2.3: Propiedades de Integrales Definitivas

Supongamos que\(f\) es una función continua en un intervalo cerrado\([a, b] .\) Let\(N\) be a positive infinite integer,\(d x=\frac{b-a}{N},\) y, for\(i=1,2, \cdots, N,\) let\(x_{i}^{*}\) a number in the\(i\) th subinterval of\([a, b]\) when it is particionado en\(N\) intervalos de igual longitud\(d x .\)

Primero notamos que si\(f(x)=1\) para todos\(x\) en\([a, b],\) entonces

\[\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}^{*}\right) d x=\sum_{i=1}^{N} d x=b-a\]ya que la suma de las longitudes de los subintervalos debe ser la longitud del intervalo. De ahí

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} d x=b-a .\]De manera más general, si\(f(x)=k\) para todos\(x\) en\([a, b],\) donde\(k\) hay un número real fijo, entonces

\[\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}^{*}\right) d x=\sum_{i=1}^{N} k d x=k \sum_{i=1}^{N} d x=k(b-a) ,\]y así

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} k d x=k(b-a) .\]Es decir, la integral definitiva de una constante es la constante multiplicada por la longitud del intervalo. En particular, la integral de 1 sobre un intervalo es simplemente la longitud del intervalo. Si\(f\) es una función continua arbitraria y\(k\) es una constante fija, entonces

\[\sum_{i=1}^{N} k f\left(x_{i}^{*}\right) d x=k \sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i} *\right) d x ,\]y así

\[\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x .\]Es decir, la integral definida de un tiempo constante\(f\) es los tiempos constantes la integral definida de\(f .\) Si también\(g\) es una función continua en\([a, b],\) entonces

\[\sum_{i=1}^{N}\left(f\left(x_{i}^{*}\right)+g\left(x_{i}^{*}\right)\right) d x=\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}^{*}\right) d x+\sum_{i=1}^{N} g\left(x_{i}^{*}\right) d x ,\]y así

\[\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x .\]Ahora supongamos que\(c\) es otro número real con\(a<c<b\). Si el intervalo cerrado\([a, c]\) es divisible en\(M\) intervalos de longitud\(d x,\) donde\(M\) es un entero infinito positivo menor que\(N,\) entonces

\[\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}^{*}\right) d x=\sum_{i=1}^{M} f\left(x_{i}^{*}\right) d x+\sum_{i=M+1}^{N} f\left(x_{i}^{*}\right) d x \]implica que

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x .\]Esto es un reflejo de nuestra intuición de que, para un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta, el cambio de posición de vez en cuando\(t=b\) es igual al cambio de posición de\(t=a\) tiempo tiempo\(t=c\) más el cambio de posición de vez\(t=c\) en cuando\(t=b\).\(t=a\) Aunque asumimos que\([a, c]\) era divisible en un número entero de subintervalos de longitud\(d x,\) el resultado se mantiene en general. Las propiedades finales que consideraremos giran en torno a una desigualdad básica. Si\(f\) y ambos\(g\) son continuos\([a, b]\) con\(f(x) \leq g(x)\) para todos\(x\) en\([a, b],\) entonces

\[\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}^{*}\right) d x \leq \sum_{i=1}^{N} g\left(x_{i}^{*}\right) d x ,\]de lo que se deduce que

\[\int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} g(x) d x .\]Por ejemplo, si\(m\) y\(M\) son constantes con\(m \leq f(x) \leq M\) para todos\(x\) en\([a, b],\) entonces

\[\int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x ,\]y así

\[m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) .\]Tenga en cuenta, en particular, que si\(f(x) \geq 0\) para todos\(x\) en\([a, b],\) entonces

\[\int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0 .\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

De la observación de que

\[f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \nonumber\]

está aumentando\((-\infty, 0]\) y disminuyendo en\([0, \infty),\) es fácil ver que

\[\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+x^{2}} \leq 1 \nonumber\]

para todos\(x\) en\([-1,1] .\) De ahí

\[1 \leq \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \leq 2 .\nonumber\]

Eventualmente veremos, en Ejemplo\(2.6.20,\) que

\[\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x=\frac{\pi}{2} \approx 1.5708 . \nonumber\]

Ya que para cualquier número real\(a,-|a| \leq a \leq|a|\) (de hecho, ya sea\(a=|a|\) o\(a=-|a|),\) tenemos

\[-|f(x)| \leq f(x) \leq|f(x)| \]para todos\(x\) en\([a, b] .\) De ahí

\[-\int_{a}^{b}|f(x)| d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b}|f(x)| d x ,\nonumber\]

o, equivalentemente,

\[\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)| d x . \nonumber\]

Observe que, dado que la integral definida es solo una versión generalizada de la suma, este resultado es una generalización de la desigualdad triangular: Dados los números reales\(a\) y\(b\),

\[|a+b| \leq|a|+|b| .\]El siguiente teorema resume las propiedades de integrales definidas que hemos discutido anteriormente.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(f\) y\(g\) son funciones continuas en\([a, b], c\) es cualquier número real con\(a<c<b,\) y\(k\) es un número real fijo. Entonces

1. \(\int_{a}^{b} k d x=k(b-a)\),
2. \(\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x\),
3. \(\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x\),
4. \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\),
5. si\(f(x) \leq g(x)\) para todos\(x\) en\([a, b],\) entonces\(\int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} g(x) d x\),
6. si\(m \leq f(x) \leq M\) para todos\(x\) en\([a, b],\) entonces\(m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a)\),
7. \(\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)| d x\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que

\[\frac{1}{2} \leq \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x \leq 1 .\]