2.2: Integrales definidas

Ahora consideraremos otro enfoque para resolver el problema de encontrar la función de posición dada una función de velocidad. Como antes, supongamos\(v(t)\) especifica, en\(t,\) el momento la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta, comenzando en el tiempo\(t=a\) y terminando en el tiempo\(t=b .\) Let\(x(t)\) ser la posición del objeto a la vez\(t\) y dejar\(x_{0}=x(a)\) ser la posición inicial del objeto.

Recordemos que si un objeto viaja a velocidad constante\(r\) durante un tiempo\(T,\) entonces su cambio de posición es simplemente\(r T\) (a la derecha si\(r>0\) y a la izquierda si\(r<0\)). De ello se deduce que si\(v(t)\) fueran constantes, digamos\(v(t)=r\) por algún número real fijo\(r\) y todo\(t\) en\([a, b],\) entonces

\[x(t)=x(a)+r(t-a)=x_{0}+r(t-a) \]

ya que el objeto habrá estado viajando, después de comenzar\(x_{0},\) a una velocidad\(r\) por un período de tiempo de longitud\(t-a .\)

Si no\(v(t)\) es constante, pero no varía mucho, entonces\((2.2 .1)\) dará una buena aproximación a\(x(t) .\) En general,\(v\) puede cambiar significativamente a lo largo del intervalo, pero, siempre y cuando\(v\) sea una función continua, podemos\([a, b]\) subdividir en pequeños intervalos para los cuales\(v(t)\) no cambia mucho a lo largo de ningún subintervalo dado. Es decir, si elegimos puntos\(t_{0}, t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}\) tales que

\[a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}=b ,\]

let\(\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}\) for\(i=1,2,3, \ldots, n,\) y elige números reales para\(t_{1}^{*}, t_{2}^{*}, t_{3}^{*}, \ldots,\)\(t_{n}^{*}\) que\(t_{i-1} \leq t_{i}^{*} \leq t_{i},\) luego\(v\left(t_{i}^{*}\right) \Delta t_{i} \) se aproxime bien el cambio de posición del objeto de vez en cuando\(t=t_{i},\) siempre\(t=t_{i-1}\) que\(v\) sea continuo y\(\Delta t_{i}\) sea pequeño. De ello se deduce que podemos aproximar la posición del objeto en el momento\(t=b\) sumando todos los cambios aproximados de posición a lo largo de los subintervalos. Es decir,

\[x(b) \approx x(a)+v\left(t_{1}^{*}\right) \Delta t_{1}+v\left(t_{2}^{*}\right) \Delta t_{2}+\cdots+v\left(t_{n}^{*}\right) \Delta t_{n} .\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

En un ejemplo anterior, teníamos\(v(t)=-20 \sin (5 t)\) centímetros por segundo y\(x(0)=4\) centímetros. Para\(x(2),\) aproximarnos\([0,2]\) dividiremos en cuatro subintervalos iguales, cada uno de longitud Es\(0.5 .\) decir, tomaremos

\[t_{0}=0.0, t_{1}=0.5, t_{2}=1, t_{3}=1.5, t_{4}=2,\]

y

\[\Delta t_{1}=0.5, \Delta t_{2}=0.5, \Delta t_{3}=0.5, \Delta t_{4}=0.5.\]

Las buenas opciones para los puntos a evaluar\(v(t)\) son los puntos medios de los subintervalos. En este caso, eso significa que debemos tomar

\[t_{1}^{*}=0.25, t_{2}^{*}=0.75, t_{3}^{*}=1.25, t_{4}^{*}=1.75.\]

Entonces tenemos

\[\begin{aligned} x(2) &\approx x(0)+v(0.25) \Delta t_{1}+v(0.75) \Delta t_{2}+v(1.25) \Delta t_{3}+v(1.75) \Delta t_{4} \\ &= 4-20 \sin (1.25)(0.5)-20 \sin (3.75)(0.5)-20 \sin (6.25)(0.5) \\ &-20 \sin (8.75)(0.5) \\ &\approx-5.6897, \end{aligned}\]

