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# 2.E: Funciones de Varias Variables (Ejercicios)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

## 2.1: Funciones de dos o tres variables

#### A

2.1.1. $$f (x, y) = x^ 2 + y^ 2 −1$$

2.1.2. $$f (x, y) = \frac{1}{ x^ 2 + y^ 2}$$

2.1.3. $$f (x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2 −4}$$

2.1.4. $$f (x, y) = \frac{x^ 2 +1}{ y}$$

2.1.5. $$f (x, y, z) = \sin (x yz)$$

2.1.6. $$f (x, y, z) = \sqrt{ (x−1)(yz −1)}$$

Para los Ejercicios 7-18, evalúe el límite dado.

2.1.7. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \cos (x y)$$

2.1.8. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} e^{ x y}$$

2.1.9. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^ 2 − y^ 2}{ x^ 2 + y^ 2}$$

2.1.10. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \frac{x y^2}{ x^ 2 + y^ 4}$$

2.1.11. $$\lim\limits_{(x,y)→(1,−1)} \frac{x^ 2 −2x y+ y^ 2}{ x− y}$$

2.1.12. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \frac{x y^2}{ x^ 2 + y^ 2}$$

2.1.13. $$\lim\limits_{(x,y)→(1,1)} \frac{x^ 2 − y^ 2}{ x− y}$$

2.1.14. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^ 2 −2x y+ y^ 2}{ x− y}$$

2.1.15. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \frac{y^ 4 \sin (x y)}{ x^ 2 + y^ 2}$$

2.1.16. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} (x^ 2 + y^ 2 )\cos \left ( \frac{1}{ x y}\right )$$

2.1.17. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \frac{x}{ y}$$

2.1.18. $$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \cos \left ( \frac{1}{ x y}\right )$$

#### B

2.1.19. Mostrar que$$f (x, y) = \frac{1}{ 2πσ^2} e^{ −(x^ 2+y^ 2 )/2σ^ 2}$$, para$$σ > 0$$, es constante en el círculo de radio$$r > 0$$ centrado en el origen. Esta función se denomina desenfoque gaussiano, y se utiliza como filtro en el software de procesamiento de imágenes para producir un efecto “borroso”.

2.1.20. Supongamos que$$f (x, y) ≤ f (y, x) \text{ for all }(x, y)$$ en$$\mathbb{R}^ 2$$. $$f (x, y) = f (y, x) \text{ for all }(x, y)$$Demuéstralo en$$\mathbb{R}^ 2$$.

2.1.21. Usa la sustitución$$r = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}$$ para mostrar que

$\lim\limits_{(x,y)→(0,0)} \frac{\sin \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}}{ \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}} = 1 .$

(Pista: Necesitarás usar la Regla de L'Hôpital para límites de una sola variable. )

#### C

2.1.22. Demostrar Teorema 2.1 (a) en el caso de adición. (Pista: Utilice la definición 2.1.)

2.1.23. Demostrar Teorema 2.1 (b).

#### A

Para Ejercicios 1-16, encuentra$$\frac{∂f}{ ∂x} \text{ and }\frac{∂f}{ ∂y}$$.

2.2.1. $$f (x, y) = x^ 2 + y^ 2$$

2.2.2. $$f (x, y) = \cos (x+ y)$$

2.2.3. $$f (x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y+4}$$

2.2.4. $$f (x, y) = \frac{x+1}{ y+1}$$

2.2.5. $$f (x, y) = e^{ x y} + x y$$

2.2.6. $$f (x, y) = x^ 2 − y^ 2 +6x y+4x−8y+2$$

2.2.7. $$f (x, y) = x^ 4$$

2.2.8. $$f (x, y) = x+2y$$

2.2.9. $$f (x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}$$

2.2.10. $$f (x, y) = \sin (x+ y)$$

2.2.11. $$f (x, y) = \sqrt[3]{ x^ 2 + y+4}$$

2.2.12. $$f (x, y) = \frac{x y+1}{ x+ y}$$

2.2.13. $$f (x, y) = e^{ −(x^ 2+y^ 2 )}$$

2.2.14. $$f (x, y) = \ln (x y)$$

2.2.15. $$f (x, y) = \sin (x y)$$

2.2.16. $$f (x, y) = \tan (x+ y)$$

Para Ejercicios 17-26, encuentra$$\frac{∂^ 2 f}{ ∂x^ 2} ,\, \frac{∂^ 2 f}{ ∂y^ 2} \text{ and }\frac{∂^ 2 f}{ ∂y∂x}$$ (usa Ejercicios 1-8, 14, 15).

