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1.1: Introducción

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En el cálculo de una sola variable, las funciones que uno encuentra son funciones de una variable (usualmente\(x\) o\(t\)) que varía sobre algún subconjunto de la línea numérica real (que denotamos por\(\mathbb{R}\)). Para tal función, digamos,\(y = f(x)\), el\(\textbf{graph}\) de la función\(f\) consiste en los puntos\((x, y) = (x, f(x))\). Estos puntos se encuentran en el\(\textbf{Euclidean plane}\), que, en el sistema de\(\textbf{rectangular}\) coordenadas\(\textbf{Cartesian}\) o, consiste en todos los pares ordenados de números reales\((a, b)\). Usamos la palabra ``Euclidean” para denotar un sistema en el que se mantienen todas las reglas habituales de la geometría euclidiana. Denotamos el plano euclidiano por\(\mathbb{R}^{2}\); el “2" representa el número\(\textit{dimensions}\) del plano. El plano euclidiano tiene dos perpendiculares\(\textbf{coordinate axes}\): el\(x\) eje -eje y el\(y\) -eje.

    En el cálculo vectorial (o multivariable), trataremos funciones de dos o tres variables (generalmente\(x, y\) o\(x, y, z\), respectivamente). El gráfico de una función de dos variables, digamos,\(z = f(x,y)\), se encuentra en el espacio euclidiano, que en el sistema de coordenadas cartesianas consiste en todas las triples ordenadas de números reales\((a, b, c)\). Dado que el espacio euclidiano es tridimensional, lo denotamos por\(\mathbb{R}^{3}\). La gráfica de\(f\) consta de los puntos\((x, y, z) = (x, y, f(x, y))\). El sistema de coordenadas tridimensionales del espacio euclidiano se puede representar sobre una superficie plana, como esta página o una pizarra, solo dando la ilusión de tres dimensiones, de la manera que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). El espacio euclidiano tiene tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares (\(x, y\)y\(z\)), y tres planos de coordenadas mutuamente perpendiculares\ index {plano! coordenada}: el\(xy\) -plano,\(yz\) -plano y\(xz\) -plano (Figura\(\PageIndex{2}\)).

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    Figura\(\PageIndex{1}\) Figura\(\PageIndex{2}\)

    El sistema de coordenadas mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\) se conoce como a\(\textbf{right-handed coordinate system}\), porque es posible, utilizando la mano derecha, apuntar el dedo índice en la dirección positiva del\(x\) eje -eje, el dedo medio en la dirección positiva del\(y\) eje -y el pulgar en la dirección positiva de el\(z\) eje -como en la Figura\(\PageIndex{3}\)

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    Fig\(\PageIndex{3}\): Sistema de coordenadas diestro.

    Una forma equivalente de definir un sistema diestro es si puedes apuntar el pulgar hacia arriba en la dirección del\(z\) eje positivo mientras usas los cuatro dedos restantes para girar el\(x\) eje -hacia el\(y\) eje -eje. Hacer lo mismo con la mano izquierda es lo que define a un\(\textbf{left-handed coordinate system}\). Observe que cambiar los\(y\) ejes\(x\) - y -en un sistema diestro da como resultado un sistema zurdo, y que girar cualquiera de los dos tipos de sistema no cambia su ``mano”. A lo largo del libro utilizaremos un sistema diestro.

    Para funciones de tres variables, las gráficas existen en el espacio 4-dimensional (i.e.\(\mathbb{R}^{4}\)), que no podemos ver en nuestro espacio tridimensional, y mucho menos simular en el espacio bidimensional. Entonces solo podemos pensar en el espacio 4-dimensional de manera abstracta. Para una entretenida discusión sobre este tema, ver el libro de ABBOT.

    Hasta el momento, hemos discutido el\(\textit{position}\) de un objeto en el espacio bidimensional o tridimensional. Pero, ¿qué pasa con algo como la velocidad del objeto, o su aceleración? ¿O la fuerza gravitacional que actúa sobre el objeto? Todos estos fenómenos parecen implicar movimiento y\(\textit{direction}\) de alguna manera. Aquí es donde\(\textit{vector}\) entra en juego la idea de un.

    Ya se ha ocupado de la velocidad y la aceleración en el cálculo de una sola variable. Por ejemplo, para el movimiento a lo largo de una línea recta, si\(y = f(t)\) da el desplazamiento de un objeto después del tiempo\(t\), entonces\(dy/dt = f\,'(t)\) es la velocidad del objeto a la vez\(t\). La derivada\(f\,'(t)\) es solo un número, que es positivo si el objeto se mueve en una dirección “positiva” acordada, y negativa si se mueve en la dirección opuesta a esa dirección. Entonces se puede pensar en ese número, que se llamó la velocidad del objeto, como que tiene dos componentes: a\(\textit{magnitude}\), indicado por un número no negativo, precedido por una dirección, indicado por un símbolo más o menos (que representa el movimiento en la dirección positiva o la dirección negativa, respectivamente), es decir,\(f\,'(t) = \pm a\) para algún número\(a \ge 0\). Entonces\(a\) es la magnitud de la velocidad (normalmente llamada la\(\textit{speed}\) del objeto), y la\(\pm\) representa la dirección de la velocidad (aunque generalmente\(+\) se omite para la dirección positiva).

