8.3: Longitud y curvatura del arco

Al igual que el área de una región plana se puede encontrar usando cálculo, también lo puede hacer la longitud de una curva plana. En el camino finalmente se resolverá el misterio mencionado en una nota al pie del capítulo 1: ¿cuál es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados infinitesimales?

Para una función\(y=f(x)\) denotar por\(s\) la longitud de la pieza de esa curva a lo largo de un intervalo\(\ival{a}{b}\), como en la Figura [fig:arclength] (a). Llame a\(s\) la longitud del arco de la curva\(\ival{a}{b}\).

Por la Propiedad de Microrectitud, para\(a \le x < b\) la curva es una línea recta de longitud\(\ds\) sobre el intervalo infinitesimal\(\ival{x}{x+\dx}\), como en la Figura [fig:arclength] (b), donde\(\ds>0\) está el cambio infinitesimal en\(s\) sobre ese intervalo. Observe que aquí no se puede simplemente aplicar el Teorema de Pitágoras, ya que eso haría\(\ds = \sqrt{(\dx)^2+(\dy)^2} = \sqrt{0+0} = 0\), que es falso. El truco es dividir por todos los lados de este triángulo rectángulo infinitesimal\(\dx\), lo que produce el triángulo rectángulo similar y no infinitesimal que se muestra en la Figura [fig:arclength] (c). El Teorema de Pitágoras se puede aplicar entonces a ese triángulo:

\[\frac{\ds}{\dx} ~=~ \sqrt{1^2 + \left(\dydx\right)^2} \quad\Rightarrow\quad \ds ~=~ \sqrt{1 + \left(\dydx\right)^2}\;\dx\]Al resumir esas longitudes infinitesimales\(\ds\), se obtiene la longitud del arco\(s\):

Que exista tal fórmula es, por supuesto, una buena noticia, pero como probablemente habrás adivinado, la integral no puede evaluarse de forma cerrada a excepción de algunas funciones. ¹ En la mayoría de los casos se requerirán métodos de integración numérica.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): arclength1

Encuentra la longitud del arco de la curva\(y=\cosh\,x\) sobre\(\ival{0}{1}\).

Solución

Desde entonces\(\dydx = \sinh\,x\), la longitud del arco\(s\) es:

\[\begin{aligned} s ~&=~ \int_0^1 \sqrt{1 + \left(\dydx\right)^2}~\dx ~=~ \int_0^1 \sqrt{1 + \sinh^2 x}~\dx\\ &=~ \int_0^1 \cosh\,x~\dx ~=~ \sinh\,x~\Biggr|_0^1 ~=~ \sinh\,1 ~-~ \sinh\,0 ~=~ \sinh\,1 ~\approx~ 1.1752\end{aligned}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Catenary

Una catenaria, un cable uniforme colgante cuyos extremos están sujetos a la misma altura a\(h\) una distancia,\(L\) tiene su punto más bajo, el vértice, una distancia\(a>0\) por encima del suelo. Se puede mostrar ² que con el ápice en\((0,a)\), la ecuación de la catenaria es\(y = a\,\cosh\,\tfrac{x}{a}\). Encuentra la longitud del arco de la catenaria.

Solución

La figura de la derecha muestra la catenaria. Por simetría, la longitud total del arco\(s\) es el doble de la longitud del arco sobre\(\ival{0}{L/2}\):

\[\begin{aligned} s ~&=~ 2\,\int_0^{L/2} \sqrt{1 + \left(\dydx\right)^2}~\dx ~=~ 2\,\int_0^{L/2} \sqrt{1 + \sinh^2 \tfrac{x}{a}}~\dx\\[4pt] &=~ 2\,\int_0^{L/2} \cosh\,\tfrac{x}{a}~\dx ~=~ 2a\,\sinh\,\tfrac{x}{a}~\Biggr|_0^{L/2} ~=~ 2a\,\sinh\,\tfrac{L}{2a}\end{aligned}\]Supongamos que intentó encontrar la circunferencia\(s\) of the ellip s e\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), with \(a>b>0\), which has eccentricity \(e=\frac{c}{a}\), where \(c=\sqrt{a^2-b^2}\). By symmetry, \(s\) is quadruple the ar c longitud del hemisferio superior\(y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\) over \(\ival{0}{a}\):

