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# 2.4: El teorema fundamental de las integrales

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El teorema principal de esta sección es clave para comprender la importancia de las integrales definidas. En particular, lo vamos a invocar en el desarrollo de nuevas aplicaciones para integrales definidas. Además, lo usaremos para verificar el teorema fundamental del cálculo.

Primero necesitamos alguna nueva notación y terminología. Supongamos que$$\epsilon$$ es un infinitesimal distinto de cero. Intuitivamente,$$\epsilon$$ es infinitamente más pequeño que cualquier número real distinto de cero. Una forma de expresar esto es señalar que para cualquier número real distinto de cero$$r$$, es$\frac{\epsilon}{r} \simeq 0 ,$ decir, la relación de$$\epsilon$$ a$$r$$ es infinitesimal. Ahora también tenemos es$\frac{\epsilon^{2}}{\epsilon}=\epsilon \simeq 0 ,$ decir, la proporción de$$\epsilon^{2}$$ a$$\epsilon$$ es un infinitesimal. Intuitivamente, esto significa que$$\epsilon^{2}$$ es infinitamente más pequeño que$$\epsilon$$ él mismo. Esto está relacionado con un hecho sobre números reales: Para cualquier número real$$r$$ con$$0<r<1, r^{2}$$ es menor que$$r .$$ Por ejemplo, si$$r=0.01,$$ entonces$$r^{2}=0.0001$$.

Definición

Dado un número hiperreal distinto de cero$$\epsilon,$$ decimos que otro número hiperreal$$\delta$$ es de un orden menor que$$\epsilon$$ si$$\frac{\delta}{\epsilon}$$ es un infinitesimal, en cuyo caso escribimos$$\delta \sim o(\epsilon) .$$

En otras palabras, tenemos$\delta \sim o(\epsilon) \text { if and only if } \frac{\delta}{\epsilon} \simeq 0 .$

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Si$$\alpha$$ es algún infinitesimal, que$$\alpha \sim o(1)$$ ya$$\frac{\alpha}{1}=\alpha$$ es un infinitesimal.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Si$$\epsilon$$ es cualquier infinitesimal distinto de cero, entonces$$\epsilon^{2} \sim o(\epsilon)$$ desde

$\frac{\epsilon^{2}}{\epsilon}=\epsilon \simeq 0 .$

Ahora supongamos que$$N$$ es un entero infinito positivo,$$\epsilon=\frac{1}{N},$$ y$$\delta_{i} \sim o(\epsilon)$$ para$$i=1,2, \ldots, N .$$ Entonces, para cualquier número real positivo$$r,$$

$\frac{\left|\delta_{i}\right|}{\epsilon}<r ,$y así$\sum_{i=1}^{N} \frac{\left|\delta_{i}\right|}{\epsilon}<r N .$ multiplicando ambos lados por$$\epsilon,$$ tenemos$\sum_{i=1}^{N}\left|\delta_{i}\right|<r N \epsilon=r N \frac{1}{N}=r .$ Dado que esto sostiene para todos los números reales positivos$$r,$$ se deduce que$$\sum_{i=1}^{N}\left|\delta_{i}\right|$$ es un infinitesimal. Ahora$\left|\sum_{i=1}^{N} \delta_{i}\right| \leq \sum_{i=1}^{N}\left|\delta_{i}\right| ,$ y así podemos concluir que$$\sum_{i=1}^{n} \delta_{i}$$ es un infinitesimal. En palabras, la suma de$$N$$ infinitesimales de orden menor que$$\frac{1}{N}$$ sigue siendo un infinitesimal. Ahora supongamos que$$B$$ es una función que para cualquier número real$$a<b$$ en un intervalo abierto$$I$$ asigna un valor$$B(a, b) .$$ Además, supongamos$$B$$ tiene las siguientes dos propiedades: • para cualquiera$$a<c<b$$ en$$I, B(a, b)=B(a, c)+B(c, b),$$ y • para alguna función continua$$h$$ y cualquier distinto de cero infinitesimal$$d x$$,$B(x, x+d x)-h(x) d x \sim o(d x)$ para cualquiera$$x$$ en$$I$$. Para un entero infinito positivo$$N,$$ let$$d x=\frac{b-a}{N}$$ y let$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{N}=b$ ser una partición de$$[a, b]$$ en intervalos$$N$$ iguales de longitud$$d x .$$ Entonces\begin{aligned} B(a, b) &=B\left(x_{0}, x_{1}\right)+B\left(x_{1}, x_{2}\right)+B\left(x_{2}, x_{3}\right)+\cdots+B\left(x_{N-1}, x_{N}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N} B\left(x_{i-1}, x_{i-1}+d x\right) \\ &\left.=\sum_{i=1}^{N}\left(B\left(x_{i-1}, x_{i-1}+d x\right)-h\left(x_{i-1}\right) d x\right)+h\left(x_{i-1}\right) d x\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N}\left(B\left(x_{i-1}, x_{i-1}+d x\right)-h\left(x_{i-1}\right) d x\right)+\sum_{i=1}^{N} h\left(x_{i-1}\right) d x \\ & \simeq \sum_{i=1}^{N}\left(B\left(x_{i-1}, x_{i-1}+d x\right)-h\left(x_{i-1}\right) d x\right)+\int_{a}^{b} h(x) d x .\end{aligned} Dado que la suma final a la derecha es la suma de$$N$$ infinitesimales de orden menor de$$\frac{1}{N},$$ lo que sigue que $B(a, b)=\int_{a}^{b} h(x) d x .$Este resultado es básico para comprender tanto el cálculo de integrales definidas como sus aplicaciones. Lo llamamos el teorema fundamental de las integrales.