2.2.17. $$f (x, y) = x^ 2 + y^ 2$$

2.2.18. $$f (x, y) = \cos (x+ y)$$

2.2.19. $$f (x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y+4}$$

2.2.20. $$f (x, y) = \frac{x+1}{ y+1}$$

2.2.21. $$f (x, y) = e^{ x y} + x y$$

2.2.22. $$f (x, y) = x^ 2 − y^ 2 +6x y+4x−8y+2$$

2.2.23. $$f (x, y) = x^ 4$$

2.2.24. $$f (x, y) = x+2y$$

2.2.25. $$f (x, y) = \ln (x y)$$

2.2.26. $$f (x, y) = \sin (x y)$$

#### B

2.2.27. Mostrar que la función$$f (x, y) = \sin (x+ y)+\cos (x− y)$$ satisface la ecuación de onda

$\frac{∂^ 2 f}{ ∂x^ 2} − \frac{∂^ 2 f}{ ∂y^ 2} = 0 .$

La ecuación de onda es un ejemplo de una ecuación diferencial parcial.

2.2.28 Dejar$$u \text{ and }v$$ ser dos veces funciones diferenciables de una sola variable, y dejar$$c \neq 0$$ ser una constante. Demostrar que$$f (x, y) = u(x+ c y)+v(x− c y)$$ es una solución de la ecuación general de onda unidimensional

$\frac{∂^ 2 f}{ ∂x^ 2} − \frac{1}{ c^ 2} \frac{∂^ 2 f}{ ∂y^ 2} = 0$

## 2.3: Plano tangente a una superficie

#### A

Para los Ejercicios 1-6, encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie$$z = f (x, y)$$ en el punto$$P$$.

2.3.1. $$f (x, y) = x^ 2 + y^ 3 ,\, P = (1,1,2)$$

2.3.2. $$f (x, y) = x y,\, P = (1,−1,−1)$$

2.3.3. $$f (x, y) = x^ 2 y,\, P = (−1,1,1)$$

2.3.4. $$f (x, y) = xe^ y ,\, P = (1,0,1)$$

2.3.5. $$f (x, y) = x+2y,\, P = (2,1,4)$$

2.3.6. $$f (x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2},\, P = (3,4,5)$$

Para Ejercicios 7-10, encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto$$P$$.

2.3.7. $$\frac{x^ 2}{ 4} + \frac{y^ 2}{ 9} + \frac{z^ 2}{ 16} = 1,\, P = \left ( 1,2, \frac{2 \sqrt{ 11}}{ 3} \right )$$

2.3.8. $$x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 9,\, P = (0,0,3)$$

2.3.9. $$x^ 2 + y^ 2 − z^ 2 = 0,\, P = (3,4,5)$$

2.3.10. $$x^ 2 + y^ 2 = 4,\, P = ( \sqrt{ 3},1,0)$$

#### A

Para los Ejercicios 1-10, computa el gradiente$$∇f$$.

2.4.1. $$f (x, y) = x^ 2 + y^ 2 −1$$

2.4.2. $$f (x, y) = \frac{1}{ x^ 2 + y^ 2}$$

2.4.3. $$f (x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2 +4}$$

2.4.4. $$f (x, y) = x^ 2 e^ y$$

2.4.5. $$f (x, y) = \ln (x y)$$

2.4.6. $$f (x, y) = 2x+5y$$

2.4.7. $$f (x, y, z) = \sin (x yz)$$

2.4.8. $$f (x, y, z) = x^ 2 e^{ yz}$$

2.4.9. $$f (x, y, z) = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2$$

2.4.10. $$f (x, y, z) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2 + z^ 2}$$

Para los Ejercicios 11-14, encuentra la derivada direccional de$$f$$ en el punto$$P$$ en la dirección de$$v = \left ( \frac{1}{ \sqrt{ 2}} , \frac{1}{ \sqrt{ 2}} \right )$$.

