Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.7: Propiedades de los Derivados

  • Page ID
    117200
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ahora desarrollaremos algunas propiedades de los derivados con el objetivo de facilitar su cálculo para ciertas clases generales de funciones.

    Para comenzar, si\(f(x)=k\) para todos\(x\) y alguna constante real\(k,\) entonces, para cualquier infinitesimal\(d x,\) \[f(x+d x)-f(x)=k-k=0 .\] De ahí, si\(d x \neq 0\), \[\frac{f(x+d x)-f(x)}{d x}=0 ,\] y así\(f^{\prime}(x)=0 .\) En otras palabras, la derivada de una constante es\(0 .\)

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Para cualquier constante real\(k\),

    \[\frac{d}{d x} k=0 .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \[\frac{d}{d x} 4=0.\]

    Sumas y diferencias

    Ahora supongamos\(u\) y\(v\) son ambas funciones diferenciables de\(x .\) Entonces, para cualquier infinitesimal\(d x\), \[\begin{aligned} d(u+v) &=(u(x+d x)+v(x+d x))-(u(x)-v(x)) \\ &=(u(x+d x)-u(x))+(v(x+d x)-v(x)) \\ &=d u+d v. \end{aligned}\] De ahí, si\(d x \neq 0\), \[\frac{d(u+v)}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}.\] en otras palabras, la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Si\(f\) y\(g\) son tanto diferenciables como\(s(x)=f(x)+g(x)\), entonces

    \[s^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Si\(y=x^{2}+\sqrt{x},\) entonces, utilizando nuestros resultados de la sección anterior,

    \[\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+\frac{d}{d x}(\sqrt{x})=2 x+\frac{1}{2 \sqrt{x}} .\] Un argumento similar muestra que \[\frac{d}{d x}(u-v)=\frac{d u}{d x}-\frac{d v}{d x} .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra la derivada de\(y=x^{2}+5\).

    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=2 x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra la derivada de\(f(x)=\sqrt{x}-x^{2}+3\).

    Contestar

    \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}-2 x\)

    Multiplos Constantes

    Si\(c\) es alguna constante real y\(u\) es una función diferenciable de\(x,\) entonces, para cualquier infinitesimal\(d x,\)

    \[d(c u)=c u(x+d x)-c u(x)=c(u(x+d x)-u(x))=c d u .\] De ahí que si\(d x \neq 0\), \[\frac{d(c u)}{d x}=c \frac{d u}{d x},\] en otras palabras, la derivada de una constante veces una función es la constante veces la derivada de la función.

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Si\(c\) es una constante real,\(f\) es diferenciable, y\(g(x)=c f(x)\), entonces

    \[g^{\prime}(x)=c f^{\prime}(x).\]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Si\(y=5 x^{2},\) entonces

    \[\frac{d y}{d x}=5 \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)=5(2 x)=10 x .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra la derivada de\(y=8 x^{2}\).

    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=16 x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra la derivada de\(f(x)=4 \sqrt{x}+15\).

    Contestar

    \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}\)

    Productos

    Nuevamente supongamos\(u\) y\(v\) son funciones diferenciables de\(x\). Nótese que, en particular,\(u\) y\(v\) son continuos, y así ambos\(d u\) y\(d v\) son infinitesimales para cualquier infinitesimal\(d x .\) Además, tenga en cuenta que

    \[u(x+d x)=u(x)+d u \text { and } v(x+d x)=v(x)+d v .\] De ahí \[\begin{aligned} d(u v) &=u(x+d x) v(x+d x)-u(x) v(x) \\ &=(u(x)+d u)(v(x)+d v)-u(x) v(x) \\ &=(u(x) v(x)+u(x) d v+v(x) d u+d u d v)-u(x) v(x) \\ &=u d v+v d u+d u d v, \end{aligned}\] y así\(d x \neq 0\), si, \[\frac{d(u v)}{d x}=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x}+d u \frac{d v}{d x} \simeq u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x}\] así tenemos, para cualquier función diferenciable\(u\) y\(v\), \[\frac{d}{d x}(u v)=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x} ,\] que llamamos la regla del producto.