\[E(k,\phi) ~=~ \int_0^{\phi} \sqrt{1 - k^2\,\sin^2 \theta}~\dtheta ~,\]con\(k=e\) y\(\phi = \frac{\pi}{2}\). Este caso especial se denota por\(E(k) = E(k,\frac{\pi}{2})\). Así, la circunferencia\(s\) de la elipse es:

\[s ~=~ 4a\,E(e) ~=~ 4a\,E(e,\tfrac{\pi}{2})\]La integral\(E(k)\) para\(0<k<1\) no puede ser evaluada en forma cerrada. Hay tablas ³ para ciertos valores de\(k\) entre 0 y 1, pero una serie de aplicaciones de computación científica tienen funciones incorporadas para evaluar integrales elípticas.

Por ejemplo, supongamos que desea encontrar la circunferencia\(s\) de la elipse\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\). Entonces\(a=5\),\(b=3\),\(c=\sqrt{a^2-b^2}=4\), y\(e=\frac{c}{a}=0.8\), entonces\(s=4a\,E(e)=20\,E(0.8)\). En el sistema de software matemático de código abierto basado en Pitón Sage ⁴, la integral elíptica\(E(k,\phi)\) es proporcionada por la función elliptice (\ phi, k^2). Uso\(k=e=0.8\) y\(\phi = \frac{\pi}{2}\):

In [1]: 20*elliptic_e(pi/2,0.8^2)
Out[1]: 25.5269988633981

La circunferencia es así aproximadamente 25.5269988633981. En Octave/matlab la función ellipke (e^2) evalúa la integral elíptica\(E(e)\), con un paso extra:

MATLAB>> [K,E] = ellipke(0.8^2);
MATLAB>> 20*E
ans = 25.526998863398131

La fórmula paramétrica para la longitud del arco se puede derivar dividiendo todos los lados del triángulo rectángulo infinitesimal en la Figura [fig:arclength] (b) por\(\dt\), luego aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo no infinitesimal resultante:

\[\dsdt ~=~ \sqrt{\left(\dxdt\right)^2 + \left(\dydt\right)^2} \quad\Rightarrow\quad \ds ~=~ \sqrt{\left(\dxdt\right)^2 + \left(\dydt\right)^2}~\dt\]Suma esas longitudes infinitesimales\(\ds\) para obtener la longitud del arco\(s\):

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): arclencos3sin3

Encuentra la longitud del arco de la curva paramétrica\(x=\cos^3 t\),\(y=\sin^3 t\),\(0 \le t \le \pi/2\).

Solución

Desde\(\dxdt=-3\cos^2 t\,\sin t\) y\(\dydt=3\sin^2 t\,\cos t\), entonces la longitud del arco\(s\) es:

\[\begin{aligned} s ~&=~ \int_0^{\pi/2} \sqrt{\left(\dxdt\right)^2 + \left(\dydt\right)^2}~\dt ~=~ \int_0^{\pi/2} \sqrt{(-3\,\cos^2 t\;\sin\,t)^2 + (3\,\sin^2 t\;\cos\,t)^2}~\dt\\ &=~ \int_0^{\pi/2} \sqrt{9\,\cos^4 t\;\sin^2 t ~+~ 9\,\sin^4 t\;\cos^2 t}~\dt ~=~ \int_0^{\pi/2} 3\,\sqrt{\sin^2 t\;\cos^2 t\;(\cos^2 t ~+~ \sin^2 t)}~\dt\\ &=~ \int_0^{\pi/2} 3\,\sin\,t\;\cos\,t~\dt \quad\text{(since $\cos\,t \ge 0$ and $\sin\,t \ge 0$ for $0 \le t \le \pi/2$)}\\ &=~ \frac{3}{2}\,\sin^2 t~\Biggr|_0^{\pi/2} ~=~ \frac{3}{2}\end{aligned}\]

 