Tenga en cuenta que, de nuestro trabajo anterior, sabemos que la respuesta exacta es

\[x(2)=4 \cos (10) \approx-3.3563.\]

Podemos mejorar nuestra aproximación mediante el uso de subintervalos más pequeños. Por ejemplo, si\([0,2]\) dividimos en 10 subintervalos iguales, cada uno de longitud\(0.2,\) entonces tendríamos

\[\begin{array}{l}{t_{0}=0.0, t_{1}=0.2, t_{2}=0.4, t_{3}=0.6, t_{4}=0.8, t_{5}=1.0,} \\ {t_{6}=1.2, t_{7}=1.4, t_{8}=1.6, t_{9}=1.8, t_{10}=2.0}\end{array}\]

y

\[\Delta t_{1}=\Delta t_{2}=\cdots=\Delta t_{10}=0.2.\]

Si evaluamos nuevamente\(v(t)\) en los puntos medios, entonces tomamos

\[\begin{array}{l}{t_{1}^{*}=0.1, t_{2}^{*}=0.3, t_{3}^{*}=0.5, t_{4}^{*}=0.7, t_{5}^{*}=0.9,} \\ {t_{6}^{*}=1.1, t_{7}^{*}=1.3, t_{8}^{*}=1.5, t_{9}^{*}=1.7, t_{10}^{*}=1.9.}\end{array}\]

De ahí que tengamos

\[\begin{aligned} x(2) & \approx x(0)+v(0.1) \Delta t_{1}+v(0.3) \Delta t_{2}+v(0.5) \Delta t_{3}+\cdots+v(1.9) \Delta t_{10} \\ &=4+0.2(v(0.1)+v(0.3)+v(0.5)+\cdots+v(1.9)) \\ &=4+0.2(-20 \sin (0.5)-20 \sin (1.5)-20 \sin (2.5)-\cdots-20 \sin (9.5)) \\ &\approx-3.6720, \end{aligned}\]

una mejora significativa con respecto a nuestra primera aproximación.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que la velocidad de un objeto en el momento\(t\) es\(v(t)=10 \sin (t)\) centímetros por segundo. Dejar\(x(t)\) ser la posición del objeto en el tiempo\(t .\) Si\(x(0)=10\) centímetros, utilice la técnica del ejemplo anterior para aproximar\(x(3)\) usando\((\mathrm{a}) n=6\) y\((\mathrm{b}) n=12\) subintervalos.

Responder

a) 30.11 centímetros, b) 29.95 centímetros

Una pregunta que surge inmediatamente es por qué querríamos encontrar aproximaciones a la función position cuando ya sabemos cómo encontrar la función position exactamente usando una integral. Hay dos respuestas. En primer lugar, no siempre es posible encontrar una integral para una función dada, incluso cuando existe una integral. Por ejemplo, si la función de velocidad en el ejemplo anterior fuera\(v(t)=-20 \sin \left(5 t^{2}\right),\) entonces no sería posible escribir una expresión para la integral de\(v\) en términos de las funciones elementales del cálculo. En este caso, lo mejor que podríamos hacer es buscar buenas aproximaciones para la función de posición\(x .\)

