9.3: Serie alterna

En la última sección la serie armónica

\[\sum_{n=1}^{\infty} \,\frac{1}{n} ~=~ 1 \;+\; \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{3} \;+\; \frac{1}{4} \;+\; \frac{1}{5} \;+\; \cdots\]se demostró que divergía. Si tuviera que alternar los signos de términos sucesivos, como en

\[\label{eqn:altharmonic} \sum_{n=1}^{\infty} \,\frac{(-1)^{n-1}}{n} ~=~ 1 \;-\; \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{3} \;-\; \frac{1}{4} \;+\; \frac{1}{5} \;-\; \cdots\]

entonces resulta que esta nueva serie —llamada serie alterna — converge, debido a la siguiente prueba:

La condición para la prueba significa que\(\abs{a_{n+1}} \le \abs{a_n}\) para todos\(n\) y\(\abs{a_n} \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\). Para ver por qué funciona la prueba, considere las series alternas dadas anteriormente por la fórmula ([eqn:altharmonic]), con\(a_n=\frac{-1^{n-1}}{n}\). Las sumas parciales impares\(s_1\),\(s_3\),\(s_5\),\(\ldots\), pueden escribirse como

\[s_1 ~=~ 1 \quad,\quad s_3 ~=~ 1 \;-\; \underbrace{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)}_{~>~ 0} \quad,\quad s_5 ~=~ 1 \;-\; \underbrace{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)}_{~>~ 0} \;-\; \underbrace{\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)}_{~>~ 0} \quad,\quad\ldots\]mientras que las sumas parciales pares\(s_2\),\(s_4\),\(s_6\),\(\ldots\), pueden escribirse como

\[s_2 ~=~ 1 \;-\; \frac{1}{2} \quad,\quad s_4 ~=~ 1 \;-\; \frac{1}{2} \;+\; \underbrace{\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)}_{~>~ 0} \quad,\quad s_6 ~=~ 1 \;-\; \frac{1}{2} \;+\; \underbrace{\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)}_{~>~ 0} \;+\; \underbrace{\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right)}_{~>~ 0} \quad,\quad\ldots\]Así, las sumas parciales impares\(\seq{s_{2n-1}}\) están disminuyendo desde\(s_1=1\), y las pares\(\seq{s_{2n}}\) van aumentando desde\(s_2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\), con\(\frac{1}{2} < s_n < 1\) para todos, es decir\(n\), las sumas parciales están acotadas. Entonces, por la Prueba Limitada Monótona, ambas secuencias\(\seq{s_{2n-1}}\) y\(\seq{s_{2n}}\) deben converger. Ya que\(s_{2n} - s_{2n-1} = a_{2n} = \frac{-1}{2n}\) para todos\(n \ge 1\), entonces

\[\lim_{n \to \infty} \,(s_{2n} - s_{2n-1}) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\frac{-1}{2n} ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad \lim_{n \to \infty} \;s_{2n} ~=~ \lim_{n \to \infty} \;s_{2n+1}\]Así, las sumas parciales\(s_n\) tienen un límite común, por lo que la serie converge. Observe que la clave de la convergencia fue tener los términos decrecientes en valor absoluto a cero.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Determinar si\(~\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \,\dfrac{(-1)^{n}}{\ln \,n}~\) es convergente.

Solución

Para el término general\(a_n = \frac{(-1)^{n}}{\ln \,n}\), ya que\(\ln\,(n+1) > \ln\,n\) para\(n\ge 2\) y\(\ln\,n \rightarrow \infty\) como\(n \rightarrow \infty\), luego\(\abs{a_n}\) disminuye a 0 as\(n \rightarrow \infty\). Así, mediante la Prueba de Serie Alternante la serie converge.

La serie\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\) converge por la Prueba de Serie Alternante, aunque la serie\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) diverge. Esto hace\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\) un ejemplo de una serie condicionalmente convergente:

Por ejemplo, no\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\) es absolutamente convergente, ya que\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) diverge.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Es\(~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}~\) condicionalmente convergente o absolutamente convergente?

