Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

7.6: Ecuaciones paramétricas

  • Page ID
    110272
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Recordemos que la Sección 6.5 presentó dos formas diferentes de “identificar” o representar puntos en el círculo unitario, por ángulo y por pendiente, como en la Figura [fig:paramcircle]:

    Al identificar por el ángulo\(\theta\), todos los puntos\((x,y)\) en el círculo unitario se pueden escribir como

    \[x ~=~ \cos\,\theta \quad\text{and}\quad y ~=~ \sin\,\theta\]para cualquier ángulo\(\theta\). Al identificar por la pendiente\(t\) de las líneas a través del punto\((-1,0)\), recordar de la derivación de la sustitución de medio ángulo que\(\sin\,\theta = \frac{2t}{1+t^2}\) y\(\cos\,\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}\). Así que todos los puntos\((x,y)\) en el círculo unitario excepto se\((-1,0)\) pueden escribir como

    \[x ~=~ \frac{1-t^2}{1+t^2} \quad\text{and}\quad y ~=~ \frac{2t}{1+t^2}\]para cualquier pendiente\(t\). Estas dos “identificaciones” distintas se denominan parametrizaciones del círculo unitario, con parámetro\(\theta\) en el primer caso y parámetro\(t\) en el segundo.

    En general, una forma de describir una curva plana\(C\) (es decir, una curva en el\(xy\) plano -plano) es escribir sus\(y\) coordenadas\(x\) y como funciones de una variable\(t\):

    \[x ~=~ x(t) \quad\text{and}\quad y ~=~ y(t)\]Se trata de ecuaciones paramétricas de\(C\), que consta de todos los puntos\((x,y)\) tales que\(x=x(t)\) y\(y=y(t)\) para el parámetro\(t\) en algún intervalo\(I\). La taquigrafía para esto es:

    \[C: x=x(t),~y=y(t),~t~\text{in}~I\]Observe la flexibilidad que proporcionan las ecuaciones paramétricas, ya que las curvas planas pueden tomar cualquier forma, sin limitarse a la gráfica de una sola función\(y=f(x)\). De hecho, una curva\(y=f(x)\) es el caso especial donde las ecuaciones paramétricas son\(x=t\) y\(y=f(t)\). En los ajustes físicos el parámetro\(t\) a menudo denota el tiempo, pero puede representar cualquier cosa y cualquier símbolo se puede usar en su lugar. Una curva puede tener muchas parametrizaciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Circles

    Demostrar que para cualquier constante\(\omega \ne 0\) y\(r > 0\), y para\(t\) medidas en radianes,

    \[x ~=~ h ~+~ r\,\cos\,\omega t \quad\text{and}\quad y ~=~ k ~+~ r\,\sin\,\omega t \quad\text{for $-\infty < t < \infty$}\quad\]es una parametrización del círculo\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) con centro\((h,k)\) y radio\(r\).

    Solución

    Dado que\(\omega t\) es similar al ángulo\(\theta\) de la Figura [fig:paramcircle] (a), basta con mostrar que\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\):

    \[(x-h)^2 ~+~ (y-k)^2 ~=~ r^2 \cos^2 \omega t ~+~ r^2 \sin^2 \omega t ~=~ r^2 \quad\checkmark\]La constante\(\omega\) determina qué tan rápido y en qué dirección se traza el círculo a medida que\(t\) varía el parámetro. Por ejemplo, para\(\omega=2\) el círculo\(C\) se traza en sentido antihorario al doble de la velocidad de la parametrización\(C: x=h+r \cos\,t\),\(y=k+r \sin\,t\). En todos los casos el círculo se vuelve a rastrear cada\(2\pi/\omega\) radianes. Por esa razón el intervalo para muchas veces\(t\) se restringe al intervalo\(\ival{0}{2\pi/\omega}\), de manera que el círculo se rastrea solo una vez.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Ellipses

    Mostrar que para\(a>0\) y\(b>0\) las ecuaciones paramétricas

    \[x ~=~ a\,\cos\,t \quad\text{and}\quad y ~=~ b\,\sin\,t\]para\(0 \le t \le 2\pi\) describir una elipse.