2.4.11. $$f (x, y) = x^ 2 + y^ 2 −1,\, P = (1,1)$$

2.4.12. $$f (x, y) = \frac{1}{ x^ 2 + y^ 2} ,\, P = (1,1)$$

2.4.13. $$f (x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2 +4},\, P = (1,1)$$

2.4.14. $$f (x, y) = x^ 2 e^ y ,\, P = (1,1)$$

Para los Ejercicios 15-16, encuentra la derivada direccional de$$f$$ en el punto$$P$$ en la dirección de$$v = \left ( \frac{1}{ \sqrt{ 3}} , \frac{1}{ \sqrt{ 3}} , \frac{1}{ \sqrt{ 3}} \right )$$.

2.4.15. $$f (x, y, z) = \sin (x yz),\, P = (1,1,1)$$

2.4.16. $$f (x, y, z) = x^ 2 e^{ yz} ,\, P = (1,1,1)$$

2.4.17. Repita el Ejemplo 2.16 en el punto$$(2,3)$$.

2.4.18. Repita el Ejemplo 2.17 en el punto$$(3,1,2)$$.

#### B

Para los Ejercicios 19-26, dejar$$f (x, y) \text{ and }g(x, y)$$ ser funciones continuamente diferenciables de valor real, dejar$$c$$ ser una constante, y dejar$$v$$ ser un vector de unidad adentro$$\mathbb{R}^ 2$$. Demostrar que:

2.4.19. $$∇(c f ) = c∇f$$

2.4.20. $$∇(f + g) = ∇f + ∇g$$

2.4.21. $$∇(f g) = f ∇g + g∇f$$

2.4.22. $$∇(f /g) = \frac{g∇f − f ∇g}{ g^ 2}\text{ if }g(x, y) \neq 0$$

2.4.23. $$D_{−v} f = −D_v f$$

2.4.24. $$D_v(c f ) = c D_v f$$

2.4.25. $$D_v(f + g) = D_v f + D_v g$$

2.4.26. $$D_v(f g) = f D_v g + g D_v f$$

2.4.27. La función$$r(x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}$$ es la longitud del vector de posición$$\textbf{r} = x\textbf{i} + y\textbf{j}$$ para cada punto$$(x, y)$$ en$$\mathbb{R}^ 2$$. Demuestre que$$∇r = \frac{1}{ r} \textbf{r}$$ cuando$$(x, y) \neq (0,0)$$, y eso$$∇(r^ 2 ) = 2\textbf{r}$$.

## 2.5: Maxima y Minima

#### A

Para los Ejercicios 1-10, encuentra todos los máximos y mínimos locales de la función$$f (x, y)$$.

2.5.1. $$f (x, y) = x^ 3 −3x+ y^ 2$$

2.5.2. $$f (x, y) = x^ 3 −12x+ y^ 2 +8y$$

2.5.3. $$f (x, y) = x^ 3 −3x+ y^ 3 −3y$$

2.5.4. $$f (x, y) = x^ 3 +3x^ 2 + y^ 3 −3y^ 2$$

2.5.5. $$f (x, y) = 2x^ 3 +6x y+3y^ 2$$

2.5.6. $$f (x, y) = 2x^ 3 −6x y+ y^ 2$$

2.5.7. $$f (x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}$$

2.5.8. $$f (x, y) = x+2y$$

2.5.9. $$f (x, y) = 4x^ 2 −4x y+2y^ 2 +10x−6y$$

2.5.10. $$f (x, y) = −4x^ 2 +4x y−2y^ 2 +16x−12y$$

#### B

2.5.11. Para un sólido rectangular de volumen 1000 metros cúbicos, encuentre las dimensiones que minimizarán el área de superficie. (Sugerencia: Utilice la condición de volumen para escribir el área de superficie en función de solo dos variables. )

2.5.12. Demostrar que si$$(a,b)$$ es un punto máximo local o mínimo local para una función suave$$f (x, y)$$, entonces el plano tangente$$z = f (x, y)$$ a la superficie en el punto$$(a,b, f (a,b))$$ es paralelo al$$x y$$ plano. (Pista: Usar Teorema 2.5.)