    Para el movimiento a lo largo de una línea recta, es decir, en un espacio unidimensional, las velocidades también están contenidas en ese espacio unidimensional, ya que son solo números. Sin embargo, para el movimiento general a lo largo de una curva en el espacio bidimensional o tridimensional, la velocidad deberá ser representada por un objeto multidimensional que debe tener tanto una magnitud como una dirección. Un objeto geométrico que tiene esas características es una flecha, que en geometría elemental se denomina ``segmento de línea dirigida”. Esta es la motivación de cómo vamos a definir un vector.

    Definición\(\PageIndex{1}\)

    A (distinto de cero)\(\textbf{vector}\) es un segmento de línea dirigido dibujado desde un punto\(P\) (llamado su\(\textbf{initial point}\)) a un punto\(Q\) (llamado su\(\textbf{terminal point}\)), con\(P\) y\(Q\) siendo puntos distintos. El vector se denota por\(\overrightarrow{PQ}\). \(\textbf{magnitude}\)Es la longitud del segmento de línea, denotada por\(\norm{\overrightarrow{PQ}}\), y su\(\textbf{direction}\) es la misma que la del segmento de línea dirigido. El\(\textbf{zero vector}\) es sólo un punto, y se denota por\(\textbf{0}\).

    Para indicar la dirección de un vector, dibujamos una flecha desde su punto inicial hasta su punto terminal. A menudo denotaremos un vector con una sola letra en negrilla (por ejemplo\(\textbf{v}\)) y usaremos los términos ``magnitud"y ``longitud” indistintamente. Nótese que nuestra definición podría aplicarse a sistemas con cualquier número de dimensiones (Figura 1.1.4 (a) - (c)).

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    Figura\(\PageIndex{4}\) Vectores en diferentes dimensiones

    Hay que señalar algunas cosas sobre el vector cero. Nuestra motivación para lo que es un vector incluye las nociones de magnitud y dirección. ¿Cuál es la magnitud del vector cero? Lo definimos como cero, es decir\(\norm{\textbf{0}} = 0\). Esto concuerda con la definición del vector cero como solo un punto, que tiene longitud cero. ¿Qué pasa con la dirección del vector cero? Un solo punto realmente no tiene una dirección bien definida. Observe que tuvimos cuidado de definir solo la dirección de un\(\textit{nonzero}\) vector, que está bien definido ya que los puntos inicial y terminal son distintos. No todos están de acuerdo en la dirección del vector cero. Algunos sostienen que el vector cero tiene\(\textit{arbitrary}\) dirección (es decir, puede tomar cualquier dirección), algunos dicen que tiene\(\textit{indeterminate}\) dirección (es decir, no se puede determinar la dirección), mientras que otros dicen que tiene\(\textit{no}\) dirección. Nuestra definición del vector cero, sin embargo, no requiere que tenga una dirección, y lo dejaremos así.

    Ahora que sabemos lo que es un vector, necesitamos una forma de determinar cuándo dos vectores son iguales. Esto nos lleva a la siguiente definición.

    Definición\(\PageIndex{2}\)

    Dos vectores distintos de cero son\(\textbf{equal}\) si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Cualquier vector con magnitud cero es igual al vector cero.

    Por esta definición, los vectores con la misma magnitud y dirección pero con diferentes puntos iniciales serían iguales. Por ejemplo, en la Figura 1.1.5 los vectores\(\textbf{u}\),\(\textbf{v}\) y\(\textbf{w}\) todos tienen la misma magnitud\(\sqrt{5}\) (según el Teorema de Pitágoras). Y eso lo vemos\(\textbf{u}\) y\(\textbf{w}\) son paralelos, ya que se encuentran sobre líneas que tienen la misma pendiente\(\frac{1}{2}\), y apuntan en la misma dirección. Entonces\(\textbf{u} = \textbf{w}\), a pesar de que tienen diferentes puntos iniciales. También vemos que\(\textbf{v}\) es paralelo\(\textbf{u}\) pero apunta en sentido contrario. Entonces\(\textbf{u} \ne \textbf{v}\).

