-~ c^2\

    \ [4pt]\ frac {x^2} {a^2} +\ frac {y^2} {a^2 - c^2} ~&=~ 1\

    \ [4pt]\ frac {x^2} {a^2} +\ frac {y^2} {b^2} ~&=~ 1\ quad\ text {donde $b^2 = a^2 - c^2$ (y así $a > b > 0$)}\ quad\ checkmark\ end {alineado}\]\((\pm c,0)\) Se muestra la gráfica de la elipse resultante\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) con\(a>b>0\) y focos at en la Figura [fig:ellipab]. Dado que el\(x\) eje -es el eje principal entonces los vértices se encuentran estableciendo\(y=0\):\(x=\pm a\). Los vértices son así\((\pm a,0)\), por lo que el eje mayor va de\((-a,0)\) a\((a,0)\) y tiene longitud\(2a\) (es decir, el semieje mayor tiene longitud\(a\)). Del mismo modo, la configuración\(x=0\) muestra que el eje menor va de\((0,-b)\) a\((0,b)\), (es decir, el eje semimenor tiene longitud\(b\)). Desde\(a>b>0\) y\(b^2 = a^2 - c^2\),
    entonces\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\). Así, para cualquier elipse de la forma\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) con\(a>b>0\), los focos estarán en\((\pm c,0)\), donde\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\). Los focos se pueden utilizar para definir una propiedad geométrica importante de la elipse:

    La excentricidad\(e\) es una medida de lo “ovalada” que es una elipse, con\(0<e<1\). El caso límite\(e=0\) es un círculo, mientras que\(e=1\) es un segmento de línea; una elipse está en algún punto intermedio: cuanto más cerca\(e\) se acerca a 1, más “aplastada” es la elipse. Ver Figura [fig:ecc].

    La órbita elíptica de la Tierra alrededor del Sol es casi circular: la excentricidad es 0.017. Sólo las órbitas de Venus y Neptuno (ambas a 0.007) tienen una menor excentricidad entre los nueve planetas del sistema solar, mientras que la de Plutón (0.252) tiene la más alta.

    Se deja como un ejercicio para mostrar que la elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) con se\(a>b>0\) puede escribir en términos de la excentricidad\(e\):

    \[\label{eqn:ellipe} y^2 ~=~ (1 - e^2)\,(a^2 - x^2)\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): elliparea

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra el área dentro de la elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).

    Solución: Por simetría el área será cuatro veces el área en el primer cuadrante. Resolviendo para\(y\) en la ecuación de la elipse da

    \[y^2 ~=~ b^2 ~-~ \frac{b^2 x^2}{a^2} \quad\Rightarrow\quad y ~=~ b\,\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} ~=~ \frac{b}{a}\,\sqrt{a^2 - x^2}\]para el hemisferio superior. Así,

    \[\begin{aligned} \text{Area} ~&=~ 4\,\int_0^a y~\dx ~=~ \frac{4b}{a}\,\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}~\dx\

    \ [6pt] &=~\ frac {4b} {a}\,\ izquierda (\ frac {a^2} {2}\,\ sin^ {-1}\ izquierda (\ frac {x} {a}\ derecha) ~+~\ frac {1} {2}\, x\,\ sqrt {a^2 - x^2} ~\ biggr|_0^a\ right)\ quad\ text {(por fórmula (\ ref {eqn:sqrta2u2sin}) en la Sección 6.3)}\

    \ [6pt] &=~\ frac {4b} {a}\,\ izquierda (\ frac {a^2} {2}\,\ frac {\ pi} {2} ~+~ 0 ~-~ (0 ~+~ 0)\ derecha)\

    \ [6pt] &=~\ pi\, ab\ end {alineado}\]

    Una característica notable de la elipse es la propiedad de reflexión: la luz que brilló de un foco a cualquier punto de la elipse se reflejará en el otro foco. La figura [fig:ellipreflect] muestra la luz que emana del foco\(F_1\) y que se refleja desde un punto\(P\) en la elipse hacia el otro foco\(F_2\). Principio de Fermat a partir del Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): minmax4

    Agrega texto aquí.

    Solución

    en la Sección 4.1 mostró que el ángulo entrante\(\theta_1\) (ángulo de incidencia) de la luz desde el punto A será igual al ángulo de salida\(\theta_2\) (ángulo de reflexión) al punto B para la luz que se refleja en una superficie reflectante plana en el punto\(P\), como en la Figura [fig:fermat2] (a). El Principio de Fermat también se aplica a superficies curvas, por ejemplo, una elipse, con los ángulos medidos en relación con la línea tangente a la curva en el punto de reflexión, como en la Figura [fig:fermat2] (b).

