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8.2: Valor promedio de una función

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    110255
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Según las leyes del movimiento planetario de Kepler, un planeta que gira alrededor del Sol sigue una órbita elíptica, con el Sol en un foco de la elipse, como en la Figura [fig:órbita]. La distancia\(d\) entre el planeta y el Sol varía sobre la elipse, alcanzando una distancia mínima y una distancia máxima (según el Teorema del Valor Extremo). ¿Cómo encontrarías la distancia promedio entre el planeta y el Sol sobre una órbita completa? La idea es generalizar la noción habitual de un promedio de números.

    Recordemos que para\(n\) los números\(x_1\)\(x_2\)\(\ldots\),,,\(x_n\) el promedio, denotado por\(\bar{x}\), es simplemente la suma de los números divididos por cuántos números hay, a saber

    \[\bar{x} ~=~ \frac{x_1 ~+~ x_2 ~+~ \cdots ~+~ x_n}{n} ~.\]En estadística\(\bar{x}\) se llama la media de\(x_1\),\(x_2\),\(\ldots\),\(x_n\). Esta definición tiene sentido para un conjunto finito de números, pero en el caso de un planeta que gira alrededor del Sol, hay un número incontablemente infinito de distancias entre el planeta y el Sol, haciendo imposible usar la definición anterior. En su lugar, se necesita una forma de tomar una suma sobre un continuo infinito de valores. Tal método ya se ha encontrado: la integral definida, que es meramente una suma de un continuo de cantidades infinitesimales.

    Para motivar la definición del valor promedio de una función a\(f\) lo largo de un intervalo cerrado\(\ival{a}{b}\), denotado por\(\avg{f}\), considerar una partición

    \[P ~=~ \lbrace a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b \rbrace\]que\(\ival{a}{b}\) se divide en\(n\) subintervalos\(\ival{x_{i-1}}{x_i}\) de igual longitud\(\Delta x_i = x_i-x_{i-1} = (b-a)/n\), como en la Figura [fig:favg]. Los valores de\(n\) función\(f(x_1)\)\(f(x_2)\),\(\ldots\),\(f(x_n)\) constituyen solo un subconjunto finito de todos los valores de función\(f(x)\) sobre\(\ival{a}{b}\), por lo que su promedio sería una aproximación del promedio de función verdadero\(\avg{f}\), a saber:

    \[\avg{f} ~\approx~ \frac{f(x_1) ~+~ f(x_2) ~+~ \cdots ~+~ f(x_n)}{n} ~=~ \sum_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{n}\]Por propiedades de sumaciones, divide la suma completa por la constante\(b-a\) y multiplica cada término en la suma por\(b-a\) para obtener:

    \[\avg{f} ~\approx~ \frac{1}{b-a}\,\sum_{i=1}^n f(x_i)\,\cdot\,\frac{b-a}{n} ~=~ \frac{1}{b-a}\,\sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x_i\]Tenga en cuenta que la última suma a la derecha es solo una suma de Riemann para la integral definida\(\int_a^b f(x)\,\dx\), con los puntos\(x_i^*\) elegidos para ser los extremos correctos de los intervalos\(\ival{x_{i-1}}{x_i}\) para\(i=1\) a\(n\). Así, tomar el límite de esa suma como\(n \to \infty\) (lo que significa incluir más y más valores de función en el promedio) produce la siguiente definición:

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): avg1

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra el valor promedio de\(f(x)=x^2\) más de\(\ival{0}{1}\).

    Solución: Por definición, con\(a=0\) y\(b=1\)

    \[\avg{f} ~=~ \frac{1}{1-0}\,\int_0^1\,f(x)~\dx ~=~ \int_0^1\,x^2~\dx ~=~ \frac{x^3}{3}~\Biggr|_0^1 ~=~ \frac{1^3}{3} ~-~ \frac{0^3}{3} ~=~ \frac{1}{3}\]Tenga en cuenta que esto dice que si tomara todos los números entre 0 y 1 y los cuadrara, entonces el promedio de esos cuadrados sería 1/3.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): avg2

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra el valor promedio de\(f(x)=x^2\) más de\(\ival{-1}{1}\).