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

    Si\(f\) y\(g\) son ambos diferenciables y\(p(x)=f(x) g(x),\) luego

    \[p^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime}(x)+g(x) f^{\prime}(x) .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Podemos usar la regla del producto para encontrar una fórmula para la derivada de un poder entero positivo de Primero\(x .\) notamos que si\(y=x,\) entonces, para cualquier infinitesimal\(d x,\)

    \[d y=(x+d x)-x=d x ,\] y así, si\(d x \neq 0\), \[\frac{d y}{d x}=\frac{d x}{d x}=1 .\] así tenemos \[\frac{d}{d x} x=1 ,\] como debemos esperar, ya que\(y=x\) implica que\(y\) cambia exactamente a la misma tasa que\(x .\) Usar la regla del producto, ahora se deduce que \[\frac{d}{d x} x^{2}=\frac{d}{d x}(x \cdot x)=x \frac{d}{d x} x+x \frac{d}{d x} x=x+x=2 x ,\] de acuerdo con un ejemplo anterior . A continuación, tenemos \[\frac{d}{d x} x^{3}=x \frac{d}{d x} x^{2}+x^{2} \frac{d}{d x} x=2 x^{2}+x^{2}=3 x^{2}\] y \[\frac{d}{d x} x^{4}=x \frac{d}{d x} x^{3}+x^{3} \frac{d}{d x} x=3 x^{3}+x^{3}=4 x^{3} .\] en este punto podríamos sospechar que para cualquier entero\(n \geq 1\), \[\frac{d}{d x} x^{n}=n x^{n-1} .\] Esto es de hecho cierto, y se desprende fácilmente de un argumento inductivo: Supongamos que hemos demostrado que para cualquier\(k<n\), \[\frac{d}{d x} x^{k}=k x^{k-1} .\] Entonces \[\begin{aligned} \frac{d}{d x} x^{n} &=x \frac{d}{d x} x^{n-1}+x^{n-1} \frac{d}{d x} x \\ &=x\left((n-1) x^{n-2}\right)+x^{n-1} \\ &=n x^{n-1} . \end{aligned}\] Nosotros llamar a este resultado la regla de poder.

    Teorema\(\PageIndex{5}\)

    Para cualquier entero\(n \geq 1\),

    \[\frac{d}{d x} x^{n}=n x^{n-1} .\] Veremos eventualmente, en Teoremas\(1.7 .7,1.7 .10,\) y\(2.7 .2,\) que la regla de poder de hecho se mantiene para cualquier número real\(n \neq 0 .\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Cuando\(n=34,\) la regla de poder demuestra que

    \[\frac{d}{d x} x^{34}=34 x^{33} .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Si\(f(x)=14 x^{5},\) entonces, combinando la regla de potencia con nuestro resultado para múltiplos constantes,

    \[f^{\prime}(x)=14\left(5 x^{4}\right)=70 x^{4} .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra la derivada de\(y=13 x^{5}\).

    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=65 x^{4}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Combinando la regla de poder con nuestros resultados para múltiplos y diferencias constantes, tenemos

    \[\frac{d}{d x}\left(3 x^{2}-5 x\right)=6 x-5 .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Encuentra la derivada de\(f(x)=5 x^{4}-3 x^{2}\).

    Contestar

    \(f^{\prime}(x)=20 x^{3}-6 x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Encuentra la derivada de\(y=3 x^{7}-3 x+1\).

    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=21 x^{6}-3\)

    Polinomios

    Como ilustran los ejemplos anteriores, podemos juntar los resultados anteriores para diferenciar fácilmente cualquier función polinómica. Es decir, si\(n \geq 1\) y\(a_{n}, a_{n-1}\),\(\ldots, a_{0}\) son constantes reales, entonces

    \[\begin{aligned} \frac{d}{d x}\left(a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\right) \\=n a_{n} x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+2 a_{2} x+a_{1} .\end{aligned}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Si\(p(x)=4 x^{7}-13 x^{3}-x^{2}+21,\) entonces

    \[p^{\prime}(x)=28 x^{6}-39 x^{2}-2 x .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra la derivada de\(f(x)=3 x^{5}-6 x^{4}-5 x^{2}+13\).