Solución

Dado que\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) converge (por la prueba de la serie p) entonces\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\) es absolutamente convergente.

Resulta que la convergencia absoluta implica convergencia ordinaria:

La prueba es obvia si los términos\(a_n\) son todos positivos, así que supongamos que la serie tiene tanto términos positivos (denotados por la secuencia\(\seq{a_{\text{pos}}}\)) como términos negativos (denotados por\(\seq{a_{\text{neg}}}\)). Entonces la serie se puede descomponer en la diferencia de dos series:

\[\sum a_n ~=~ \sum a_{\text{pos}} ~-~ \sum \;\abs{a_{\text{neg}}}\]Dado que cada una de las sumas del lado derecho de la ecuación es parte de la serie convergente\(\sum \,\abs{a_n}\), entonces cada suma misma converge (siendo parte de una suma finita). Así su diferencia, es decir\(\sum a_n\), es finita, es decir,\(\sum a_n\) converge.

La prueba se puede afirmar de la siguiente manera lógicamente equivalente:

Una característica inusual de una serie condicionalmente convergente es que sus términos se pueden reorganizar para converger a cualquier número, un resultado conocido como Teorema de Reordenamiento de Riemann. Por ejemplo, la serie armónica alterna

\[1 \;-\; \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{3} \;-\; \frac{1}{4} \;+\; \frac{1}{5} \;-\; \cdots\]consiste en una serie divergente de términos positivos restados de otra serie de términos positivos, a saber:

\[1 \;-\; \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{3} \;-\; \frac{1}{4} \;+\; \frac{1}{5} \;-\; \cdots ~=~ \left(1 \;+\; \frac{1}{3} \;+\; \frac{1}{5} \;+\; \frac{1}{7} \;+\; \cdots\right) ~-~ \left(\frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{4} \;+\; \frac{1}{6} \;+\; \cdots\right)\]La idea es que dado que la primera serie de la derecha diverge entonces esa serie tiene alguna suma parcial que podría hacerse apenas mayor que cualquier número positivo\(A\). De igual manera, dado que la segunda serie de la derecha que se está restando también diverge, tiene alguna suma parcial que al restarse de la primera suma parcial da como resultado un número apenas menor que\(A\). Continúa así indefinidamente, primero sumando una suma parcial para obtener un número apenas mayor que\(A\) luego restando otra suma parcial para obtener apenas menos de\(A\). Dado que los términos de cada serie se acercan a cero, ¡se puede hacer que la serie general converja\(A\)! También resulta que una serie absolutamente convergente no tiene esta característica; cualquier reordenamiento de términos da como resultado la misma suma. ⁷

[sec9dot3]

Para los Ejercicios 1-5 determinar si la serie alternante dada es convergente. Si es convergente, entonces determina si es condicionalmente convergente o absolutamente convergente.

5

\(\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{(-1)^{n - 1}}{\sqrt{n}}\)

\(\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{(-1)^{n - 1}\;n\,!}{2^n}\)

\(\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{(-1)^{n - 1}}{2n-1}\)

\(\bigsum{n = 2}{\infty}~ \dfrac{(-1)^{n}}{n\;\ln\,n}\)

\(\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{(-1)^{n-1}}{n\,!}\)

Los reordenamientos de una serie alternante divergente pueden hacer que parezca converger a diferentes números. Por ejemplo, encontrar diferentes reordenamientos de los términos en la serie divergente

\[\sum_{n=0}^{\infty} \;(-1)^n ~=~ 1 \;-\; 1 \;+\; 1 \;-\; 1 \;+\; \cdots\]de manera que la serie parece converger a 0, 1, -1 y 2.

Un huésped llega al Hotel Aleph Null, ⁸ el cual tiene un número infinito de habitaciones, numeradas Habitación 0, Habitación 1, Habitación 2, y así sucesivamente. El gerente del hotel dice que todas las habitaciones están tomadas, pero aún así puede darle al huésped su propia habitación. ¿Cómo es eso posible? ¿Seguiría siendo posible si aparecieran un número infinito de invitados, cada uno con ganas de su propia habitación? Explica tus respuestas.