    Solución

    Ya que\[\frac{x^2}{a^2} ~+~ \frac{y^2}{b^2} ~=~ \frac{a^2\,\cos^2 t}{a^2} ~+~ \frac{b^2\,\sin^2 t}{b^2} ~=~ \cos^2 t ~+~ \sin^2 t ~=~ 1 \qquad\qquad\qquad\qquad\] para todos\(t\), entonces los puntos se\((x,y) = (a\,\cos\,t,b\,\sin\,t)\) encuentran en la elipse\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\). Debería ser obvio que se traza toda la elipse, pero se deja como un ejercicio para mostrar lo que\(t\) representa el parámetro.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Hyperbolas

    Mostrar que las ecuaciones paramétricas

    \[x ~=~ \cosh\,t \quad\text{and}\quad y ~=~ \sinh\,t\]para\(-\infty < t < \infty\) describir una rama de una hipérbola.

    Solución

    Desde

    \[x^2 ~-~ y^2 ~=~ \cosh^2 t ~-~ \sinh^2 t ~=~ 1\]para todos\(t\), entonces los puntos se\((x,y) = (\cosh\,t,\sinh\,t)\) encuentran en la hipérbola unidad\(x^2-y^2=1\). Esto de hecho se mostró en la Sección 7.5, donde\(t\) se encuentra la mitad del área de la región sombreada en la cifra anterior para\(t>0\). Para\(t<0\) la región sombreada se refleja debajo del\(x\) eje -eje. Dado que\(\cosh\,t \ge 1\) y\(\sinh\,t\) puede tomar cualquier valor, entonces se traza toda la rama derecha de la hipérbola como\(t\) varía. De igual manera la rama izquierda tiene ecuaciones paramétricas\(x=-\cosh\,t\) y\(y=\sinh\,t\). La hipérbola es así parametrizada por área (o área negativa para\(t <0\)). En general, para\(a>0\) y\(b>0\) la hipérbola\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) tiene ecuaciones paramétricas\(x=\pm a\,\cosh\,t\) y\(y=b\,\sinh\,t\) para todos\(t\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Bezier Curves

    Las curvas Bézier 13 se utilizan en Diseño Asistido por Computadora (CAD) para unir los extremos de una trayectoria poligonal abierta de puntos de control no colineales con una curva suave que modela la “forma” del camino. La curva se crea mediante interpolación lineal repetida, ilustrada en la Figura [fig:bezier] y descrita a continuación para\(n=3\) los puntos:

    Para tres puntos de control\(B_0\),\(B_1\),\(B_2\), pick\(0 \le t \le 1\). Digamos\(t=0.4\), que se puede pensar como un porcentaje:\(0.4 = 40\%\). Dejar\(A_0\) y\(A_1\) ser los puntos\(40\%\) del camino desde\(B_1\) y\(B_0\)\(B_1\) hacia\(B_2\), respectivamente, como en la Figura [fig:bezier] (a). Entonces el punto\(P\) que está\(40\%\) del camino de\(A_0\) a\(A_1\) está en la curva Bézier\(B\) uniendo\(B_0\) y\(B_2\). Haga esto por cada\(t\) entrada\(\ival{0}{1}\) para llenar la curva\(B\), como en la Figura [fig:bezier] (b).

    Se puede mostrar a través del algoritmo de Casteljau que la curva Bézier\(B\) para tres puntos de control cualquiera\(B_0=(x_0,y_0)\),\(B_1=(x_1,y_1)\) y\(B_2=(x_2,y_2)\) en el\(xy\) plano -tiene ecuaciones paramétricas

    \[\label{eqn:bezier3} x ~=~ (1-t)^2 x_0 ~+~ 2t\,(1-t)\,x_1 ~+~ t^2 x_2 \quad\text{and}\quad y ~=~ (1-t)^2 y_0 ~+~ 2t\,(1-t)\,y_1 ~+~ t^2 y_2\]para\(0 \le t \le 1\). Escriba y simplifique las ecuaciones paramétricas explícitas para la curva Bézier\(B\) con puntos de control\(B_0=(1,2)\),\(B_1=(2,4)\) y\(B_2=(4,1)\).