La fórmula polar para la longitud del arco puede considerarse un caso especial de la fórmula paramétrica. Una curva polar\(r=r(\theta)\) para\(\alpha\le\theta\le\beta\) tiene coordenadas cartesianas\(x=r(\theta)\,\cos\,\theta\) y\(y=r(\theta)\,\sin\,\theta\), de modo que

\[\frac{\dx}{\dtheta} ~=~ \frac{\dr}{\dtheta}\,\cos\,\theta ~-~ r\,\sin\,\theta \quad\text{and}\quad \frac{\dy}{\dtheta} ~=~ \frac{\dr}{\dtheta}\,\sin\,\theta ~+~ r\,\cos\,\theta ~.\]Se deja como un ejercicio para mostrar que poner estas derivadas en la fórmula ([eqn:arclengthparam]) —usando el parámetro\(\theta\) en lugar de\(t\) —produce la fórmula de longitud de arco polar:

Demostrar que la circunferencia de un círculo de radio\(R\) es\(2\pi R\).

Solución: Utilice la curva polar\(r=R\) para\(0\le\theta\le 2\pi\). Entonces\(\frac{\dr}{\dtheta}=0\), entonces:

\[s ~=~ \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 + \left(\frac{\dr}{\dtheta}\right)^2}~\dtheta ~=~ \int_0^{2\pi} \sqrt{R^2 + 0^2}~\dtheta ~=~ \int_0^{2\pi} R~\dtheta ~=~ R\,\theta~\Biggr|_0^{2\pi} ~=~ 2\pi R \quad\checkmark\]

En el Capítulo 4 se vio una simple medida de curvatura: la segunda derivada. De la Figura [fig:x2curvature] queda claro que la parábola\(y=x^2\) es menos curvada en el punto\((1,1)\) que en el origen, pero\(\frac{d^2y}{\dx^2}=2\) en cada punto. Entonces, el segundo derivado, la tasa de cambio de las pendientes\(\dydx\) de las líneas tangentes, no captura completamente la curvatura de una curva; se necesita más información. Resulta que la tasa de cambio de los ángulos de las líneas tangentes es la clave para la curvatura.

Primero considere una curva con longitud de arco\(s\) entre dos puntos\(A\) y\(B\) sobre la curva. Dejar\(\alpha\) ser el ángulo entre las líneas tangentes a la curva en\(A\) y\(B\), como en la Figura [fig:avgcurvature] (a).

Para la misma longitud de arco\(s\) pero mayor ángulo\(\alpha\) que en la Figura [fig:avgcurvature] (b), la curvatura aparece mayor. Esto sugiere que la curvatura debe medirse en\(\alpha\) relación con\(s\):

Similar a cómo la tasa instantánea de cambio de una función en un punto es la tasa promedio de cambio en un intervalo infinitesimal, la curvatura de una curva en un punto puede definirse como la curvatura promedio sobre una longitud infinitesimal de la curva:

La idea es que mover una longitud infinitesimal\(\ds\) a lo largo de la curva induce una diferencia infinitesimal\(\dphi\) en los ángulos de las líneas tangentes. Más o menos, a medida\(B\) que avanza hacia\(A\):

\[\lim_{B \to A}~\bar{\kappa}_{AB} ~=~ \lim_{B \to A}~ \frac{\alpha}{s} ~=~ \frac{\dphi}{\ds} ~=~ \kappa\]La curvatura se puede ver como la velocidad instantánea de cambio de dirección de una curva, pero con respecto a la longitud del arco (es decir, la distancia recorrida) en lugar del tiempo.

Para una curva\(y=f(x)\), recuerde de la fórmula ([eqn:tangentangle]) en la Sección 3.1 que\(\phi = \phi(x) = \tan^{-1} f'(x)\) en cada punto\((x,f(x))\) de la curva. Así, por la Regla de la Cadena:

\[\kappa ~=~ \frac{\dphi}{\ds} ~=~ \frac{d\,(\tan^{-1} f'(x))}{\ds} ~=~ \frac{\dfrac{f''(x)~\dx}{1 + (f'(x))^2}}{\ds}\]Entonces ya que\(\ds=\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\dx\) por fórmula ([eqn:arclength]), entonces:

La fórmula anterior hace\(\kappa\) una función de\(x\). Tenga en cuenta también que\(\kappa=0\) para una línea recta, y que la curva\(y=f(x)\) es cóncava hacia arriba si\(\kappa > 0\) y cóncava hacia abajo si\(\kappa < 0\).

