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Ahora que tenemos una idea de qué son las funciones de varias variables, y qué límite de tal función es, podemos comenzar a desarrollar una idea de una derivada de una función de dos o más variables. Comenzaremos con la noción de una derivada parcial.

Definición 2.3

Dejar$$f (x, y)$$ ser una función de valor real con dominio$$D$$ en$$\mathbb{R}^2$$, y dejar$$(a,b)$$ ser un punto en$$D$$. Entonces la derivada parcial de$$\textbf{f}$$ at$$(a,b)$$ con respecto a$$x$$, denotada por$$\dfrac{∂f}{∂x}(a,b)$$, se define como

$\dfrac{∂f}{∂x}(a,b)=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} \label{Eq2.2}$

y la derivada parcial de$$f$$ at$$(a,b)$$ con respecto a$$y$$, denotada por$$\dfrac{∂f}{∂y}(a,b)$$, se define como

$\dfrac{∂f}{∂x}(a,b) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}\label{Eq2.3}$

Nota: El símbolo$$∂$$ se pronuncia “del”.

Recordemos que la derivada de una función$$f (x)$$ puede interpretarse como la tasa de cambio de esa función en la$$x$$ dirección (positiva). De las definiciones anteriores, podemos ver que la derivada parcial de una función$$f (x, y)$$ con respecto a$$x$$ o$$y$$ es la tasa de cambio de$$f (x, y)$$ en la (positiva)$$x$$ o$$y$$ dirección, respectivamente. Lo que esto significa es que la derivada parcial de una función$$f (x, y)$$ con respecto a se$$x$$ puede calcular tratando la$$y$$ variable como una constante, y luego simplemente diferenciando$$f (x, y)$$ como si fuera una función de$$x$$ sola, utilizando la habitual reglas del cálculo de una sola variable. Así mismo, la derivada parcial de$$f (x, y)$$ con respecto a$$y$$ se obtiene tratando la$$x$$ variable como una constante y luego diferenciando$$f (x, y)$$ como si fuera una función de$$y$$ sola.

Ejemplo 2.10

Encuentra$$\dfrac{∂f}{∂x} (x, y)$$ y$$\dfrac{∂f}{∂y} (x, y)$$ para la función$$f (x, y) = x^2y+ y^3$$.

Solución

Tratar$$y$$ como una constante y diferenciadora$$f (x, y)$$ con respecto a$$x$$ da

$\nonumber \dfrac{∂f}{∂x}(x,y)=2xy$

y tratar$$x$$ como una constante y diferenciadora$$f (x, y)$$ con respecto a$$y$$ da

$\nonumber \dfrac{∂f}{∂y}(x,y)=x^2+3y^2$

A menudo simplemente escribiremos$$\dfrac{∂f}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂f}{∂y}$$ en vez de$$\dfrac{∂f}{∂x} (x, y)$$ y$$\dfrac{∂f}{∂y} (x, y)$$.

Ejemplo 2.11

Encuentra$$\dfrac{∂f}{∂x}$$ y$$\dfrac{∂f}{∂y}$$ para la función$$f (x, y) = \dfrac{\sin{(xy^2)}}{ x^2 +1}$$.

Solución

Tratar$$y$$ como una constante y diferenciadora$$f (x, y)$$ con respecto a$$x$$ da

$\nonumber \dfrac{∂f}{∂x}=\dfrac{(x^2+1)(y^2\cos{(xy^2)})-(2x)\sin{(xy^2)}}{(x^2+1)^2}$

y tratar$$x$$ como una constante y diferenciadora$$f (x, y)$$ con respecto a$$y$$ da

$\nonumber \dfrac{∂f}{∂y}=\dfrac{2xy\cos{(xy^2)}}{x^2+1}$

Ya que ambos$$\dfrac{∂f}{∂x}$$ y ellos mismos$$\dfrac{∂f}{∂y}$$ son funciones de$$x$$ y$$y$$, podemos tomar sus derivadas parciales con respecto a$$x$$ y$$y$$. Esto produce las derivadas parciales de orden superior:

$\nonumber \dfrac{∂^2f}{∂x^2}=\dfrac{∂}{∂x}\left ( \dfrac{∂f}{∂x}\right) \quad \dfrac{∂^2f}{∂y^2}=\dfrac{∂}{∂y}\left ( \dfrac{∂f}{∂y}\right )$

$\nonumber \dfrac{∂^2f}{∂y∂x}=\dfrac{∂}{∂y}\left ( \dfrac{∂f}{∂x}\right) \quad \dfrac{∂^2f}{∂x∂y}=\dfrac{∂}{∂x}\left ( \dfrac{∂f}{∂y}\right )$

$\nonumber \dfrac{∂^3f}{∂x^3}=\dfrac{∂}{∂x}\left ( \dfrac{∂^2f}{∂x^2}\right) \quad \dfrac{∂^3f}{∂y^3}=\dfrac{∂}{∂y}\left ( \dfrac{∂^2f}{∂y^2}\right )$

