1.3: Los Hyperreals

Vamos a dejar\(\mathbb{R}\) denotar el conjunto de todos los números reales. Intuitiva e históricamente, pensamos en estos como los números suficientes para medir cantidades geométricas. Por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales, es decir, números expresables como las proporciones de enteros, no es suficiente para ello ya que, por ejemplo, la longitud de la diagonal de un cuadrado con lados de longitud 1 es el número irracional\(\sqrt{2}\). Existen numerosos métodos técnicos para definir y construir los números reales, pero, para los fines de este texto, basta pensar en ellos como el conjunto de todos los números expresables como decimales infinitos, repitiendo si el número es racional y no repetido de otra manera.

Un infinitesimal positivo es cualquier número\(\epsilon\) con la propiedad que\(\epsilon>0\) y\(\epsilon<r\) para cualquier número real positivo\(r\). El conjunto de infinitesimales consiste en los infinitesimales positivos junto con sus inversos aditivos y cero. Intuitivamente, estos son los números que, a excepción de que\(0,\) corresponden a cantidades que son demasiado pequeñas para medirlas incluso teóricamente. Nuevamente, existen formas técnicas de hacer explícita la definición y construcción de infinitesimales, pero se encuentran más allá del alcance de este texto.

El inverso multiplicativo de un infinitesimal distinto de cero es un número infinito. Es decir, para cualquier infinitesimal\(\epsilon \neq 0,\) el número

\[N=\frac{1}{\epsilon}\]

es un número infinito.

Los números hiperreales finitos son números de la forma\(r+\epsilon,\) donde\(r\) es un número real y\(\epsilon\) es un infinitesimal. Los números hiperreales, que denotamos\(^{*} \mathbb{R}\), consisten en los números hiperreales finitos junto con todos los números infinitos.

Para cualquier número hiperreal finito\(a,\) existe un número real único\(r\) para el cual\(a=r+\epsilon\) para algunos infinitesimales\(\epsilon .\) En este caso, llamamos\(r\) la sombra de\(a\) y escribimos

\[r=\operatorname{sh}(a) .\]

Alternativamente, podemos llamar a sh\((a)\) la parte estándar de\(a\).

Escribiremos\(a \simeq b\) para indicar que\(a-b\) es un infinitesimal, es decir, eso\(a\) y\(b\) están infinitesimalmente cerca. En particular, para cualquier número hiperreal finito\(a,\)\(a \simeq \operatorname{sh}(a)\).

Es importante señalar que

• si\(\epsilon\) y\(\delta\) son infinitesimales, entonces así es\(\epsilon+\delta\)
• si\(\epsilon\) es un infinitesimal y\(a\) es un número hiperreal finito, entonces\(a \epsilon\) es un infinitesimal, y
• si\(\epsilon\) es un infinitesimal distinto de cero y\(a\) es un número hiperreal con\(\operatorname{sh}(a) \neq 0\) (es decir, no\(a\) es un infinitesimal), entonces\(\frac{a}{\epsilon}\) es infinito.

Estos están de acuerdo con nuestra intuición de que una suma finita de números infinitamente pequeños sigue siendo infinitamente pequeña y que un número infinitamente pequeño distinto de cero dividirá en cualquier cantidad no infinitesimal un número infinito de veces.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar eso\(\operatorname{sh}(a+b)=\operatorname{sh}(a)+\operatorname{sh}(b)\) y\(\operatorname{sh}(a b)=\operatorname{sh}(a) \operatorname{sh}(b)\), dónde\(a\) y\(b\) son los números hiperreales.

Contestar

Let\(a=r_{1}+\epsilon_{1}\) y\(b=r_{2}+\epsilon_{2},\) donde\(r_{1}\) y\(r_{2}\) son números reales y\(\epsilon_{1}\) y\(\epsilon_{2}\) son infinitesimales. Tenga en cuenta que\(a+b=\left(r_{1}+r_{2}\right)+\left(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}\right)\) y\(a b=r_{1} r_{2}+\left(r_{1} \epsilon_{2}+r_{2} \epsilon_{1}+\epsilon_{1} \epsilon_{2}\right)\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(a\) es un número hiperreal con\(\operatorname{sh}(a) \neq 0 .\) Mostrar eso\(\operatorname{sh}\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{\operatorname{sh}(a)}\).

Contestar

Vamos\(a=r+\epsilon,\) donde\(r \neq 0\) es un número real y\(\epsilon\) es un infinitesimal. Tenga en cuenta que

\[\frac{1}{a}=\frac{1}{r}+\frac{\epsilon}{r(r+\epsilon)}.\]