    Solución: Por definición, con\(a=-1\) y\(b=1\)

    \[\avg{f} ~=~ \frac{1}{1-(-1)}\,\int_{-1}^1\,f(x)~\dx ~=~ \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\,x^2~\dx ~=~ \frac{x^3}{6}~\Biggr|_{-1}^1 ~=~ \frac{1^3}{6} ~-~ \frac{(-1)^3}{6} ~=~ \frac{1}{3}\]Tenga en cuenta que esto es lo mismo que el promedio sobre\(\ival{0}{1}\), como se muestra en el ejemplo anterior. Esto debería tener sentido, ya que la función\(f(x)=x^2\) es simétrica alrededor del\(y\) eje -, por lo que los valores de\(f(x)\) from\(\ival{-1}{0}\) son los mismos que los de\(\ival{0}{1}\). Los valores de\(\ival{-1}{1}\) simplemente duplican los valores de\(\ival{0}{1}\) y por lo tanto no cambian el promedio.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): avg3

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra el valor promedio de\(f(x)=\sin\,x\) más de\(\ival{0}{\pi}\).

    Solución: Por definición, con\(a=0\) y\(b=\pi\)

    \[\avg{f} ~=~ \frac{1}{\pi-0}\,\int_0^{\pi}\,f(x)~\dx ~=~ \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\,\sin\,x~\dx ~=~ -\frac{1}{\pi}\,\cos\,x~\Biggr|_0^{\pi} ~=~ -\frac{1}{\pi}\,(\cos\,\pi ~-~ \cos\,0) ~=~ -\frac{1}{\pi}\,(-1 - 1) ~=~ \frac{2}{\pi}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): avg4

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra la distancia promedio desde la elipse\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) hasta el punto\((4,0)\).

    Solución: Dejar\(d\) representar la distancia desde cualquier punto de\((x,y)\) la elipse hasta el punto\((4,0)\), como en la Figura [fig:avgellipse]. Si\((x,y)\) está en la elipse\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) entonces\(y^2 = 9(1 - \frac{x^2}{25}) = \frac{9}{25}(25-x^2)\). Entonces, por la fórmula de distancia,\(d\) viene dada por

    \[\begin{aligned} d^2 ~&=~ (x-4)^2 ~+~ (y-0)^2 ~=~ (x-4)^2 ~+~ y^2\\ &=~ (x-4)^2 ~+~ \frac{9}{25}(25-x^2)\

    \ [6pt] &=~\ frac {25 (x-4) ^2 ~+~ 9 (25-x) ^2} {25} ~=~\ frac {25x^2 ~-~ 200x ~+~ 400 ~+~ 225 ~-~ 9x^2} {25}\

    \ [6pt] &=~\ frac {16x^2 ~-~ 200x ~+~ 625} {25}\

    \ [6pt] d^2 ~&=~\ frac {(4x - 25) ^2} {25}\ quad\ text {, y así tomar raíces cuadradas da}\

    \ [6pt] d ~&=~\ pm\,\ frac {4x - 25} {5} ~=~ -\ frac {4x - 25} {5} ~=~\ frac {25 - 4x} {5}\ final {alineado}\]

    pues\(-5 \le x \le 5\), ya que\(d = (4x-25)/5 < 0\) on\(\ival{-5}{5}\) y la distancia no puede ser negativa. Tenga en cuenta que por simetría de la elipse alrededor\(x\) del eje -eje, solo se necesita la mitad superior de la elipse para la distancia promedio, ya que la mitad inferior apenas duplica las distancias. Por lo tanto, la distancia promedio es

    \[\avg{d} ~=~ \frac{1}{5 - (-5)}\,\int_{-5}^5\,\frac{25 - 4x}{5}~\dx ~=~ \frac{1}{50}\,(25x - 2x^2)~\Biggr|_{-5}^5 ~=~ \frac{1}{50}\,(125 - 50 ~-~ (-125 - 50)) ~=~ 5 ~.\]Observe que el punto\((4,0)\) es un foco de la elipse\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) (¿por qué?) , lo que resulta hace que el cálculo de la distancia media sea bastante simple.

