Saltar al contenido principal

# 3.6: Aplicación- Centro de Masa

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Recordemos del cálculo de una sola variable que para una región$$R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x)}$$ en la$$\mathbb{R}^2$$ que representa una placa delgada y plana (Figura 3.6.1), donde$$f (x)$$ es una función continua en$$[a,b]$$, el centro de masa de$$R$$ tiene coordenadas$$(\bar x, \bar y)$$ dadas por

$\bar x =\dfrac{M_y}{M} \text{ and }\bar y = \dfrac{M_x}{M}$

donde

$M_x = \int_a^b \dfrac{(f(x))^2}{2}dx,\quad M_y = \int_a^b x f (x)\,dx, \quad M=\int_a^b f (x)\,dx \label{Eq3.27}$

asumiendo que$$R$$ tiene una densidad uniforme, es decir, la masa de$$R$$ se distribuye uniformemente sobre la región. En este caso el área$$M$$ de la región se considera la masa de$$R$$ (la densidad es constante, y se toma como 1 por simplicidad).

En el caso general donde la densidad de una región (o lámina)$$R$$ es una función continua$$δ = δ(x, y)$$ de las coordenadas$$(x, y)$$ de puntos dentro$$R$$ (donde$$R$$ puede estar cualquier región en$$\mathbb{R}^2$$) se$$R$$ dan las coordenadas$$(\bar x,\bar y)$$ del centro de masa de por

$\bar x =\dfrac{M_y}{M} \text{ and }\bar y = \dfrac{M_x}{M}\label{Eq3.28}$

donde

$M_y = \iint\limits_R xδ(x, y)\,d A ,\quad M_x = \iint\limits_R yδ(x, y)\,d A,\quad M=\iint\limits_R δ(x, y)\,d A ,\label{Eq3.29}$

$$M_x \text{ and }M_y$$Las cantidades se denominan los momentos (o primeros momentos) de la región$$R$$ alrededor del$$x$$ eje -eje y$$y$$ -eje, respectivamente. La cantidad$$M$$ es la masa de la región$$R$$. Para ver esto, piensa en llevar un pequeño rectángulo en su interior$$R$$ con dimensiones$$∆x \text{ and }∆y$$ cercanas a 0. La masa de ese rectángulo es aproximadamente$$δ(x_∗, y_∗)∆x∆y$$, por algún punto$$(x_∗, y_∗)$$ en ese rectángulo. Entonces la masa de$$R$$ es el límite de las sumas de las masas de todos esos rectángulos dentro$$R$$ como las diagonales de los rectángulos se acercan a 0, que es la doble integral$$\iint\limits_R δ(x, y)\,d A$$.

Tenga en cuenta que las fórmulas en la Ecuación\ ref {Eq3.27} representan un caso especial cuando a$$δ(x, y) = 1$$ lo largo$$R$$ de las fórmulas en la Ecuación\ ref {Eq3.29}.

Ejemplo 3.13: Centro de masa de una región 2D

Encuentra el centro de masa de la región$$R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x^2 }$$, si la densidad funciona en$$(x, y) \text{ is }δ(x, y) = x+ y$$.

Solución:

La región$$R$$ se muestra en la Figura 3.6.2. Tenemos

\nonumber \begin{align} M&=\iint\limits_R δ(x, y)\,d A \\[4pt] \nonumber &= \int_0^1 \int_0^{2x^2}(x+ y)\,d y\, dx \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \left ( xy + \dfrac{y^2}{2} \Big |_{y=0}^{y=2x^2} \right ) \,dx \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 (2x^3 +2x^4 )\,dx \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{x^4}{2}+\dfrac{2x^5}{5} \Big |_0^1 = \dfrac{9}{10}\\[4pt] \end{align}

y

$\nonumber \begin{split} M_x &= \iint\limits_R yδ(x, y)\,d A \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \int_0^{2x^2} y(x+ y)\,d y\, dx \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \left ( \dfrac{xy^2}{2}+\dfrac{y^3}{3} \Big |_{y=0}^{y=2x^2} \right )\,dx \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 (2x^5 + \dfrac{8x^6}{ 3} )\,dx \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{x^6}{3} + \dfrac{8x^7}{21} \Big |_0^1 = \dfrac{5}{7} \\[4pt] \end{split} \qquad \nonumber \begin{split} M_y &= \iint\limits_R xδ(x, y)\,d A \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \int_0^{2x^2} x(x+ y)\,d y\, dx \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \left ( x^2y+\dfrac{xy^2}{2} \Big |_{y=0}^{y=2x^2} \right )\,dx \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 (2x^4 + 2x^5 )\,dx \\[4pt] &=\dfrac{2x^5}{5} + \dfrac{x^6}{3} \Big |_0^1 = \dfrac{11}{15} \\[4pt] \end{split}$

por lo que el centro de masa$$(\bar x,\bar y)$$ está dado por

$\nonumber \bar x =\dfrac{M_y}{M} = \dfrac{11/15}{9/10} = \dfrac{22}{27},\quad \bar y = \dfrac{M_x}{M} = \dfrac{5/7}{9/10}=\dfrac{50}{63}$

Observe cómo este centro de masa está un poco más hacia la esquina superior de la región$$R$$ que cuando la densidad es uniforme (es fácil usar las fórmulas en la Ecuación\ ref {Eq3.27} para mostrar eso$$(\bar x,\bar y) = \left ( \dfrac{3}{ 4} , \dfrac{3}{ 5} \right )$$ en ese caso). Esto tiene sentido ya que la función de densidad$$δ(x, y) = x + y$$ aumenta a medida que se$$(x, y)$$ acerca a esa esquina superior, donde hay bastante área.