    Contestar

    \(f^{\prime}(x)=15 x^{4}-24 x^{3}-10 x\)

    Cocientes

    Si\(u\) es una función diferenciable de\(x, u(x) \neq 0,\) y\(d x\) es un infinitesimal, entonces

    \[\begin{aligned} d\left(\frac{1}{u}\right) &=\frac{1}{u(x+d x)}-\frac{1}{u(x)} \\ &=\frac{1}{u(x)+d u}-\frac{1}{u(x)} \\ &=\frac{u-(u+d u)}{u(u+d u)} \\ &=\frac{-d u}{u(u+d u)} . \end{aligned}\] Por lo tanto, ya que\(u+d u \simeq u,\) si\(d x \neq 0\), \[\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{\frac{d u}{d x}}{u(u+d u)} \simeq-\frac{1}{u^{2}} \frac{d u}{d x} .\]

    Teorema\(\PageIndex{6}\)

    Si\(f\) es diferenciable,\(f(x) \neq 0,\) y

    \[g(x)=\frac{1}{f(x)} ,\] entonces \[g^{\prime}(x)=-\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)^{2}} .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Si

    \[f(x)=\frac{1}{x^{2}} ,\] entonces \[f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{4}} \cdot 2 x=-\frac{2}{x^{3}} .\] Obsérvese que el resultado del ejemplo anterior es el mismo que habríamos obtenido al aplicar la regla de poder con\(n=-2\). De hecho, ahora podemos mostrar que la regla de poder se mantiene en general para potencias enteras negativas: Si\(n<0\) es un entero, entonces \[\frac{d}{d x} x^{n}=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{-n}}\right)=-\frac{1}{x^{-2 n}} \cdot\left(-n x^{-n-1}\right)=n x^{n-1} .\] De ahí que ahora tenemos nuestra primera generalización de la regla de poder.

    Teorema\(\PageIndex{7}\)

    Para cualquier entero\(n \neq 0\),

    \[\frac{d}{d x} x^{n}=n x^{n-1} .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Si

    \[f(x)=3 x^{2}-\frac{5}{x^{7}} ,\] entonces\(f(x)=3 x^{2}-5 x^{-7},\) y así \[f^{\prime}(x)=6 x+35 x^{-8}=6 x+\frac{35}{x^{8}} .\] Ahora supongamos\(u\) y\(v\) son ambas funciones diferenciables de\(x\) y vamos \[y=\frac{u}{v} .\] \(u=v y,\) Entonces así, como vimos anteriormente, \[d u=v d y+y d v+d v d y=y d v+(v+d v) d y .\] por lo tanto, previsto\(v(x) \neq 0\), \[d y=\frac{d u-y d v}{v+d v}=\frac{d u-\frac{u}{v} d v}{v+d v}=\frac{v d u-u d v}{v(v+d v)} .\] Así, para cualquier distinto de cero infinitesimal\(d x\), \[\frac{d y}{d x}=\frac{v \frac{d u}{d x}-u \frac{d v}{d x}}{v(v+d v)} \simeq \frac{v \frac{d u}{d x}-u \frac{d v}{d x}}{v^{2}} .\] Esta es la regla del cociente.

    Teorema\(\PageIndex{8}\)

    Si\(f\) y\(g\) son diferenciables,\(g(x) \neq 0,\) y

    \[q(x)=\frac{f(x)}{g(x)} ,\] entonces \[q^{\prime}(x)=\frac{g(x) f^{\prime}(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{(g(x))^{2}} .\] Una consecuencia de la regla del cociente es que, como ya sabemos diferenciar polinomios, ahora podemos diferenciar fácilmente cualquier función racional.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Si

    \[f(x)=\frac{3 x^{2}-6 x+4}{x^{2}+1} ,\] entonces \[\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\frac{\left(x^{2}+1\right)(6 x-6)-\left(3 x^{2}-6 x+4\right)(2 x)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \\ &=\frac{6 x^{3}-6 x^{2}+6 x-6-6 x^{3}+12 x^{2}-8 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \\ &=\frac{6 x^{2}-2 x-6}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} . \end{aligned}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Podemos usar 1.7.30 o 1.7.37 para diferenciar