    Observe que el Principio de Fermat equivale a decir que los ángulos\(\alpha_1\) y\(\alpha_2\) que la trayectoria de la luz hace con la línea normal a través del punto de reflexión son iguales, ya que cada ángulo sería igual\(90\Degrees - \theta\), como en la Figura [fig:fermat3] (a):

    Así, para probar la propiedad de reflexión, basta con probar que la línea normal\(n\) a la elipse en\(P\) biseca el ángulo\(\angle F_1PF_2\) en la Figura [fig:fermat3] (b) —esto haría\(\alpha_1=\alpha_2\), para que el camino indicado de\(F_1\) a\(P\) a\(F_2\) satisfaga el Principio de Fermat. Primero, deja\(P=(x_0,y_0)\) ser un punto en la elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), con\(a>b>0\). Supongamos que no\(P\) es un vértice (es decir\(y_0 \ne 0\)), de lo contrario la propiedad de reflexión se mantiene trivialmente. Por Ejercicio [exer:eliptán] en la Sección 3.4, la ecuación de la línea tangente a la elipse en\(P=(x_0,y_0)\) es

    \[\label{eqn:elliptan} \frac{x x_0}{a^2} ~+~ \frac{y y_0}{b^2} ~=~ 1 ~,\]para que su pendiente sea\(-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\). Por lo tanto, el recíproco negativo\(\frac{a^2 y_0}{b^2 x_0}\) es la pendiente de la línea normal\(n\), cuya ecuación —válida incluso cuando\(x_0=0\) (es decir, cuándo\(y_0=\pm b\) )— es entonces

    \[\label{eqn:ellipnormal} b^2 x_0\,(y - y_0) ~=~ a^2 y_0\,(x - x_0) ~.\]Ajuste\(y=0\) y resolución para\(x\) espectáculos la\(x\) -intercepción de\(n\) está en

    \[x ~=~ \frac{(a^2 - b^2)\,x_0 y_0}{a^2 y_0} ~=~ \frac{c^2}{a^2}\,x_0 ~=~ e^2\,x_0\]\(N = (e^2 x_0,0)\)Sea eso\(x\) -interceptar, como en la Figura [fig:fermat3] (b). La distancia\(F_1N\) desde el foco\(F_1 =(-c,0)=(-ea,0)\) hasta\(N\) es entonces

    \[F_1N ~=~ e^2\,x_0 ~-~ (-ea) ~=~ e\,(a + ex_0)\]mientras que la distancia\(F_2N\) desde el foco\(F_2 =(c,0)=(ea,0)\) a\(N\) es

    \[F_2N ~=~ ea ~-~ e^2\,x_0 ~=~ e\,(a - ex_0) ~.\]Por lo tanto,

    \[\frac{F_1N}{F_2N} ~=~ \frac{e\,(a + ex_0)}{e\,(a - ex_0)} ~=~ \frac{a + ex_0}{a - ex_0} ~.\]Por la fórmula de distancia, la\(F_1P\) distancia de\(F_1=(-ea,0)\) a\(P=(x_0,y_0)\) viene dada por

    \[\begin{aligned} (F_1P)^2 ~&=~ (x_0 + ea)^2 ~+~ y_0^2\\ &=~ x_0^2 ~+~ 2eax_0 ~+~ e^2a^2 ~+~ (1-e^2)\,(a^2 - x_0^2) \quad\text{(by formula (\ref{eqn:ellipe}))}\\ (F_1P)^2 ~&=~ a^2 ~+~ 2eax_0 ~+~ e^2x_0^2 ~=~ (a + ex_0)^2\\ F_1P ~&=~a + ex_0 ~.\end{aligned}\]Del mismo modo, la\(F_2P\) distancia de\(F_2=(ea,0)\) a\(P=(x_0,y_0)\) viene dada por

    \[\begin{aligned} (F_2P)^2 ~&=~ (x_0 - ea)^2 ~+~ y_0^2 ~=~ x_0^2 ~-~ 2eax_0 ~+~ e^2a^2 ~+~ (1-e^2)\,(a^2 - x_0^2)\\ (F_2P)^2 ~&=~ a^2 ~-~ 2eax_0 ~+~ e^2x_0^2 ~=~ (a - ex_0)^2\\ F_2P ~&=~a - ex_0 ~.\end{aligned}\]