En el caso especial donde la función de densidad$$δ(x, y)$$ es una función constante en la región$$R$$, el centro de masa$$(\bar x,\bar y)$$ se denomina centroide de$$R$$.

Las fórmulas para el centro de masa de una región en$$\mathbb{R}^2$$ pueden generalizarse a un sólido$$S$$ en$$\mathbb{R}^ 3$$. Dejar$$S$$ ser un sólido con una función de densidad de masa continua$$δ(x, y, z)$$ en cualquier punto$$(x, y, z)$$ de$$S$$. Entonces el centro de masa de$$S$$ tiene coordenadas$$(\bar x,\bar y,\bar z)$$, donde

$\bar x = \dfrac{M_{yz}}{M},\quad \bar y = \dfrac{M_{xz}}{M},\quad \bar z= \dfrac{M_{xy}}{M},\label{Eq3.30}$

donde

$M_{yz} = \iiint\limits_S xδ(x, y, z)\,dV, \quad M_{xz} = \iiint\limits_S yδ(x, y, z)\,dV,\quad M_{xy} = \iiint\limits_S zδ(x, y, z)\,dV ,\label{Eq3.31}$

$M = \iiint\limits_S δ(x, y, z)\,dV .\label{Eq3.32}$

En este caso,$$M_{yz}, M_{xz}\text{ and }M_{x y}$$ se denominan los momentos (o primeros momentos) de$$S$$ alrededor del$$yz$$ -plano,$$xz$$ -plano y$$x y$$ -plano, respectivamente. También,$$M$$ es la masa de$$S$$.

Ejemplo 3.14: Centro de masa de un sólido 3D

Encuentre el centro de masa del sólido$$S = {(x, y, z) : z ≥ 0, x^2 + y^2 + z^2 ≤ a^2 }$$, si la densidad funciona en$$(x, y, z) \text{ is }δ(x, y, z) = 1$$.

Solución:

El sólido$$S$$ es solo el hemisferio superior dentro de la esfera de radio$$a$$ centrada en el origen (ver Figura 3.6.3).

Entonces dado que la función de densidad es una constante y$$S$$ es simétrica alrededor del$$z$$ -eje, entonces es claro que$$\bar x = 0 \text{ and }\bar y = 0$$, así que sólo necesitamos encontrar$$\bar z$$. Tenemos

$\nonumber M = \iiint\limits_S δ(x, y, z)\,dV = \iiint\limits_S 1dV = \text{ Volume}(S).$

Pero como el volumen de$$S$$ es la mitad del volumen de la esfera de radio$$a$$, lo que sabemos por el Ejemplo 3.12 es$$\dfrac{4\pi a}{3}$$, entonces$$M = \dfrac{2\pi a}{3}$$. Y

\nonumber \begin{align} M_{xy} &= \iiint\limits_S zδ(x, y, z)\,dV \\[4pt] \nonumber &=\iiint\limits_S z \,dV,\text{ which in spherical coordinates is} \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi /2} \int_0^a (ρ \cos{φ})ρ^2 \sin{φ}\,dρ\, dφ\,dθ \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \sin{φ} \cos{φ} \left ( \int_0^a ρ^3 \,dρ \right ) \,dφ\,dθ \\[4pt] \nonumber &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \dfrac{a^4}{4} \sin{φ} \cos{φ}\,dφ\,dθ \\[4pt] \nonumber M_{xy}&=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \dfrac{a^4}{8} \sin{2φ}\,dφ\,dθ \quad (\text{since }\sin{2φ} = 2\sin{φ} \cos{φ}) \\[4pt] \nonumber &= \int_0^{2\pi} \left ( -\dfrac{a^4}{16} \cos{2φ} \Big |_{φ=0}^{ φ=\pi/2}\right ) \,dθ \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \dfrac{a^4}{8}\,dθ \\[4pt] &=\dfrac{\pi a^4}{4}, \\[4pt] \end{align}

entonces

$\nonumber \bar z = \dfrac{M_{xy}}{M} = \dfrac{\dfrac{\pi a^4}{4}}{\dfrac{2\pi a^3}{3}}=\dfrac{3a}{8}.$

Así, el centro de masa de$$S$$ es$$(\bar x,\bar y,\bar z) = \left ( 0,0, \dfrac{3a}{8} \right ).$$