    \[y=\frac{5}{x^{2}+1} .\] En cualquier caso, obtenemos \[\frac{d y}{d x}=-\frac{5}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \frac{d}{d x}\left(x^{2}+1\right)=-\frac{10 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Encuentra la derivada de

    \[y=\frac{14}{4 x^{3}-3 x} .\]
    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=\frac{42-168 x^{2}}{\left(4 x^{3}-3 x\right)^{2}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Encuentra la derivada de

    \[f(x)=\frac{4 x^{3}-1}{x^{2}-5} .\]
    Contestar

    \(f^{\prime}(x) \frac{4 x^{4}-60 x^{2}+2 x}{\left(x^{2}-5\right)^{2}}\)

    Composición de las funciones

    Supongamos que\(y\) es una función diferenciable de\(u\) y\(u\) es una función diferenciable de\(x .\)\(u\) Entonces\(y\) es tanto una función de como una función de\(x,\) y así podemos pedir la derivada de\(y\) con respecto a así\(x\) como la derivada de \(y\)con respecto a\(u .\) Ahora si\(d x\) es un infinitesimal, entonces

    \[d u=u(x+d x)-u(x)\] es también un infinitesimal (ya que\(u\) es continuo). Si\(d u \neq 0\), entonces la derivada de\(y\) con respecto a\(u\) es igual a la sombra de\(\frac{d y}{d u}\). Al mismo tiempo, si\(d x \neq 0\), la derivada de\(u\) con respecto a\(x\) es igual a la sombra de\(\frac{d u}{d x} .\) Pero \[\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}=\frac{d y}{d x} ,\] y la sombra de\(\frac{d y}{d x}\) es la derivada de\(y\) con respecto a\(x .\) Se deduce que la derivada de\(y\) con respecto a \(x\)es el producto del derivado de\(y\) con respecto a\(u\) y el derivado de\(u\) con respecto a\(x\). Por supuesto, no\(d u\) es necesariamente distinto de cero aunque\(d x \neq 0\) (por ejemplo, si\(u\) es una función constante), pero el resultado se mantiene sin embargo, aunque aquí no entraremos en los detalles técnicos. Llamamos a este resultado la regla de la cadena.

    Teorema\(\PageIndex{9}\)

    Si\(y\) es una función diferenciable de\(u\) y\(u\) es una función diferenciable de\(x,\) entonces

    \[\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x} .\] No es que si dejamos\(y=f(u), u=g(x),\) y \[h(x)=f \circ g(x)=f(g(x)) ,\] entonces de \[\frac{d y}{d x}=h^{\prime}(x), \frac{d y}{d u}=f^{\prime}(g(x)), \text { and } \frac{d u}{d x}=g^{\prime}(x) .\] ahí también podemos expresar la regla de la cadena en la forma \[h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    Si\(y=3 u^{2}\) y\(u=2 x+1,\) entonces

    \[\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}=(6 u)(2)=12 u=24 x+12 .\] Podemos verificar este resultado encontrando primero\(y\) directamente en términos de\(x,\) saber, \[y=3 u^{2}=3(2 x+1)^{2}=3\left(4 x^{2}+4 x+1\right)=12 x^{2}+12 x+3 ,\] y luego diferenciando directamente: \[\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(12 x^{2}+12 x+3\right)=24 x+12 .\] Tenga en cuenta que si queremos evaluar\(\frac{d y}{d x}\) cuando, por ejemplo,\(x=2,\) podemos evaluar la forma final, es decir , \[\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=2}=\left.(24 x+12)\right|_{x=2}=48+12=60 ,\] o bien, señalando que\(u=5\) cuando\(x=2,\) la forma intermedia, es decir, \[\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=2}=\left.12 u\right|_{u=5}=60 .\] en otras palabras, \[\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=2}=\left.\left.\frac{d y}{d u}\right|_{u=5} \frac{d u}{d x}\right|_{x=2} .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Si\(y=u^{3}+5\) y\(u=x^{2}-1,\) encuentra\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=1}\).

