3.3: Integrales triples
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Nuestra definición de una doble integral de una función de valor real\(f (x, y)\) sobre una región\(R\) en se\(\mathbb{R}^2\) puede extender para definir una triple integral de una función de valor real\(f (x, y, z)\) sobre un sólido\(S\) en\(\mathbb{R}^ 3\). Simplemente procedemos como antes: el sólido\(S\) puede encerrarse en algún paralelepípedo rectangular, que luego se divide en subparalelepípedos. En cada subparalelepípedo en su interior\(S\), con lados de longitudes\(\Delta x, \Delta y \text{ and }\Delta z\), elija un punto\((x∗, y∗, z∗)\). Luego definir la triple integral de\(f (x, y, z)\) over\(S\), denotada por\(\iiint\limits_S f (x, y, z)dV\), por
\[\iiint\limits_S f (x, y, z)dV=\lim \sum\sum\sum f (x∗, y∗, z∗)\Delta x \Delta y \Delta z \label{Eq3.7}\]
donde el límite es sobre todas las divisiones del paralelepípedo rectangular encerrándose\(S\) en subparalelepípedos cuya diagonal más grande va a 0, y la triple suma está sobre todos los subparalelepípedos dentro\(S\). Se puede demostrar que este límite no depende de la elección del cerramiento paralelepípedo rectangular\(S\). El símbolo a menudo\(dV\) se llama el elemento de volumen.
Físicamente, ¿qué representa la triple integral? Vimos que una doble integral podría pensarse como el volumen bajo una superficie bidimensional. Resulta que la triple integral simplemente generaliza esta idea: se puede pensar que representa el hipervolumen bajo una hipersuperficie tridimensional\(w = f (x, y, z)\) cuya gráfica se encuentra en\(\mathbb{R}^ 4\). En general, la palabra “volumen” se usa a menudo como término general para significar el mismo concepto para cualquier objeto\(n\) -dimensional (por ejemplo, longitud adentro\(\mathbb{R}^1\), área adentro\(\mathbb{R}^2\)). Puede ser difícil comprender el concepto del “volumen” de un objeto de cuatro dimensiones, ¡pero al menos ahora sabemos calcular ese volumen!
En el caso donde\(S\) es un paralelepípedo rectangular\([x_1 , x_2] \times [y_1 , y_2] \times [z_1 , z_2]\), es decir\(S = {(x, y, z) : x_1 ≤ x ≤ x_2 , y_1 ≤ y ≤ y_2 , z_1 ≤ z ≤ z_2}\), la triple integral es una secuencia de tres integrales iteradas, a saber
\[\iiint\limits_S f (x, y, z)dV = \int_{z_1}^{z_2} \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} f (x, y, z)\,dx\, d y\, dz \label{Eq3.8}\]
donde el orden de integración no importa. Este es el caso más sencillo.
Un caso más complicado\(S\) es donde se encuentra un sólido que está delimitado por debajo por una superficie\(z = g_1(x, y)\), delimitado arriba por una superficie\(z = g_2(x, y)\),\(y\) está delimitado entre dos curvas\(h_1(x) \text{ and }h_2(x)\), y\(x\) varía entre\(a \text{ and }b\). Entonces
\[\iiint\limits_S f (x, y, z)dV = \int_a^b \int_{h_1(x)}^{h_2(x)} \int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f (x, y, z)\,dz\, d y\, dx \label{Eq3.9}\]
Observe en este caso que la primera integral iterada resultará en una función de\(x\) y\(y\) (ya que sus límites de integración son funciones de\(x \text{ and }y\)), lo que luego le deja con una doble integral de un tipo que aprendimos a evaluar en la Sección 3.2. Hay, por supuesto, muchas variaciones en este caso (por ejemplo, cambiar los roles de las variables\(x, y, z\)), así que como probablemente puedas decir, las triples integrales pueden ser bastante complicadas. En este punto, solo aprender a evaluar una triple integral, independientemente de lo que represente, es lo más importante. Veremos algunas otras formas en las que se utilizan las triples integrales más adelante en el texto.
Ejemplo 3.7
Evaluar\( \displaystyle \int_0^3 \int_0^2 \int_0^1 (x y+ z)\,dx\, d y\, dz\).
\[\nonumber \begin{align} \int_0^3 \int_0^2 \int_0^1 (x y+ z)\,dx\, d y\, dz &= \int_0^3 \int_0^2 \left ( \dfrac{1}{2}x^2y+xz \big |_{x=0}^{x=1} \right )\,dy\,dz \\[4pt] \nonumber &=\int_0^3 \int_0^2 \left ( \dfrac{1}{2}y+z \right )\,dy\,dz \\[4pt] \nonumber &= \int_0^3 \left ( \dfrac{1}{4}y^2+yz \big |_{y=0}^{y=2} \right )\,dz \\[4pt] \nonumber &= \int_0^3 (1+2z)\,dz \\[4pt] \nonumber &=z+z^2 \big |_0^3 = 12 \end{align} \]
Ejemplo 3.8
Evaluar\(\displaystyle \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{2-x-y} (x+ y+ z)\,dz\, d y\, dx\).
Solución
\[\nonumber \begin{align} \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{2-x-y}(x+ y+ z)\,dz\, d y\, dx &= \int_0^1 \int_0^{1-x}\left ((x+ y)z + \dfrac{1}{2}z^2 \big |_{z=0}^{z=2-x-y} \right )\,dy\,dx \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \int_0^{1-x} \left ( (x+ y)(2− x− y)+ \dfrac{1}{2} (2− x− y)^2 \right )\,dy\,dx \\[4pt] \nonumber &= \int_0^1 \int_0^{1-x}\left ( 2− \dfrac{1}{2}x^2 − x y− \dfrac{1}{2}y^2 \right ) \, dy\,dx \\[4pt] \nonumber &= \int_0^1 \left ( 2y− \dfrac{1}{2} x^2 y− x y− \dfrac{1}{2} x y^2 − \dfrac{1}{6}y^3 \big |_{y=0}^{y=1-x} \right )\,dx \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \left ( \dfrac{11}{6}-2x+\dfrac{1}{6}x^3 \right )\,dx \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{11}{6}x-x^2+\dfrac{1}{24}x^4 \big |_0^1 = \dfrac{7}{8} \end{align}\]
Tenga en cuenta que el volumen\(V\) de un sólido en\(\mathbb{R}^ 3\) viene dado por
\[V= \iiint\limits_S 1dV \label{Eq3.10}\]
Dado que la función que se está integrando es la constante 1, entonces la triple integral anterior se reduce a una doble integral de los tipos que consideramos en la sección anterior si el sólido está delimitado arriba por alguna superficie\(z = f (x, y)\) y delimitado por debajo por el\(x y\) plano\(z = 0\). Hay muchas otras posibilidades. Por ejemplo, el sólido podría estar delimitado por debajo y por encima por superficies\(z = g_1(x, y)\text{ and }z = g_2(x, y)\), respectivamente, con\(y\) delimitado entre dos curvas\(h_1(x)\text{ and }h_2(x)\), y\(x\) varía entre\(a \text{ and }b\). Entonces
\[\begin{align*} V &=\iiint\limits_S 1dV \\[4pt] &= \int_a^b \int_{h_1(x)}^{h_2(x)} \int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} 1\,dz\, d y\, dx \\[4pt] &= \int_a^b \int_{h_1(x)}^{h_2(x)} (g_2(x, y)− g_1(x, y)) \,d y\, dx \end{align*} \]
al igual que en la Ecuación\ ref {Eq3.9}. Ver Ejercicio 10 para un ejemplo.