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1.11: Diferenciación implícita y tasas de cambio

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    Muchas curvas de interés no son las gráficas de funciones. Por ejemplo, para constantes\(a>0\) y\(b>0,\) la ecuación

    \[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\] describe una elipse\(E\) que intersecta el\(x\) -eje en\((-a, 0)\) y\((a, 0)\) y\(y \text { -axis at }(-b, 0) \text { and }(b, 0) \text { (see Figure } 1.11 .1) .\) la elipse no\(E\) es la gráfica de una función ya que, para cualquier\(-a<x<a,\) ambos \[\left(x,-\frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)\] y se \[\left(x, \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)\] encuentran en\(E .\) Sin embargo, nosotros esperar que\(E\) tendrá una línea tangente en cada punto. Tenga en cuenta, sin embargo, que las líneas tangentes en\((-a, 0)\) y\((a, 0)\) son líneas verticales, y por lo tanto no tienen pendiente. En todos los demás puntos, podemos encontrar la pendiente de la línea tangente tratando\(y\) in\((1.11 .1)\) como una función de\(x,\) diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto\(x,\) y resolviendo para\(\frac{d y}{d x} .\) En general, dada una función\(f\) de\(x\) y\(y\) y una constante\(c,\) esta técnica trabajará para encontrar la pendiente de la curva definida por una ecuación\(f(x, y)=c .\) Tenga en cuenta que al aplicar esta técnica estamos asumiendo que\(y\) es diferenciable. De hecho, esto es cierto para una amplia gama de relaciones definidas por\(f,\) pero los detalles técnicos están más allá del alcance de este texto.

    1-11-1.png

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Usando\(a=2\) y\(b=1,(1.11 .1)\) se convierte, después de multiplicar ambos lados de la ecuación por 4,

    \[x^{2}+4 y^{2}=4 .\] Diferenciando ambos lados de esta ecuación por\(x,\) y recordando usar la regla de la cadena al diferenciar\(y^{2},\) obtenemos \[2 x+8 y \frac{d y}{d x}=0 .\] Resolviendo para\(\frac{d y}{d x},\) tenemos \[\frac{d y}{d x}=-\frac{x}{4 y} ,\] que se define siempre\(y \neq 0\) (correspondiente a los puntos\((-2,0)\) y\((2,0),\) en el que, como vimos anteriormente, la pendiente de las líneas tangentes es indefinida). Por ejemplo, tenemos \[\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(x, y)=\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=-\frac{1}{2 \sqrt{3}} ,\] y así la ecuación de la línea tangente a la elipse en el punto\(\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) es \[y=-\frac{1}{2 \sqrt{3}}(x-1)+\frac{\sqrt{3}}{2} .\] Ver Figura\(1.11 .2 .\)

    1-11-2.png

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Considera la hipérbola\(H\) con ecuación

    \[x^{2}-4 x y+y^{2}=4 .\] Diferenciando ambos lados de la ecuación, recordando tratar\(y\) como una función de\(x,\) tenemos \[2 x-4 x \frac{d y}{d x}-4 y+2 y \frac{d y}{d x}=0 .\] Resolviendo para\(\frac{d y}{d x},\) vemos que \[\frac{d y}{d x}=\frac{4 y-2 x}{2 y-4 x}=\frac{2 y-x}{y-2 x} .\] Por ejemplo, \[\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(x, y)=(2,0)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} .\] De ahí la ecuación de la línea tangente a\(H\) at\((2,0)\) es \[y=\frac{1}{2}(x-2) .\] Ver Figura 1.11.3.

    1-11-3.png

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra\(\frac{d y}{d x}\) si\(y^{2}+8 x y-x^{2}=10\).

    Contestar

    \(\frac{d y}{d x}=\frac{x-4 y}{4 x+y}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(x, y)=(2,-1)}\) si\(x^{2} y+3 x y-12 y=2\).

    Contestar

    \(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(x, y)=(2,-1)}=-\frac{7}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra la ecuación de la línea tangente al círculo con ecuación\(x^{2}+y^{2}=25\) en el punto\((3,4)\).

    Contestar

    \(y=-\frac{3}{4}(x-3)+4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra la ecuación de la línea tangente a la elipse con ecuación\(x^{2}+x y+y^{2}=19\) en el punto\((2,3)\).