    Contestar

    \(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=1}=216\)

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    Si\(h(x)=\sqrt{x^{2}+1},\) entonces\(h(x)=f(g(x))\) donde\(f(x)=\sqrt{x}\) y\(g(x)=x^{2}+1 .\) Desde

    \[f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \text { and } g^{\prime}(x)=2 x ,\] se deduce que \[h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x^{2}+1}} \cdot 2 x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Encuentra la derivada de\(f(x)=\sqrt{4 x+6}\).

    Contestar

    \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{\sqrt{4 x+6}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Encuentra la derivada de\(y=\left(x^{2}+5\right)^{10}\).

    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=20 x\left(x^{2}+5\right)^{9}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

    Como vimos en Ejemplo\(1.2 .5,\) si\(M\) es la masa, en gramos, de un globo esférico que se llena de agua y\(r\) es el radio del globo, en centímetros, entonces

    \[M=\frac{4}{3} \pi r^{3} \text { grams } \] y \[\frac{d M}{d r}=4 \pi r^{2} \text { grams / centimeter } ,\] un resultado que podemos verificar fácilmente ahora usando la regla de poder. Supongamos que se está bombeando agua dentro del globo para que el radio del globo esté aumentando a la velocidad de 0.1 centímetros por segundo cuando el globo tiene un radio de 10 centímetros. ya que\(M\) es una función del tiempo así\(t,\) como una función del radio del globo que\(r,\) podríamos desear para conocer la tasa de cambio de\(M\) con respecto a\(t .\) ya que se nos da que \[\left.\frac{d r}{d t}\right|_{r=10}=0.1 \text { centimeters/second } ,\] podemos usar la regla de la cadena para encontrar que \[\left.\frac{d M}{d t}\right|_{r=10}=\left.\left.\frac{d M}{d r}\right|_{r=10} \frac{d r}{d t}\right|_{r=10}=(400 \pi)(0.1)=40 \pi \text { grams } / \text { second } .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Supongamos que\(A\) es el área y\(r\) es el radio de una onda circular en el momento\(t .\) Supongamos que cuando\(r=100\) centímetros el radio del círculo va aumentando a una velocidad de 2 centímetros por segundo. Encuentra la velocidad a la que el área del círculo está creciendo cuando los\(r=100\) centímetros.

    Contestar

    \(\left.\frac{d A}{d t}\right|_{r=100}=400 \pi \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{sec}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Si se está bombeando agua a un globo esférico a razón de 100 gramos por segundo, encuentre la velocidad de cambio\(r\) del radio del globo cuando el radio del globo sea\(r=15\) centímetros.

    Como un caso especial importante de la regla de la cadena, supongamos que\(n \neq 0\) es un entero,\(g\) es una función diferenciable, y\(h(x)=(g(x))^{n}\). Entonces\(h\) es la composición de\(f(x)=x^{n}\) con\(g,\) y así, usando la regla de la cadena, \[h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)=n(g(x))^{n-1} g^{\prime}(x) .\] Si\(u=g(x),\) lo dejamos también podríamos expresar este resultado como \[\frac{d}{d x} u^{n}=n u^{n-1} \frac{d u}{d x} .\]
    Contestar

    \(\left.\frac{d r}{d t}\right|_{r=15}=\frac{1}{9 \pi}\)centímetros por segundo

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

    Con\(n=10\) y\(g(x)=x^{2}+3,\) tenemos

    \[\frac{d}{d x}\left(x^{2}+3\right)^{10}=10\left(x^{2}+3\right)^{9}(2 x)=20 x\left(x^{2}+3\right)^{9} .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