    ¿Y si quisieras el valor promedio de una función\(f\) que no sea fácilmente integrable? Una alternativa a las técnicas de integración numérica es el método de Monte Carlo. La idea detrás de esto es simple: volver a la definición habitual de un promedio, tomando un gran número\(N\) de números aleatorios\(x_1\)\(x_2\),\(\ldots\),,\(x_N\) in\(\ival{a}{b}\) y luego usando la aproximación

    \[\avg{f} ~\approx~ \frac{f(x_1) ~+~ f(x_2) ~+~ \cdots ~+~ f(x_N)}{N} ~.\]Esto puede parecer como dar un paso atrás desde el cálculo, y lo es, pero es sorprendentemente útil, además de sencillo de implementar con una computadora. Además, se puede demostrar que a medida que\(\ival{a}{b}\) aumenta el número de puntos aleatorios, las aproximaciones convergen al promedio real.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): avgoctave

    Agrega texto aquí.

    Solución

    El método Monte Carlo es fácil de implementar en Octave/MatLab. Por lo general, solo se necesita un “one-liner”, debido a la vectorización de Octave, es decir, la capacidad de realizar operaciones matemáticas en matrices completas de objetos a la vez.

    Por ejemplo, recordar de Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): avg1

    Agrega texto aquí.

    Solución

    que el valor promedio de\(f(x)=x^2\) más\(\ival{0}{1}\) es\(1/3 = 0.33333\ldots\,\). Aproximar el valor promedio usando una matriz de 100 millones (\(10^8\)) de números aleatorios en\(\ival{0}{1}\):
    octave> mean(rand(1,1e8).^2)
    ans = 0.3333292094741531

    El punto en el comando rand (1,1e8) .^2 aplica la operación de cuadratura (^2) a cada uno de los números\(10^8\) aleatorios de la matriz devueltos por el comando rand (1,1e8). La función de media agregada calcula entonces la media de la matriz. Se pueden aplicar funciones trigonométricas, exponenciales y otras a las matrices, con la función evaluando cada elemento de matriz individualmente. En general el comando (b-a). *rand (1, N) +a devolverá una matriz de N números aleatorios en el intervalo\((a,b)\).

    Por ejemplo, la función\(f(x)=\sin\,(x^2)\) no se puede integrar en forma cerrada, pero su valor promedio sobre se\(\ival{\pi}{2\pi}\) puede aproximar fácilmente en Octave (promedio real = -0.04154374531416104):

    octave> mean(sin((pi.*rand(1,1e8)+pi).^2))
    ans = -0.04153426177596753

    [sec8dot2]

    Para Ejercicios 1-9, encuentra el valor promedio de la función\(f(x)\) en el intervalo dado.

    3

    \(f(x)=1\), sobre\(\ival{0}{3}\)

    \(f(x)=x\), sobre\(\ival{0}{1}\)

    \(f(x)=x^2\), sobre\(\ival{0}{2}\)

    3

    \(f(x)=x^3\), sobre\(\ival{0}{2}\)

    \(f(x)=\sin\,2x\), sobre\(\ival{0}{\pi/2}\)

    \(f(x)=e^x\), sobre\(\ival{-1}{4}\)

    3

    \(f(x)=x^3\), sobre\(\ival{-1}{1}\vphantom{\dfrac{1}{x}}\)

    \(f(x)=\sin\,x\), sobre\(\ival{-\pi/2}{\pi/2}\vphantom{\dfrac{1}{x}}\)

    \(f(x)= \dfrac{1}{x}\), sobre\(\ival{1}{3}\)

    Las señales eléctricas se representan comúnmente por una forma de onda periódica\(x(t)\), que es una función del tiempo\(t\) y tiene periodo\(T\) (\(T\)es decir, es el número positivo más pequeño tal que\(x(t+T) = x(t)\) para todos\(t\)). La potencia promedio de la forma de onda se define como el valor promedio de su cuadrado en un solo período:

    \[\Avg{x^2(t)} ~=~ \frac{1}{T}\,\int_0^T\,x^2(t)~\dt ~.\]

    1. Encuentra la potencia promedio de la forma de onda\(x(t) = A \cos (\omega t + \phi)\), donde\(A >0\)\(\omega > 0\) y y\(\phi\) son todas constantes.