Encuentra la curvatura de la curva\(y=x^2\) para\(x=0\) y\(x=1\).

Solución: Para\(f(x)=x^2\),\(f'(x)=2x\) y\(f''(x)=2\), así para cualquier\(x\) la curvatura\(\kappa=\kappa(x)\) es:

\[\kappa ~=~ \frac{f''(x)}{(1 + (f'(x))^2)^{3/2}} ~=~ \frac{2}{(1+4x^2)^{3/2}}\]En particular,\(\kappa(0)=2\) y\(\kappa(1)=\frac{2}{5^{3/2}} \approx 0.1789\). Así que\(y=x^2\) tiene más curvatura en el origen que en\((1,1)\).

Para una curva paramétrica\(x=x(t)\)\(y=y(t)\),, la curvatura\(\kappa\) será una función del parámetro\(t\). Dado que\(\dydx = \frac{y'(t)}{x'(t)}\) por la fórmula ([eqn:paramderiv1]) en la Sección 7.6, luego por la fórmula ([eqn:paramderiv2]):

\[\frac{d^2y}{\dx^2} ~=~ \frac{\Ddt\,\left(\Dydx\right)}{\Dxdt} ~=~ \frac{\Ddt\,\left(\dfrac{y'(t)}{x'(t)}\right)}{x'(t)} ~=~ \frac{x'(t)\,y''(t) ~-~ y'(t)\,x''(t)}{(x'(t))^3}\]Entonces por fórmula ([eqn:curvaturefcn]):

\[\kappa ~=~ \frac{\dfrac{d^2y}{\dx^2}}{\left(1 + \left(\Dydx\right)^2\right)^{3/2}} ~=~ \frac{\dfrac{x'(t)\,y''(t) ~-~ y'(t)\,x''(t)}{(x'(t))^3}}{\left(1 \;+\; \left(\dfrac{y'(t)}{x'(t)}\right)^2\right)^{3/2}} ~=~ \frac{x'(t)\,y''(t) ~-~ y'(t)\,x''(t)}{\left((x'(t))^2\right)^{3/2} \,\left(1 \;+\; \left(\dfrac{y'(t)}{x'(t)}\right)^2\right)^{3/2}}\]Simplifica el denominador para obtener la fórmula de curvatura paramétrica:

La derivación de la fórmula de curvatura en coordenadas polares se deja como un ejercicio:

Encuentra la curvatura de un círculo de radio\(R\).

Solución: Utilice la curva polar\(r=r(\theta)=R\), para que\(r'(\theta) = 0 = r''(\theta)\):

\[\kappa ~=~ \frac{(r(\theta))^2 \;+\; 2\,(r'(\theta))^2 \;-\; r(\theta)\,r''(\theta)}{\left((r(\theta))^2 \;+\; (r'(\theta))^2\right)^{3/2}} ~=~ \frac{R^2 \;+\; 2 \cdot 0^2 \;-\; R \cdot 0}{(R^2 \;+\; 0^2)^{3/2}} ~=~ \frac{R^2}{R^3} ~=~ \frac{1}{R}\]Un círculo tiene así una curvatura constante, como cabría esperar por simetría. Resulta que cualquier curva plana con curvatura constante es una línea o parte de un círculo. ⁵

[sec8dot3]

Para los Ejercicios 1-10, encuentra la longitud del arco de la curva dada en el intervalo dado.