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Entonces podemos ver que hay un número infinito de vectores para una magnitud y dirección dadas, siendo todos esos vectores iguales y difiriendo sólo por sus puntos inicial y terminal. ¿Hay un solo vector que podamos elegir para representar todos esos vectores iguales? La respuesta es sí, y es sugerida por el vector\(\textbf{w}\) en la Figura\(\PageIndex{5}\).

    A menos que se indique lo contrario, al hablar de “el vector” con una magnitud y dirección dadas, nos referiremos a aquel cuyo punto inicial esté en el origen del sistema de coordenadas.

    Pensar en los vectores como partir del origen proporciona una manera de tratar los vectores de manera estándar, ya que cada sistema de coordenadas tiene un origen. Pero habrá momentos en los que sea conveniente considerar un punto inicial diferente para un vector (por ejemplo, al agregar vectores, lo que haremos en la siguiente sección). Otra ventaja de utilizar el origen como punto inicial es que proporciona una fácil correspondencia entre un vector y su punto terminal.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(\textbf{v}\) ser el vector en\(\mathbb{R}^{3}\) cuyo punto inicial está en el origen y cuyo punto terminal está\((3,4,5)\). Aunque el\(\textit{point}\)\((3,4,5)\) y el vector\(\textbf{v}\) son objetos diferentes, es conveniente escribir\(\textbf{v} = (3,4,5)\). Al hacer esto, se entiende que el punto inicial de\(\textbf{v}\) está en el origen\((0,0,0)\) y el punto terminal está\((3,4,5)\).

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    Figura\(\PageIndex{6}\) Correspondencia entre puntos y vectores

    A menos que se indique lo contrario, cuando nos referimos a vectores como\(\textbf{v} = (a,b)\) en\(\mathbb{R}^{2}\) o\(\textbf{v} = (a,b,c)\) en\(\mathbb{R}^{3}\), nos referimos a vectores en coordenadas cartesianas que comienzan en el origen. Además, escribiremos el vector cero\(\textbf{0}\) en\(\mathbb{R}^{2}\) y\(\mathbb{R}^{3}\) as\((0,0)\) y\((0,0,0)\), respectivamente.

    La correspondencia punto-vector proporciona una manera fácil de verificar si dos vectores son iguales, sin tener que determinar su magnitud y dirección. Similar a ver si dos puntos son iguales, ahora estás viendo si los puntos terminales de los vectores que comienzan en el origen son los mismos. Para cada vector, encuentra el (¡único!) vector es igual a cuyo punto inicial es el origen. Después compara las coordenadas de los puntos terminales de estos vectores ``nuevos”: si esas coordenadas son iguales, entonces los vectores originales son iguales. Para obtener los vectores ``new” comenzando en el origen,\(\textit{translate}\) cada vector para comenzar en el origen restando las coordenadas del punto inicial original del punto terminal original. El punto resultante será el punto terminal del vector ``new” cuyo punto inicial es el origen. Haga esto para cada vector original luego compare.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Considera los vectores\(\overrightarrow{PQ}\) y\(\overrightarrow{RS}\) en\(\mathbb{R}^{3}\), dónde\(P = (2,1,5), Q = (3,5,7), R = (1,-3,-2)\) y\(S = (2,1,0)\). ¿Lo hace\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}\)?

    El vector\(\overrightarrow{PQ}\) es igual al vector\(\textbf{v}\) con punto inicial\((0,0,0)\) y punto terminal\(Q - P = (3,5,7) - (2,1,5) = (3 - 2,5 - 1,7 - 5) = (1,4,2)\).
    Del mismo modo,\(\overrightarrow{RS}\) es igual al vector\(\textbf{w}\) con punto inicial\((0,0,0)\) y punto terminal\(S - R = (2,1,0) - (1,-3,-2) = (2 - 1, 1 - (-3),0 - (-2)) = (1,4,2)\).
    Entonces\(\overrightarrow{PQ} = \textbf{v} = (1,4,2)\) y\(\overrightarrow{RS} = \textbf{w} = (1,4,2)\).
    \(\therefore \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}\)

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    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Recuérdese la fórmula de distancia para puntos en el plano euclidiano:

    Para los puntos\(P = (x_{1}, y_{1})\),\(Q = (x_{2}, y_{2})\) en\(\mathbb{R}^{2}\), la distancia\(d\) entre\(P\) y\(Q\) es:

    \[d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}\]

    Por esta fórmula, tenemos el siguiente resultado:

    Nota

    Para un vector\(\overrightarrow{PQ}\) en\(\mathbb{R}^{2}\) con punto inicial\(P = (x_{1}, y_{1})\) y punto terminal\(Q = (x_{2}, y_{2})\), la magnitud de\(\overrightarrow{PQ}\) es:

    \[\norm{\overrightarrow{PQ}} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}\]