    2. La raíz cuadrática media de una forma de onda, abreviada como rms, es la raíz cuadrada de la potencia promedio. Calcular los rms de la forma de onda a partir de la parte (a). Escribe tu respuesta en forma decimal como porcentaje de la amplitud\(A\).

    En la imagen de la derecha se muestra un circuito eléctrico con voltaje suministrado (fuerza electromotriz)\(E\)\(C\), un condensador con capacitancia y una resistencia con resistencia\(R\). Cuando se abre un interruptor\(s\) en el circuito en\(t=0\) el momento la corriente\(I\) a través del circuito comienza a disminuir exponencialmente en función del tiempo\(t\) (medido en segundos después de que se abre el interruptor), dado por

    \[I ~=~ \frac{E}{R}\,e^{-t/RC}\]para\(t \ge 0\).

    1. Esbozar una gráfica aproximada de\(I\) como una función de\(t\).

    2. Tenga en cuenta que en\(t=0\) el momento la corriente es\(I = \frac{E}{R}\) (medida en amperios), que es la fórmula familiar de la Ley de Ohm. Ese es el valor pico de\(I\). ¿Cuál es la corriente\(I\) en el momento\(t=5RC\)? Escribe tu respuesta en forma decimal como un porcentaje de la corriente pico\(\frac{E}{R}\) (por ejemplo\(0.42 \frac{E}{R}\), que sería\(42\%\) de la corriente pico).

    3. Encuentra la corriente promedio en el circuito a lo largo del intervalo de tiempo\(\ival{0}{5RC}\). Escribe tu respuesta en forma decimal como porcentaje de la corriente pico.

    [[1.] ]

    Un resorte con constante de resorte\(k\) y constante de amortiguación\(\nu\) conecta partículas de dos puntos con masa\(m\) en un detector de ondas gravitacionales. Una onda gravitacional pasa a través del detector en el momento\(t=0\) e induce oscilación en la primavera, con un período de\(2\pi/\Omega\) y energía\(E\) en el tiempo\(t \ge 0\) dado por

    \[E(t) ~=~ \frac{1}{4}mR^2\,\left(\Omega^2\,\sin^2\,(\Omega t + \phi) ~+~ \omega_0^2\,\cos^2\,(\Omega t + \phi)\right) ~,\]donde\(\omega_0^2 = 2k/m\),\(\phi = \tan^{-1}\,(2\nu\Omega/(m(\omega_0^2 - \Omega^2))\), y\(R\) es una constante.

    1. Mostrar que la energía promedio\(\avg{E}\) durante un período\(\ival{0}{2\pi/\Omega}\) de oscilación es

      \[\avg{E} ~=~ \frac{1}{8}mR^2\,(\omega_0^2 ~+~ \Omega^2) ~.\]

    2. Supongamos que un gran número de detectores idénticos de este tipo se distribuyen uniformemente en una matriz plana a una densidad de\(\sigma\) detectores por unidad de área. La energía\(E_\sigma(t)\) impartida a cada detector en el momento\(t \ge 0\) por una onda gravitacional es

      \[E_\sigma(t) ~=~ \nu \Omega^2 R^2\,\sin^2\,(\Omega t + \phi) ~.\]Mostrar que la energía promedio\(\avg{E_\sigma}\) durante un período\(\ival{0}{2\pi/\Omega}\) de oscilación es

      \[\avg{E_\sigma} ~=~ \frac{1}{2}\nu \Omega^2 R^2 ~.\]

    [[1.] ]

    Para la elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), con\(a > b > 0\), los focos son los puntos\((c,0)\) y\((-c,0)\), donde\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\). Encuentra la distancia promedio desde la elipse a cualquiera de sus focos en términos de las constantes\(a\),\(b\), y\(c\).

    Escribe un programa de computadora para usar el método Monte Carlo con 1 millón de puntos aleatorios para aproximar la distancia promedio desde la elipse\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) hasta el punto\((0,0)\). Usa la simetría para elegir el intervalo más pequeño para los puntos. ¿Podrías haber usado formula ([eqn:avgvalue]) en su lugar? Explicar.


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