#### C

2.5.13. Encuentra tres números positivos$$x, y, z$$ cuya suma sea 10 tal que$$x^ 2 y^ 2 z$$ sea un máximo.

## 2.6: Optimización sin restricciones: métodos numéricos

#### C

2.6.1. Recordemos el Ejemplo 2.21 de la sección anterior, donde mostramos que el punto$$(2,1)$$ era un mínimo global para la función$$f (x, y) = (x −2)^4 +(x −2y)^ 2$$. Observe que nuestro programa de computadora puede ser modificado con bastante facilidad para usar esta función (simplemente cambie los valores de retorno en las definiciones de función fx, fy, fxx, fyy y fxy para usar la derivada parcial apropiada). O modifica ese programa o escribe uno propio en un lenguaje de programación de tu elección para demostrar que el algoritmo de Newton lleva al punto$$(2,1)$$. Primero usa el punto inicial$$(0,3)$$, luego usa el punto$$(3,2)$$ inicial y compara los resultados. Asegúrese de que su programa intente hacer 100 iteraciones del algoritmo. ¿Pasó algo extraño cuando se ejecutó tu programa? Si es así, ¿cómo lo explicas? (Pista: Algo extraño debería suceder. )

2.6.2. Existe una versión del algoritmo de Newton para resolver un sistema de dos ecuaciones

$f_1(x, y) = 0 \quad \text{ and }\quad f_2(x, y) = 0 ,$

donde$$f_1(x, y) \text{ and }f_2(x, y)$$ están las funciones fluidas de valor real:

Escoge un punto inicial$$(x_0 , y_0)$$. Para$$n = 0,1,2,3,...,$$ definir:

$x_{n+1} = x_n - \frac{\begin{vmatrix} f_1(x_n, y_n) & f_2(x_n, y_n) \\ \frac{∂f_1}{ ∂y} (x_n, y_n) & \frac{∂f_2}{ ∂y} (x_n, y_n) \\ \end{vmatrix}}{D(x_n, y_n)},\quad y_{n+1} = y_n + \frac{\begin{vmatrix} f_1(x_n, y_n) & f_2(x_n, y_n) \\ \frac{∂f_1}{ ∂x} (x_n, y_n) & \frac{∂f_2}{ ∂x} (x_n, y_n) \\ \end{vmatrix}}{D(x_n, y_n)},\text{ where}$

$D(x_n, y_n) = \frac{∂f_1}{ ∂x} (x_n, y_n) \frac{∂f_2}{ ∂y} (x_n, y_n)− \frac{∂f_1}{ ∂y} (x_n, y_n) \frac{∂f_2}{ ∂x} (x_n, y_n) .$

Entonces la secuencia de puntos$$(x_n, y_n)_{n=1}^{\infty}$$ converge a una solución. Escribir un programa de computadora que utilice este algoritmo para encontrar soluciones aproximadas al sistema de ecuaciones

$f_1(x, y) = \sin (x y)− x− y = 0 \quad \text{ and }\quad f_2(x, y) = e^{ 2x} −2x+3y = 0 .$

Demuestre que obtiene dos soluciones diferentes al usar$$(0,0) \text{ and }(1,1)$$ para el punto inicial$$(x_0 , y_0)$$.

## 2.7: Optimización restringida: Multiplicadores de Lagrange

#### A

2.7.1. Encuentra los máximos y mínimos restringidos de$$f (x, y) = 2x+ y$$ dado eso$$x^ 2 + y^ 2 = 4$$.

2.7.2. Encuentra los máximos y mínimos restringidos de$$f (x, y) = x y$$ dado eso$$x^ 2 +3y^ 2 = 6$$.

2.7.3. Encuentra los puntos en el círculo$$x^ 2+ y^ 2 = 100$$ que están más cerca y más alejados del punto$$(2,3)$$.

#### B

2.7.4. Encuentra los máximos y mínimos restringidos de$$f (x, y, z) = x + y^ 2 +2z$$ dado eso$$4x^ 2 +9y^ 2 − 36z^ 2 = 36$$.

2.7.5. Encuentra el volumen del paralelepípedo rectangular más grande que se puede inscribir en el elipsoide

$\frac{x^ 2}{ a^ 2} + \frac{y^ 2}{ b^ 2} + \frac{z^ 2}{ c^ 2} = 1 .$