    Si

    \[f(x)=\frac{15}{\left(x^{4}+5\right)^{2}} ,\] entonces podremos aplicar el resultado anterior con\(n=-2\) y\(g(x)=x^{4}+5\) para obtener \[f^{\prime}(x)=-30\left(x^{4}+5\right)^{-3}\left(4 x^{3}\right)=-\frac{120 x^{3}}{\left(x^{4}+5\right)^{3}} .\] Podemos usar el resultado anterior para derivar otra extensión más a la regla de poder. Si\(n \neq 0\) es un número entero y\(y=x^{\frac{1}{n}},\) entonces\(y^{n}=x,\) y así, asumiendo\(y\) es diferenciable, \[n y^{n-1} \frac{d y}{d x}=1 ,\] de \[\frac{d}{d x} y^{n}=\frac{d}{d x} x .\] ahí de lo cual si se sigue esa \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{n y^{n-1}}=\frac{1}{n} y^{1-n}=\frac{1}{n}\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{1-n}=\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1} ,\] demostrando que la regla de poder funciona para potencias racionales de la forma\(\frac{1}{n} .\) Tenga en cuenta que la derivación anterior no está completo desde que comenzamos con la suposición de que\(y=x^{\frac{1}{n}}\) es diferenciable. Si bien está fuera del alcance de este texto, puede demostrarse que esta suposición está justificada para\(x>0\) si\(n\) es par, y para todos\(x \neq 0\) si\(n\) es impar. Ahora si también\(m \neq 0\) es un entero, tenemos, usando la regla de la cadena como arriba, de \[\begin{aligned} \frac{d}{d x} x^{\frac{r m}{m}} &=\frac{d}{d x}\left(x^{\frac{1}{m}}\right)^{m} \\ &=m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1} \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1} \\ &=\frac{m}{n} x^{\frac{m-1}{n}+\frac{1}{n}-1} \\ &=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} .\end{aligned}\] ahí que ahora veamos que la regla de potencia se mantiene para cualquier exponente racional distinto de cero.

    Teorema\(\PageIndex{10}\)

    Si\(r \neq 0\) hay algún número racional, entonces

    \[\frac{d}{d x} x^{r}=r x^{r-1} .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

    Con\(r=\frac{1}{2}\) en el teorema anterior, tenemos

    \[\frac{d}{d x} \sqrt{x}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} ,\] de acuerdo con nuestro cómputo directo anterior.

    Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

    Si\(y=x^{\frac{2}{3}},\) entonces

    \[\frac{d y}{d x}=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} .\] Tenga\(x=0,\) en cuenta que no\(\frac{d y}{d x}\) se define de acuerdo con nuestro resultado anterior mostrando que no\(y\) es diferenciable en\(0 .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Encuentra la derivada de\(f(x)=5 x^{\frac{4}{5}}\).

    Ahora podemos generalizar 1.7 .44 de la siguiente manera: Si\(u\) es una función diferenciable de\(x\) y\(r \neq 0\) es un número racional, entonces \[\frac{d}{d x} u^{r}=r u^{r-1} \frac{d u}{d x} .\]
    Contestar

    \(f^{\prime}(x)=\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

    Si\(f(x)=\sqrt{x^{2}+1},\) entonces

    \[f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}(2 x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

    Si

    \[g(t)=\frac{1}{t^{4}+5} ,\] entonces \[g^{\prime}(t)=(-1)\left(t^{4}+5\right)^{-2}\left(4 t^{3}\right)=-\frac{4 t^{3}}{\left(t^{4}+5\right)^{2}} .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Encuentra la derivada de

    \[y=\frac{4}{\sqrt{x^{2}+4}} .\]
    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=-\frac{4 x}{\left(x^{2}+4\right)^{\frac{3}{2}}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Encuentra la derivada de\(f(x)=\left(x^{2}+3 x-5\right)^{10}\left(3 x^{4}-6 x+4\right)^{12}\).

    Contestar

    \(\begin{aligned} f^{\prime}(x)=12\left(x^{2}+3 x-5\right)^{10} &\left(3 x^{4}-6 x+4\right)^{11}\left(12 x^{3}-6\right)+\\ & 10\left(x^{2}+3 x-5\right)^{9}\left(3 x^{4}-6 x+4\right)^{12}(2 x+3) \end{aligned}\)