    Solución

    Las ecuaciones paramétricas para\(B_0=(x_0,y_0)=(1,2)\),\(B_1=(x_1,y_1)=(2,4)\),\(B_2=(x_2,y_2)=(4,1)\) son:

    \[\begin{aligned} x ~&=~ (1-t)^2 (1) ~+~ 2t\,(1-t)\,(2) ~+~ t^2 (4) ~=~ 1 - 2t + t^2 + 4t - 4t^2 + 4t^2 ~=~ t^2 + 2t + 1\\ y ~&=~ (1-t)^2 (2) ~+~ 2t\,(1-t)\,(4) ~+~ t^2 (1) ~=~ 2 - 4t + 2t^2 + 8t - 8t^2 + t^2 ~=~ -5t^2 + 4t + 2\end{aligned}\]

    La curva Bézier\(B: x=t^2 + 2t + 1,\)\(y=-5t^2 + 4t + 2\),\(0 \le t \le 1\) para\(B_0\),\(B_1\),\(B_2\) se muestra en la figura de la derecha. Se deja como ejercicio para demostrar que esta curva forma parte de una parábola. En general se pueden crear curvas Bézier para puntos de\(n \ge 3\) control en el plano, siendo las ecuaciones paramétricas polinomios de grado\(n-1\) en el parámetro\(t\). En los ejercicios se te guiará en cómo derivar las ecuaciones paramétricas en los casos\(n=3\) y\(n=4\). Las curvas Bézier también se pueden construir para puntos de control en el espacio tridimensional. Una construcción similar, una superficie Bézier, se utiliza en tres dimensiones para modelar el límite de un poliedro (es decir, un sólido cuyas caras son polígonos).

    Una curva con ecuaciones paramétricas\(x=x(t)\) y\(y=y(t)\) podría no ser la gráfica de una sola función\(y=f(x)\), pero la derivada aún se\(\dydx\) puede encontrar usando los diferenciales de\(x\) y\(y\) como funciones de\(t\):\(\dy=y'(t)\,\dt\) y\(\dx=x'(t)\,\dt\), de manera que

    \[\label{eqn:paramderiv1} \dydx ~=~ \frac{y'(t)\,\dt}{x'(t)\,\dt} ~=~ \frac{y'(t)}{x'(t)} ~=~ \frac{\Dydt}{\Dxdt}\]cuando\(\dxdt \ne 0\). La segunda derivada\(\frac{d^2y}{\dx^2}\) se puede encontrar a través de la Regla de Cadena:

    \[\label{eqn:paramderiv2} \ddt\,\left(\dydx\right) ~=~ \left(\ddx\,\left(\dydx\right)\right)\,\cdot\,\dxdt ~=~ \frac{d^2y}{\dx^2} \,\cdot\,\dxdt \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2y}{\dx^2} ~=~ \frac{\Ddt\,\left(\Dydx\right)}{\Dxdt}\]Porque\(t\) en\(\ival{a}{b}\) con\(x_1=x(a)\) y\(x_2=x(b)\), la integral\(\int_{x_1}^{x_2} y\,\dx\) viene dada por:

    \[\label{eqn:paramint} \int_{x_1}^{x_2} y~\dx ~=~ \int_a^b y(t)\,x'(t)~\dt\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): cycloid

    Un cicloide es el camino de un punto\(P\) en un círculo que rueda a lo largo de una línea recta. La figura [fig:cicloide] muestra el cicloide\(C\) trazado por un círculo de radio\(a\) rodando a lo largo del\(x\) eje de manera que\(P\) toca el origen durante el balanceo:

    Encuentra ecuaciones paramétricas para\(C\) y encuentra\(\dydx\).

    Solución

    Para los ángulos\(t\) y\(\theta\) —medidos en radianes— se muestran en la Figura [fig:cicloide]\(t+\theta + \pi/2 = 2\pi\), así\(t=3\pi/2 - \theta\). El punto\(P\) toca el origen a medida que rueda el círculo, por lo que la distancia horizontal desde el centro del círculo hasta el\(y\) eje -es la longitud del arco circular con ángulo central\(\theta\), es decir\(a \theta\). Entonces por la parametrización del círculo como en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), pero con centro\((h,k)=(a \theta,a)\), radio\(r=a\), y\(\omega=1\),