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Supongamos que$$B$$ es una función que para cualquier número real$$a<b$$ en un intervalo abierto$$I$$ asigna un valor$$B(a, b)$$ y satisface

• para cualquiera$$a<c<b$$ en$$I, B(a, b)=B(a, c)+B(c, b),$$ y • para alguna función continua$$h$$ y cualquier infinitesimal distinto de cero$$d x$$,$B(x, x+d x)-h(x) d x \sim o(d x)$ para cualquiera$$x$$ en$$I$$. Entonces$B(a, b)=\int_{a}^{b} h(x) d x$ para cualquier número real$$a$$ y$$b$$ en$$I$$.

Analizaremos varias aplicaciones de integrales definidas en la siguiente sección. Por ahora, observamos cómo este teorema proporciona un método para evaluar integrales. Es decir, dada una función$$f$$ que es diferenciable en un intervalo abierto$$I,$$ definir, para cada$$a<b$$ en$$I$$,

$B(a, b)=f(b)-f(a).$Entonces, para cualquiera$$a, b,$$ y$$c$$$$I$$ con$$a<c<b$$,\begin{aligned} B(a, b) &=f(b)-f(a) \\ &=(f(b)-f(c))+(f(c)-f(a)) \\ &=B(a, c)+B(c, b). \end{aligned} Por otra parte, para cualquier infinitesimal$$d x$$ y cualquiera$$x$$ en$$I$$,$\frac{B(x, x+d x)}{d x}=\frac{f(x+d x)-f(x)}{d x} \simeq f^{\prime}(x),$ de lo que se deduce que$\frac{B(x, x+d x)-f^{\prime}(x) d x}{d x}$ es un infinitesimal. De ahí$B(x, d x)-f^{\prime}(x) d x \sim o(d x),$ y así se deduce del Teorema 2.4.1 que$f(b)-f(a)=B(a, b)=\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) d x,$ Este es el teorema fundamental del cálculo.

Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si$$f$$ es diferenciable en un intervalo abierto$$I,$$ entonces para cada$$a<b$$ entrada$$I$$,

$\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) d x=f(b)-f(a).$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Evaluar

$\int_{0}^{1} x d x,$primero notamos que$$g(x)=x$$ es la derivada de$$f(x)=\frac{1}{2} x^{2} .$$ Por lo tanto, por Teorema$$2.4 .2,$$$\int_{0}^{1} x d x=f(1)-f(0)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$ Vamos$\left.f(x)\right|_{a} ^{b}=f(b)-f(a)$ a escribir para simplificar la notación para evaluar una integral usando Teorema$$2.4 .2 .$$ Con esta notación, el ejemplo anterior se vuelve$\int_{0}^{1} x d x=\left.\frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.$

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Desde

$\int x^{2} d x=\frac{1}{3} x^{3}+c,$tenemos$\int_{1}^{2} x^{2} d x=\left.\frac{1}{3} x^{3}\right|_{1} ^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.$

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Desde

$\int-20 \sin (5 x) d x=4 \cos (5 x)+c,$tenemos$\int_{0}^{2 \pi}-20 \sin (5 t) d t=\left.4 \cos (5 t)\right|_{0} ^{2 \pi}=4-4=0.$ Nótese que si consideramos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad$$v(t)=-20 \sin (5 t),$$ entonces esta integral definida computa el cambio de posición del objeto de vez$$t=0$$$$t=2 \pi .$$ en cuando En este caso, el objeto, aunque siempre en movimiento, está en el mismo posición en el tiempo$$t=2 \pi$$ como lo era en el momento$$t=2 \pi$$.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Evaluar$$\int_{0}^{1} x^{4} d x$$.

Responder

$$\int_{0}^{1} x^{4} d x=\frac{1}{5}$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Evaluar$$\int_{0}^{\pi} \sin (x) d x$$.

Responder

$$\int_{0}^{\pi} \sin (x) d x=2$$

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Supongamos que la velocidad de un objeto que se mueve por una línea recta es de$$v(t)=10 \sin (t)$$ centímetros por segundo. Encuentra el cambio de posición del objeto de vez$$t=0$$ en cuando$$t=\pi$$.

Responder

20 centímetros

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