    Encontrar la magnitud de un vector\(\textbf{v} = (a,b)\) en\(\mathbb{R}^{2}\) es un caso especial de la fórmula anterior con\(P = (0,0)\) y\(Q = (a,b)\):

    Para un vector\(\textbf{v} = (a,b)\) en\(\mathbb{R}^{2}\), la magnitud de\(\textbf{v}\) es:

    \[\norm{\textbf{v}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\]

    Para calcular la magnitud de los vectores en\(\mathbb{R}^{3}\), necesitamos una fórmula de distancia para los puntos en el espacio euclidiano (pospondremos la prueba hasta la siguiente sección):

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    La distancia\(d\) entre puntos\(P = (x_{1}, y_{1}, z_{1})\) e\(Q = (x_{2}, y_{2}, z_{2})\) in\(\mathbb{R}^{3}\) es:

    \[d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}\]

    El comprobante utilizará el siguiente resultado:

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Para un vector\(\textbf{v} = (a,b,c)\) en\(\mathbb{R}^{3}\), la magnitud de\(\textbf{v}\) es:

    \[\norm{\textbf{v}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\]

    Prueba: Hay cuatro casos a considerar:
    \(\textit{Case 1:}\)\(a = b = c = 0\). Entonces\(\textbf{v} = \textbf{0}\), entonces\(\norm{\textbf{v}} = 0 = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 0^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\).

    \(\textit{Case 2:}\)\(\textit{exactly two of }\)\(a, b, c\)son\(0\). Sin pérdida de generalidad, asumimos que\(a = b = 0\) y\(c \ne 0\) (las otras dos posibilidades se manejan de manera similar). Entonces\(\textbf{v} = (0,0,c)\), que es un vector de longitud\(|c|\) a lo largo del\(z\) eje -eje. Entonces\(\norm{\textbf{v}} = | c | = \sqrt{c^{2}} = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\).

    \(\textit{Case 3:}\)\(\textit{exactly one of }\)\(a, b, c\)es\(0\). Sin pérdida de generalidad, suponemos que\(a = 0\),\(b \ne 0\) y\(c \ne 0\) (las otras dos posibilidades se manejan de manera similar). Entonces\(\textbf{v} = (0,b,c)\), que es un vector en el\(yz\) -plano, así que por el Teorema de Pitágoras tenemos\(\norm{\textbf{v}} = \sqrt{b^{2} + c^{2}} = \sqrt{0^{2} + b^{2} + c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\).

    Picture1.png

    Figura\(\PageIndex{8}\)

    \(\textit{Case 4:}\)\(\textit{none of }\)\(a, b, c\)son\(0\). Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que todas\(a, b, c\) son positivas (las otras siete posibilidades se manejan de manera similar). Considerar los puntos\(P = (0,0,0)\),\(Q = (a,b,c)\),\(R =(a,b,0),\) y\(S = (a,0,0)\), como se muestra en la Figura 1.1.8. Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo\(\triangle PSR\) da\(\left\vert PR \right\vert^{2} = a^{2} + b^{2}\). Una segunda aplicación del Teorema de Pitágoras, esta vez al triángulo rectángulo\(\triangle PQR\), da\(\norm{\textbf{v}} = \left\lvert PQ \right\rvert = \sqrt{\left\vert PR \right\vert^{2} + \left\vert QR \right\vert^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\). Esto prueba el teorema.

    \(\tag{\(\textbf{QED}\)}\)

    Ejemplo 1.3

    Calcula lo siguiente:

    1. La magnitud del vector\(\overrightarrow{PQ}\) en\(\mathbb{R}^{2}\) con\(P = (-1,2)\) y\(Q = (5,5)\).
      \( \textit{Solution:}\)Por fórmula (1.2),\(\norm{\overrightarrow{PQ}} = \sqrt{(5 - (-1))^{2} + (5 - 2)^{2}} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}\).
    2. La magnitud del vector\(\textbf{v} = (8,3)\) en\(\mathbb{R}^{2}\).
      \(\textit{Solution:}\)Por fórmula (1.3),\(\norm{\textbf{v}} = \sqrt{8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{73}\).
    3. La distancia entre los puntos\(P = (2, -1, 4)\) y\(Q = (4, 2, -3)\) en\(\mathbb{R}^{2}\).
      \(\textit{Solution:}\)Por fórmula (1.4), la distancia\(d = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (2 - (-1))^{2} + (-3 - 4)^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 49} = \sqrt{62}\).
    4. La magnitud del vector\(\textbf{v} = (5,8,-2)\) en\(\mathbb{R}^{3}\).
      \(\textit{Solution:}\)Por fórmula (1.5),\(\norm{\textbf{v}} = \sqrt{5^{2} + 8^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{25 + 64 + 4} = \sqrt{93}\).

    Colaboradores y Atribuciones


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