    \[\begin{aligned} x ~&=~ a\,\theta ~+~ a\,\cos\,t ~=~ a\,\left(\theta ~+~ \cos\,\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right)\right) ~=~ a\,(\theta ~-~ \sin\,\theta)\\ y ~&=~ a ~+~ a\,\sin\,t ~=~ a\,\left(1 ~+~ \sin\,\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right)\right) ~=~ a\,(1 ~-~ \cos\,\theta)\end{aligned}\]Así,\(C: x=a\,(\theta \,-\, \sin\,\theta)\),\(y=a\,(1 \,-\, \cos\,\theta)\),\(-\infty < \theta < \infty\) es una parametrización del cicloide\(C\). Como en la fórmula ([eqn:paramderiv1]) el derivado\(\dydx\) viene dado por:

    \[\dydx ~=~ \frac{y'(\theta)}{x'(\theta)} ~=~ \frac{a\,\sin\,\theta}{a\,(1 \,-\, \cos\,\theta)} ~=~ \frac{\sin\,\theta}{1 \,-\, \cos\,\theta} ~=~ \cot\,\tfrac{1}{2}\theta\]Por lo tanto,\(\dydx\) es indefinido cuando\(\cos\,\theta = 1\), es decir, cuando\(\theta = 2\pi k\) para todos los enteros\(k\), es decir, cuando\(x=a\,(\theta \,-\, \sin\,\theta) = a\,(2\pi k \,-\, \sin\,2\pi k) = 2\pi ka\). Observe de la Figura [fig:cicloide] que el cicloide tiene cúspides a esos valores de\(x\).

    Un cicloide aparece en la solución del famoso problema de la brachistocrón: 14 encuentran la curva plana uniendo dos puntos\(A\) y\(B\) —donde\(B\) está a una altura menor que\(A\) pero no directamente debajo de ella— a lo largo de la cual un objeto se desliza sin fricción bajo la fuerza de gravedad sola de\(A\) a\(B\) en el menor tiempo. Resulta que el camino óptimo no es una línea recta, sino parte de un cicloide invertido (al revés) con una cúspide en\(A\), como en la figura de la derecha. 15

    [sec7dot6]

    1. [exer:elipminor] Porque\(a>b>0\), en la elipse\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) inscribe un círculo de radio\(b\) centrado en el origen, llamado círculo auxiliar menor. Este círculo se parametriza por\(x=b \cos\,t\) y\(y=b \sin\,t\) para\(0 \le t \le 2\pi\), con el ángulo que\(t\) se muestra en la Figura [fig:elipminor]. De cada punto de ese círculo dibuja un segmento de línea horizontal hasta el punto\(P\) de la elipse en el mismo cuadrante, como se muestra. \(P=(a \cos\,t,b \sin\,t)\)Demuéstralo.
      Nota: El ángulo\(t\) se llama el ángulo excéntrico de la elipse, y es el parámetro para la parametrización de la elipse en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).
    2. [exer:ellipmajor] Similar a Ejercicio [exer:ellipminor], circunscribe un círculo de radio\(a\) (llamado círculo auxiliar mayor) alrededor de la elipse\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\). Este círculo se parametriza por\(x=a \cos\,t\) y\(y=a \sin\,t\) para\(0 \le t \le 2\pi\), con el ángulo excéntrico que\(t\) se muestra en la Figura [fig:elipmayor]. De cada punto de ese círculo dibuja un segmento de línea vertical hasta el punto\(P\) de la elipse en el mismo cuadrante, como se muestra. Demuéstralo nuevamente\(P=(a \cos\,t,b \sin\,t)\).
    3. Mostrar que el cicloide en Ejemplo Ejemplo\(\PageIndex{1}\): tiene máximos globales en\(x=(2k+1)\pi a\) para todos los enteros\(k\), y que el cicloide es siempre cóncavo hacia abajo.
    4. Mostrar que el área bajo el cicloide en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) sobre el intervalo\(\ival{0}{2\pi a}\) es\(3\pi a^2\).
    5. [exer:ratcurve] La parametrización\(C: x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\),\(y=\frac{2t}{1+t^2}\),\(-\infty < t < \infty\) del círculo unitario\(C\) mostrado anteriormente hace del círculo unitario una curva racional, ya que\(x\) y\(y\) son funciones racionales del parámetro\(t\). ¿La elipse es\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) una curva racional? Justifica tu respuesta.
    6. [exer:paramsegment] Dejar\(P_0=(x_0,y_0)\) y\(P_1=(x_1,y_1)\) ser puntos distintos en el\(xy\) plano -plano. Para\(t\) en\(\ival{0}{1}\) definir

      \[x(t) ~=~ (1-t)\,x_0 ~+~ t\,x_1 \quad\text{and}\quad y(t) ~=~ (1-t)\,y_0 ~+~ t\,y_1\]y vamos\(P(t)=(x(t),y(t))\).