    Contestar

    \(y=-\frac{7}{8}(x-2)+3\)

    La técnica descrita anteriormente, conocida como diferenciación implícita, también es útil para encontrar tasas de cambio para variables relacionadas por una ecuación. Los siguientes ejemplos ilustran esta idea, siendo el primero similar a los ejemplos que vimos anteriormente al discutir la regla de la cadena.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que se está vertiendo aceite sobre la superficie de un cuerpo de agua tranquilo. A medida que el aceite se extiende, forma un cilindro circular derecho cuyo volumen es

    \[V=\pi r^{2} h ,\] donde\(r\) y\(h\) son, respectivamente, el radio y la altura del cilindro. Ahora supongamos que el petróleo se está derramando a razón de 10 centímetros cúbicos por segundo y que la altura se mantenga constante de 0.25 centímetros. Entonces el volumen del cilindro va aumentando a una velocidad de 10 centímetros cúbicos por segundo, así que \[\frac{d V}{d t}=10 \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{sec}\] en cualquier momento\(t .\) Ahora con\(h=0.25\), \[V=0.25 \pi r^{2} ,\] así \[\frac{d V}{d t}=\frac{1}{2} \pi r \frac{d r}{d t} .\] Por lo tanto \[\frac{d r}{d t}=\frac{2}{\pi r} \frac{d V}{d t}=\frac{20}{\pi r} \mathrm{cm} / \mathrm{sec} .\] Por ejemplo, si\(r=10\) centímetros en algún momento\(t=t_{0},\) entonces \[\left.\frac{d r}{d t}\right|_{t=t_{0}}=\frac{20}{10 \pi}=\frac{2}{\pi} \approx 0.6366 \mathrm{cm} / \mathrm{sec} .\]

    1-11-4.png

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que el barco se\(A,\) dirigía hacia el norte a 20 millas por hora, y el barco que se\(B,\) dirigía hacia el este a 30 millas por hora, ambos pasan por el mismo punto\(P\)\(A\) en el océano, barco al mediodía y barco\(B\) dos horas después (ver Figura 1.11.4) Si dejamos\(x\) denotar la distancia desde \(A\)a\(P\)\(t\) horas después del mediodía,\(y\) denotan el

    distancia de\(B\) a\(P\)\(t\) horas después del mediodía, y\(z\) denotar la distancia de\(A\) a\(B\)\(t\) horas después del mediodía, entonces, por el teorema de Pitágoras, \[z^{2}=x^{2}+y^{2} .\] Diferenciando esta ecuación con respecto a\(t\), encontramos \[2 z \frac{d z}{d t}=2 x \frac{d x}{d t}+2 y \frac{d y}{d t} ,\] o \[z \frac{d z}{d t}=x \frac{d x}{d t}+y \frac{d y}{d t} .\] Por ejemplo, a las 4 de la tarde, es decir, cuando\(t=4,\) sabemos eso \[\begin{array}{l}{x=(4)(20)=80 \text { miles, }} \\[12pt] {y=(2)(30)=60 \text { miles, }}\end{array}\] y \[z=\sqrt{80^{2}+60^{2}}=100 \text { miles, }\] así \[100 \frac{d z}{d t}=80 \frac{d x}{d t}+60 \frac{d y}{d t} \text { miles / hour. } \] Desde en cualquier momento\(t\), \[\frac{d x}{d t}=20 \text { miles } / \text { hour }\] y \[\frac{d y}{d t}=30 \text { miles /hour, }\] tenemos \[\left.\frac{d z}{d t}\right|_{t=4}=\frac{(80)(20)+(60)(30)}{100}=34 \text { miles /hour. }\]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Supongamos que el volumen de un cubo está creciendo a una tasa de 150 centímetros cúbicos por segundo. Encuentra la velocidad a la que crece la longitud de un lado del cubo cuando cada lado del cubo es de 10 centímetros.

    Contestar

    \(\frac{1}{2} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Un avión vuela sobre un punto\(P\) en la superficie de la tierra a una altura de 4 millas. Encuentra la tasa de cambio de la distancia entre\(P\) y el avión un minuto después si el avión viaja a 300 millas por hora.

    Contestar

    234.26 millas\(/\) hora

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Supongamos que la longitud de un rectángulo está creciendo a una velocidad de 2 centímetros por segundo y su ancho está creciendo a una velocidad de 4 centímetros por segundo. Encuentra la tasa de cambio del área del rectángulo cuando la longitud es de 10 centímetros y el ancho es de 12 centímetros.

    Contestar

    \(64 \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{sec}\)


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