$\nonumber \dfrac{∂^3f}{∂y∂x^2}=\dfrac{∂}{∂y}\left ( \dfrac{∂^2f}{∂x^2}\right) \quad \dfrac{∂^3f}{∂x∂y^2}=\dfrac{∂}{∂x}\left ( \dfrac{∂^2f}{∂y^2}\right )$

$\nonumber \dfrac{∂^3f}{∂y^2∂x}=\dfrac{∂}{∂y}\left ( \dfrac{∂^2f}{∂y∂x}\right) \quad \dfrac{∂^3f}{∂x^2∂y}=\dfrac{∂}{∂x}\left ( \dfrac{∂^2f}{∂x∂y}\right )$

$\nonumber \dfrac{∂^3f}{∂x∂y∂x}=\dfrac{∂}{∂x}\left ( \dfrac{∂^2f}{∂y∂x}\right) \quad \dfrac{∂^3f}{∂y∂x∂y}=\dfrac{∂}{∂y}\left ( \dfrac{∂^2f}{∂x∂y}\right )$

$\nonumber \vdots$

Ejemplo 2.12

Encuentra las derivadas parciales$$\dfrac{∂f}{∂x}$$,$$\dfrac{∂f}{∂y}$$,$$\dfrac{∂^2f}{∂x^2}$$,$$\dfrac{∂^2f}{∂y^2}$$,$$\dfrac{∂^2f}{∂y∂x}$$ y$$\dfrac{∂^2f}{∂x∂y}$$ para la función$$f (x, y) = e^{x^2y} + xy^3$$.

Solución

Procediendo como antes, tenemos

$\nonumber \begin{split}\dfrac{∂f}{∂x}&=2xye^{x^2y}+y^3 \\ \nonumber \dfrac{∂^2f}{∂x^2}&=\dfrac{∂}{∂x}(2xye^{x^2y}+y^3) \\ \nonumber &=2ye^{x^2y}+4x^2y^2e^{x^2y}\\ \nonumber \dfrac{∂^2f}{∂y∂x}&=\dfrac{∂}{∂y}(2xye^{x^2y}+y^3) \\ \nonumber &=2xe^{x^2y}+2x^3ye^{x^2y}+3y^2 \\ \nonumber \end{split} \qquad \begin{split}\dfrac{∂f}{∂y}&=x^2e^{x^2y}+3xy^2 \\ \nonumber \dfrac{∂^2f}{ ∂y^2}&=\dfrac{∂}{∂y}(x^2e^{x^2y}+3xy^2) \\ \nonumber &=x^4e^{x^2y}+6xy \\ \nonumber \dfrac{∂^2f}{∂x∂y}&=\dfrac{∂}{∂x}(x^2e^{x^2y}+3xy^2) \\ \nonumber &= 2xe^{x^2y}+2x^3ye^{x^2y}+3y^2 \\ \end{split}$

Las derivadas parciales de orden superior que se toman con respecto a diferentes variables, tales como$$\dfrac{∂^2f}{∂y∂x}$$ y$$\dfrac{∂^2f}{∂x∂y}$$, se denominan derivadas parciales mixtas. Observe en el ejemplo anterior que$$\dfrac{∂^2f}{∂y∂x} = \dfrac{∂^2f}{∂x∂y}$$. Resulta que este suele ser el caso. Específicamente, siempre que ambos$$\dfrac{∂^2f}{∂y∂x}$$ y$$\dfrac{∂^2f}{∂x∂y}$$ sean continuos en un punto$$(a,b)$$, entonces son iguales en ese punto. Todas las funciones que trataremos tendrán derivadas parciales continuas de todos los órdenes, por lo que se puede asumir en el resto del texto que

$\nonumber \dfrac{∂^2f}{∂y∂x}=\dfrac{∂^2f}{∂x∂y}\text{ for all }(x,y)\text{ in the domain of }f$

En otras palabras, no importa en qué orden tomes derivados parciales. Esto aplica incluso a derivados parciales mixtos de orden 3 o superior.

La notación para las derivadas parciales varía. Todos los siguientes son equivalentes:

$\nonumber \dfrac{∂f}{∂x} : f_x(x,y),\quad f_1(x,y),\quad D_x(x,y),\quad D_1(x,y)$

$\nonumber \dfrac{∂f}{∂y} : f_y(x,y),\quad f_2(x,y),\quad D_y(x,y),\quad D_2(x,y)$

$\nonumber \dfrac{∂^2f}{∂x^2} : f_{xx}(x,y),\quad f_{11}(x,y),\quad D_{xx}(x,y),\quad D_{11}(x,y)$

$\nonumber \dfrac{∂^2f}{∂y^2} : f_{yy}(x,y),\quad f_{22}(x,y),\quad D_{yy}(x,y),\quad D_{22}(x,y)$

$\nonumber \dfrac{∂^2f}{∂y∂x} : f_{xy}(x,y),\quad f_{12}(x,y),\quad D_{xy}(x,y),\quad D_{12}(x,y)$

$\nonumber \dfrac{∂^2f}{∂x∂y} : f_{yx}(x,y),\quad f_{21}(x,y),\quad D_{yx}(x,y),\quad D_{21}(x,y)$