En segundo lugar, este enfoque también conduce a una expresión exacta para la función position. Si dejamos\(N\) ser un entero positivo infinitamente grande y\([a, b]\) dividimos en un número infinito de subintervalos iguales de longitud infinitesimal

\[d t=\frac{b-a}{N},\]

entonces deberíamos esperar que

\[x(b) \simeq x(a)+v\left(t_{1}^{*}\right) d t+v\left(t_{2}^{*}\right) d t+\cdots+v\left(t_{N}^{*}\right) d t,\]

donde, similar al trabajo anterior,\(t_{i}^{*}\) es un número hiperreal en el subintervalo\(i\) th. Reescribiendo esto como

\[x(b)-x(a) \simeq v\left(t_{1}^{*}\right) d t+v\left(t_{2}^{*}\right) d t+\cdots+v\left(t_{N}^{*}\right) d t,\]

estamos diciendo que el cambio de posición del objeto de vez\(t=a\) en cuando\(t=b\) es igual a una suma infinita de cambios infinitesimales. Si bien Zenón tenía razón al decir que una suma infinita de ceros sigue siendo cero, una suma infinita de valores infinitesimales no necesita ser infinitesimal.

El lado derecho de\((2.2 .7)\) proporciona la motivación para la siguiente definición.

Definición

Supongamos que\(f\) es una función continua en un intervalo delimitado cerrado\([a, b] .\) Dado un entero positivo\(N,\) finito o infinito, llamamos a un conjunto de números\(\left\{t_{0}, t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}\right\}\) una partición de\([a, b]\) si

\[a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{N}=b.\]

Dada tal partición de\([a, b],\) let\(t_{i}^{*}\) denotar un número con\(t_{i-1} \leq t_{i}^{*} \leq t_{i}\) y

let\(\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1},\) donde\(i=1,2,3, \ldots, N .\) Llamamos a una suma de la forma

\[\sum_{i=1}^{N} f\left(t_{i}^{*}\right) \Delta t_{i}=f\left(t_{1}^{*}\right) \Delta t_{1}+f\left(t_{2}^{*}\right) \Delta t_{2}+f\left(t_{3}^{*}\right) \Delta t_{3}+\cdots+f\left(t_{N}^{*}\right) \Delta t_{N}\]

una suma de Riemann. Si\(N\) es infinito y la partición forma subintervalos de igual longitud

\[d t=\Delta t_{1}=\Delta t_{2}=\cdots=\Delta t_{n},\]

entonces llamamos a la sombra de la suma de Riemann la integral definitiva de\(a\) a\(f\) partir de la\(b,\) cual denotamos

\[\int_{a}^{b} f(t) d t.\]

Es decir,

\[\int_{a}^{b} f(t) d t=\operatorname{sh}\left(\sum_{i=1}^{N} f\left(t_{i}^{*}\right) d t\right).\]

Tenga en cuenta que\((2.2 .12)\) para que tenga sentido, necesitamos que la suma de Riemann en el lado derecho sea finita (por lo que tiene una sombra) y que tenga la misma sombra para todas las elecciones de enteros infinitos\(N\) y puntos de evaluación\(t_{i}^{*}\) (por lo que la integral definida tiene un valor único). Ambos son ciertos para funciones continuas en intervalos delimitados cerrados, pero las verificaciones nos llevarían a propiedades sutiles de funciones continuas más allá del alcance de este texto.

En términos de funciones de velocidad y posición, si\(v(t)\) es la velocidad y\(x(t)\) la posición de un objeto moviéndose a lo largo de una línea recta de vez\(t=a\) en cuando\(t=b, \text { we may now write (combining }(2.2 .7) \text { with }(2.2 .12))\)

\[x(b)-x(a)=\int_{a}^{b} v(t) d t.\]

Ya que\(v\) es la derivada de\(x,\) podríamos preguntar si\((2.2 .13)\) es cierto para alguna función diferenciable. Es decir, si\(f\) es diferenciable en un intervalo que contiene los números reales\(a\) y\(b,\) es siempre el caso que

\[f(b)-f(a)=\int_{a}^{b} f^{\prime}(t) d t ?\]

Esto es de hecho cierto, pero requiere más explicación que solo el enfoque intuitivo de nuestro ejemplo con posiciones y velocidades. Volveremos a este importante resultado, que llamamos el teorema fundamental del cálculo, después de desarrollar algunas propiedades de integrales definidas.