      1. Demostrar que\(C: x=x(t)\)\(y=y(t)\),,\(0 \le t \le 1\) es una parametrización del segmento de línea de\(P_0\) a\(P_1\).
      2. Mostrar que el parámetro\(t\) es la proporción de la longitud\(P_0P(t)\) a la longitud\(P_0P_1\):\(\frac{P_0P(t)}{P_0P_1} = t\).
    7. [exer:elipsograph] En un elipsografo una varilla de longitud\(a\) tiene una clavija en un extremo y otra clavija a una\(b\) distancia del otro extremo, de manera que la varilla puede deslizarse a lo largo de dos rieles perpendiculares delgados, con las clavijas en los rieles como en la Figura [fig:elipsografía]. Mostrar que un marcador en el punto final\(P\) traza una elipse a medida que la varilla se mueve. (Pista: Trate los rieles como los\(y\) ejes\(x\) y. Encuentra ecuaciones paramétricas, con un ángulo diferente al de Ejercicio [exer:elipminor].)

      [[1.] ]

    8. [exer:involuto] El extremo\(P\) de un hilo se mantiene tenso a medida que se desenrolla de un círculo de radio a\(a\) partir de un punto\(A\), como en la Figura [fig:involuta]. Mostrar que el camino\(C\) que traza el extremo, llamado la involuta del círculo, tiene ecuaciones paramétricas\(x=a(\cos \theta + \theta \sin \theta)\),\(y=a(\sin \theta - \theta \cos \theta)\).
    9. Recordemos que una parábola de la forma\(y=ax^2+bx+c\) tiene una segunda derivada constante\(\frac{d^2y}{\dx^2} = 2a\). Considere la curva de Bézier\(B\) en el Ejemplo

      Ejemplo\(\PageIndex{1}\): bezier

      Agrega texto aquí.

      Solución

      .
      1. Encuentra\(\frac{d^2y}{\dx^2}\) para\(B\). ¿Es una constante?
      2. Espectáculo\(B\) que forma parte de una parábola. ¿Esto contradice la parte (a)? Explique. (Pista: Mostrar la curva tiene una ecuación de segundo grado de la forma ([eqn:degreetwo]).)
      3. Encuentra el punto donde la curva\(B\) tiene un máximo global.
    10. Utilice Ejercicio [exer:paramsegment] para derivar las fórmulas ([eqn:bezier3]) para las ecuaciones paramétricas de la curva general Bézier para puntos de\(n=3\) control.
    11. Para formar la curva Bézier para puntos de\(n=4\) control\(B_0=(x_0,y_0)\),\(B_1=(x_1,y_1)\),\(B_2=(x_2,y_2)\)\(B_3=(x_3,y_3)\), para\(0 \le t \le 1\) utilizar los tres puntos que están\(100t\%\) del camino a lo largo de los segmentos de línea\(\overline{B_0B_1}\),\(\overline{B_1B_2}\),\(\overline{B_2B_3}\) como los puntos de control en el\(n=3\) caso. Demostrar que la parametrización resultante es:

      \[x ~=~ (1-t)^3x_0 + 3t(1-t)^2x_1 + 3t^2(1-t)x_2 + t^3x_3 \quad\text{and}\quad y ~=~ (1-t)^3y_0 + 3t(1-t)^2y_1 + 3t^2(1-t)y_2 + t^3y_3\]

    12. Cada punto de una curva plana se encuentra en alguna línea a través del origen. Usa ese hecho para mostrar que la ecuación\(y^2=x^2+x^3\) define una curva racional (ver Ejercicio [exer:ratcurve]). (Pista: Para todos reales\(t\), encuentra las intersecciones de las líneas\(y=tx\) con la curva. Considera también el caso especial de la línea\(x=0\).)
    13. Esbozar la gráfica de la curva\(C: x=2t-4t^3\),\(y=t^3-3t^4\),\(-\infty < t < \infty\).
     

    This page titled 7.6: Ecuaciones paramétricas is shared under a GNU General Public License 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Michael Corral.