    Funciones trigonométricas

    Si\(y=\sin (x)\) y\(w=\cos (x),\) entonces, para cualquier infinitesimal\(d x\),

    \[ \begin{aligned} d y &=\sin (x+d x)-\sin (x) \\ &=\sin (x) \cos (d x)+\sin (d x) \cos (x)-\sin (x) \\ &=\sin (x)(\cos (d x)-1)+\cos (x) \sin (d x) \end{aligned}\] y \[\begin{aligned} d w &=\cos (x+d x)-\cos (x) \\ &=\cos (x) \cos (d x)-\sin (x) \sin (d x)-\cos (x) \\ &=\cos (x)(\cos (d x)-1)-\sin (x) \sin (d x) . \end{aligned}\] De ahí, si\(d x \neq 0\), \[\frac{d y}{d x}=\cos (x) \frac{\sin (d x)}{d x}-\sin (x) \frac{1-\cos (d x)}{d x}\] y \[\frac{d w}{d x}=-\sin (x) \frac{\sin (d x)}{d x}+\cos (x) \frac{1-\cos (d x)}{d x} .\] Ahora de lo\((1.5 .13)\) sabemos \[0 \leq 1-\cos (d x) \leq \frac{(d x)^{2}}{2} ,\] y así de \[0 \leq \frac{1-\cos (x)}{d x} \leq \frac{d x}{2} .\] ahí \[\frac{1-\cos (d x)}{d x}\] es un infinitesimal. Además, de\((1.5 .36),\) sabemos que \[\frac{\sin (d x)}{d x} \simeq 1 .\] De ahí \[\frac{d y}{d x} \simeq \cos (x)(1)-\sin (x)(0)=\cos (x)\] y Es \[\frac{d w}{d x} \simeq-\sin (x)(1)+\cos (x)(0)=-\sin (x) .\] decir, hemos demostrado lo siguiente.

    Teorema\(\PageIndex{11}\)

    Para todos los valores reales\(x\),

    \[\frac{d}{d x} \sin (x)=\cos (x)\] y \[\frac{d}{d x} \cos (x)=-\sin (x) .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

    Usando la regla de la cadena,

    \[\frac{d}{d x} \cos (4 x)=-\sin (4 x) \frac{d}{d t}(4 x)=-4 \sin (4 x) .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

    Si\(f(t)=\sin ^{2}(t),\) entonces, nuevamente usando la regla de la cadena,

    \[f^{\prime}(t)=2 \sin (t) \frac{d}{d t} \sin (t)=2 \sin (t) \cos (t) .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

    Si\(g(x)=\cos \left(x^{2}\right),\) entonces

    \[g^{\prime}(x)=-\sin \left(x^{2}\right)(2 x)=-2 x \cos \left(x^{2}\right) .\]

    Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

    Si\(f(x)=\sin ^{3}(4 x),\) entonces, usando la regla de la cadena dos veces,

    \[f^{\prime}(x)=3 \sin ^{2}(4 x) \frac{d}{d x} \sin (4 x)=12 \sin ^{2}(4 x) \cos (4 x) .\]

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Encuentra los derivados de

    \[y=\cos (3 t+6) \text { and } w=\sin ^{2}(t) \cos ^{2}(4 t) .\]
    Contestar

    \(\frac{d y}{d t}=-3 \sin (3 t+6)\)

    \(\frac{d w}{d t}=-8 \sin ^{2}(t) \cos (4 t) \sin (4 t)+2 \sin (t) \cos (t) \cos ^{2}(4 t)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Verifica lo siguiente:

    \[\begin{array}{ll}{\text { (a) } \frac{d}{d t} \tan (t)=\sec ^{2}(t)} & {\text { (b) } \frac{d}{d t} \cot (t)=-\csc ^{2}(t)} \\ {\text { (c) } \frac{d}{d t} \sec (t)=\sec (t) \tan (t)} & {\text { (d) } \frac{d}{d t} \csc (t)=-\csc (t) \cot (t)}\end{array}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Encuentra la derivada de\(y=\sec ^{2}(3 t)\).

    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=6 \sec ^{2}(3 t) \tan (3 t)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Encuentra la derivada de\(f(t)=\tan ^{2}(3 t)\).

    Contestar

    \(f^{\prime}(t)=6 \tan (3 t) \sec ^{2}(3 t)\)


    This page titled 1.7: Propiedades de los Derivados is shared under a CC BY-NC-SA 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Dan Sloughter via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.