    Así,

    \[\frac{F_1P}{F_2P} ~=~ \frac{a + ex_0}{a - ex_0} ~=~ \frac{F_1N}{F_2N} ~,\]lo que significa que\(\alpha_1 = \alpha_2\): 3 por la Ley de los Sines, y con\(\theta =\angle F_2NP\) como en la figura de la derecha,

    \[\frac{\sin\,\alpha_2}{F_2N} ~=~ \frac{\sin\,\theta}{F_2P} ~=~ \frac{\sin\,(180\Degrees - \theta)}{F_2P} ~=~ \frac{\sin\,(180\Degrees - \theta)}{F_1P}\,\cdot\,\frac{F_1P}{F_2P} ~=~ \frac{\sin\,\alpha_1}{F_1N}\,\cdot\,\frac{F_1N}{F_2N} ~=~ \frac{\sin\,\alpha_1}{F_2N}\]y así\(\sin\,\alpha_2 = \sin\,\alpha_1\), para que\(\alpha_2 = \alpha_1\) (desde\(0\Degrees < \alpha_1,\,\alpha_2 < 90\Degrees\)). \(\quad\checkmark\)

    Una elipse de la forma

    \[\frac{x^2}{b^2} ~+~ \frac{y^2}{a^2} ~=~ 1\]con\(a>b>0\) simplemente cambia los roles de\(x\) y\(y\) en los ejemplos anteriores: el eje principal es ahora el\(y\) -eje, los focos están en\((0,\pm c)\), donde\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\), y los vértices están en\((0,\pm a)\), como en la Figura [fig:ellipba].

    Así, el denominador más grande del lado izquierdo de una ecuación de la forma\(\frac{x^2}{\square^2} + \frac{y^2}{\square^2} = 1\) te dice qué eje es el eje principal. Por ejemplo, el eje principal de la elipse\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) es el\(x\) eje -axis (since\(25>16\)), mientras que la elipse\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\) tiene el\(y\) -eje como su eje principal (since\(9>4\)). [sec7dot1]

    Construir una elipse usando el procedimiento mostrado en la Figura [fig:drawellipse]. Coloque los dos pasadores de 7 pulgadas de distancia y use un trozo de cuerda de 10 pulgadas.

    Para los Ejercicios 2-6, esboza la gráfica de la elipse dada, indica los ejes mayor y menor y las ubicaciones exactas de los focos y vértices, y encuentra la excentricidad\(e\). [[1.] ]

    5

    \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)

    \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)

    \(\dfrac{4x^2}{25} + \dfrac{y^2}{4} = 1\)

    \(x^2 + 4y^2 = 1\vphantom{\dfrac{x^2}{15}}\)

    \(25x^2 + 9y^2 = 225\vphantom{\dfrac{x^2}{15}}\)

    Mostrar que para\(a>b>0\) la elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1\) con excentricidad se\(e\) puede escribir como\(y^2 = (1-e^2)\,(a^2 - x^2)\).

    Ejemplo de uso

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): elliparea

    Agrega texto aquí.

    Solución

    para mostrar el área dentro de la elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) con excentricidad\(e\) es\(\pi a^2\,\sqrt{1-e^2}\).

    Para todos\(a>b>0\), encuentra los puntos de intersección de las elipses\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) y\(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\).

    Mostrar que los vértices son los puntos más cercanos y más lejanos en una elipse a cualquiera de los focos. [[1.] ]

    Mostrar que cualquier línea de pendiente\(m\) que sea tangente a la elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) debe ser de la forma

    \[y ~=~ mx ~\pm~ \sqrt{a^2 m^2 \;+\; b^2} ~.\]

    [exer:ellipladder] Una escalera de 10 pies con una marca a 3 pies de la parte superior descansa contra una pared. Si la parte superior de la escalera se desliza hacia abajo por la pared, con el pie de la escalera deslizándose lejos de la pared en el suelo, como en la Figura [fig:ellipladder], luego mostrar la marca se mueve a lo largo de parte de una elipse.

    [exer:ellipdirectrix] Otra definición de elipse es el conjunto de puntos\(P\) para los cuales la relación de la distancia desde\(P\) a un punto fijo\(F\) (un foco) a la distancia de\(P\) a una línea fija\(D\) (la directriz) es una constante\(e<1\) (la excentricidad ):\(\frac{PF}{PG}=e\), como en la Figura [fig:ellipdirectrix]. Usa esta definición para mostrar que la ecuación de una elipse con foco se\((c,0)\) puede escribir como\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) para algunos\(a>b>0\). Encuentra la ecuación de la directrix.

    [exer:ellipdircircle] Mostrar que el conjunto de puntos de intersección de todas las líneas tangentes perpendiculares a una elipse forman un círculo, como en la Figura [fig:elipdircircle] (mostrando dos de tales líneas tangentes\(T_1 \perp T_2\)).