3

\(y = x^{3/2}\);\(1 \le x \le 4\)

\(y = x^2\);\(0 \le x \le 1\)

\(y = x^{2/3}\);\(1 \le x \le 8\)

3

\(y = \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{\ln\,x}{2}\);\(1 \le x \le 2\)

\(y = \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{1}{8x^2}\);\(1 \le x \le 2\)

\(y = \ln\,\dfrac{e^x + 1}{e^x - 1}\);\(1 \le x \le 2\vphantom{\dfrac{x^4}{4}}\)

2

\(x = e^t\,\cos\,t\),\(y = e^t\,\sin\,t\);\(0 \le \theta \le \pi\)

\(x = \cos\,t \;+\; t\,\sin\,t\),\(y = \sin\,t \;-\; t\,\cos\,t\);\(0 \le t \le \pi\)

2

curva polar\(r = 1 + \cos\,\theta\);\(0 \le \theta \le 2\pi\)

curva polar\(r = e^{\theta}\);\(0 \le \theta \le 2\)

Encuentra la longitud del arco de la curva en Ejemplo\(\PageIndex{1}\)  para\(0 \le t \le \pi\).

Usa la fórmula ([eqn:arclengthparam]) para encontrar la circunferencia del círculo unitario usando dos parametrizaciones diferentes:

2

1. \(x=\cos\,t\),\(y=\sin\,t\),\(0 \le t \le 2\pi\vphantom{\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\)
2. \(x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\),\(y=\dfrac{2t}{1+t^2}\),\(-\infty < t < \infty\)

Para los Ejercicios 13-18 encuentra la curvatura de la curva dada en los puntos indicados. [[1.] ]

3

\(y = \sin\,x\)en\(x=0\) y\(x=\frac{\pi}{2}\)

\(y = \ln\,x\)en\(x=1\)

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)en\((a,0)\) y\((0,b)\)

3

\(y = e^x\)en\(x=0\)

\(x^2 - y^2 = 1\)en\((1,0)\)

\(r=1+\cos\,\theta\)en\(\theta=0\)

[[1.] ]

2

Demostrar fórmula ([eqn:arclengthpolar]).

Demostrar fórmula ([eqn:curvaturepolar]).

Dejar\(\alpha\) y\(\beta\) ser constantes distintas de cero. Mostrar que la longitud\(s\) del arco de\(y=\beta\,\sin\,\frac{x}{\alpha}\) sobre el intervalo se\(\ival{0}{x_0}\) puede poner en términos de la integral elíptica\(E(k,\phi)\):

\[s ~=~ \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}\,\cdot\,E\left(\sqrt{\frac{\beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}},\; \frac{x_0}{\alpha}\right)\]

Para\(-1<k<1\) y\(-1\le x \le 1\), definir\(u(x)\) y\(K\) por

\[u(x) ~=~ \int_0^x \frac{\dt}{\sqrt{1-t^2}\;\sqrt{1-k^2\,t^2}} \quad\text{and}\quad K ~=~ u(1) ~=~ \int_0^1 \frac{\dt}{\sqrt{1-t^2}\;\sqrt{1-k^2\,t^2}}\]para que todas las raíces cuadradas sean definidas y positivas.

1. Mostrar que\(u\) es una función creciente de\(x\) y por lo tanto tiene una función inversa,\(x = \sn\,u\) llámala, con dominio\(\ival{-K}{K}\) y rango\(\ival{-1}{1}\).
2. Definir\(\;\cn\,u = \sqrt{1 - \sn^2 u}\;\) y\(\;\dn\,u = \sqrt{1 - k^2 \sn^2 u}\). Demostrar que:

   \[\ddu\,(\sn\,u) ~=~ \cn\,u\;\dn\,u \quad,\quad \ddu\,(\cn\,u) ~=~ -\sn\,u\;\dn\,u \quad\text{, and}\quad \ddu\,(\dn\,u) ~=~ -k^2\,\sn\,u\;\cn\,u\]Las funciones\(\sn\,u\),\(\cn\,u\), y\(\dn\,u\) se llaman las funciones elípticas jacobianas.

3. Supongamos que\(\sin\,\phi = \sn\,u\). Demostrar eso\(E(k,\phi) = \displaystyle\int_0^u \dn^2 v~\dv\).

Los extremos de una catenaria de 50 pies de largo están sujetos a una distancia de 40 pies. Use un método numérico para encontrar cuánto se sumerge el ápice por debajo de los extremos. (Pista: Resolver para\(a\) en el ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): arclengthcatenary

Agrega texto aquí.

Solución

, luego usa simetría.)