    [exer:elliplatus] Una cuerda de una elipse que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor es un recto latus. Demostrar que para la elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1\) con\(a>b>0\) la longitud de cada recto latus es\(\frac{2b^2}{a}\).

    Supongamos que la línea normal en un extremo de un recto latus de una elipse pasa a través de un extremo del eje menor. Demostrar que la excentricidad\(e\) es una raíz de la ecuación\(e^4 + e^2 - 1 = 0\), luego encuentra\(e\).

    Mostrar que el conjunto de todos los puntos medios de una familia de acordes paralelos en una elipse se encuentra sobre un diámetro. (Sugerencia: Usa simetría con acordes de pendiente\(m \ne 0\).)


    1. La palabra elipse se debe de hecho al astrónomo y geómetro griego Apolonio de Perga (ca. 262-190 a.C.), lo que parece una mejora con respecto al nombre “thyreos” que Euclides (ca. 360-300 a.C.) le había dado forma. ↩

    2. Pionero por el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), para quien se nombra el sistema de coordenadas cartesianas. La proposición “Creo, por lo tanto soy” (Cogito, ergo sum) se debe a Descartes. ↩

    3. Esto se desprende directamente de la Proposición 3 del Libro VI de los Elementos de Euclides. Ver la prueba puramente geométrica en pp.125-126 en Euclid, Elements, (traducción de Thomas L. Heath), Santa Fe, NM: Green Lion Press, 2002. ↩

    4. La excentricidad\(e\) de la parábola al ser 1 significa que no hay segundo vértice, a diferencia de la elipse (donde\(e<1\) forzó la existencia de dos vértices en la definición alternativa) . ↩

    5. Esto se discutirá más a fondo en la Sección 7.4. ↩

    6. Ver pp.159-161 en Smith, C.E., Mecánica Aplicada: Estática, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1976. ↩

    7. La prueba se puede extender a conos dobles oblicuos. Véase §364 en Salmon, G.S., A Treatise on Conic Sections, Londres: Longmans, Green and Co., 1929. ↩

    8. El caso donde\(\alpha = 0\Degrees\) resulta en un círculo, que normalmente no se considera una sección cónica. ↩

    9. El símbolo primo (\('\)) no indica diferenciación, actúa simplemente para distinguir los nuevos ejes. ↩

    10. Para una prueba véase la Sección 6.8 en Protter, M.H. y C.B. Morrey, Analytic Geometry, 2a ed., Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1975. ↩

    11. La razón para usar el doble de área es simplemente para obtener un resultado final “más limpio” involucrando\(a\) en lugar de\(2a\). ↩

    12. Ver pp.25-29 en Shervatov, V.G., Funciones hiperbólicas, Boston: D.C. Heath and Company, 1963. ↩

    13. Desarrollado y popularizado en la década de 1960 por dos ingenieros, Pierre Bézier y Paul de Casteljau, para el modelado de carrocerías de vehículos en los fabricantes franceses de automóviles Renault y Citroën, respectivamente. ↩

    14. Primero resuelto en 1696 por el físico y matemático suizo Johann Bernoulli (1667-1748) . ↩

    15. Ver pp.60-62 en Clegg, J.C., Cálculo de variaciones, Edimburgo: Oliver & Boyd, Ltd., 1968. Para la prueba de Bernoulli ver pp.644-655 en Smith, D.E., A Source Book in Mathematics, New York: Dover Publications, Inc., 1959. ↩

    16. Creado por el matemático flamenco Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) y el matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647) en el siglo XVII, posteriormente utilizado por Newton en su Método de Fluxiones (1671) . ↩

    17. Aquí hay demasiadas curvas de plano interesantes para cubrir. Para una extensa colección, consulte Lawrence, J.D., A Catalog of Special Plane Curves, New York: Dover Publications, Inc., 1972. Véase también Seggern, D.H. von, CRC Handbook of Mathematical Curves and Surfaces, Boca Raton, FL: CRC Press, Inc., 1990. ↩

    18. La fórmula\(\tfrac{1}{2}\,bc\,\sin\,A\) para el área de un triángulo\(\triangle ABC\) se deriva en la mayoría de los textos de trigonometría. Por ejemplo, véase p.54 en Corral, M., Trigonometría, http://mecmath.net/trig/, 2009. ↩

    19. Inspirado en las líneas de fuerza y líneas equipotenciales para un dipolo eléctrico. Ver pp.55-56 en Stratton, J.A., Teoría electromagnética, Nueva York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1941. ↩


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