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2.5: Aplicaciones de Integrales Definidas

  • Page ID
    117247
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En esta sección veremos varios ejemplos de aplicaciones para integrales definidas.

    2.5.1. Área entre curvas

    Considerar dos funciones continuas\(f\) y\(g\) en un intervalo abierto\(I\) con\(f(x) \leq g(x)\) para todos\(x\) en\(I .\) Para cualquiera\(a<b\) en\(I,\) dejar\(R(a, b)\) ser la región en el plano que consiste en los puntos\((x, y)\) para los cuales\(a \leq x \leq b\) y\(f(x) \leq y \leq g(x)\). Es decir,\(R(a, b)\) está delimitado arriba por la curva de\(y=g(x),\) abajo por la curva de\(y=f(x),\) la izquierda por la línea vertical\(x=a,\) y a la derecha por la línea vertical\(x=b,\) como en la Figura\(2.5 .1 .\) Let

    \[A(a, b)=\operatorname{area} \text { of } R(a, b).\]

    Figura-2.5.1.png

    Claramente, para cualquier\(a \leq c \leq b\),

    \[A(a, b)=A(a, c)+A(c, b).\]Ahora para un infinitesimal\(x\) in\(I\) y un positivo\(d x,\) deja\(c\) ser el punto en el que\(g(u)-f(u)\) alcanza su valor mínimo para\(x \leq u \leq x+d x\) y deja\(d\) ser el punto en el que\(g(u)-f(u)\) alcanza su valor máximo para\(x \leq u \leq x+d x .\) Entonces\[(g(c)-f(c)) d x \leq A(x, x+d x) \leq(g(d)-f(d)) d x.\] Por otra parte, ya que \[g(c)-f(c) \leq g(x)-f(x) \leq g(d)-f(d),\]también tenemos\[(g(c)-f(c)) d x \leq(g(x)-f(x)) d x \leq(g(d)-f(d)) d x.\] Putting\((2.5 .3)\) and\((2.5 .5)\) together, tenemos\[|A(x, d x)-(g(x)-f(x)) d x| \leq((g(d)-f(d))-(f(c)-g(c))) d x\] o\[\frac{|A(x, d x)-(g(x)-f(x)) d x|}{d x} \leq(g(d)-f(d))-(f(c)-g(c))\] Ahora desde\(c \simeq x\) y\(d \simeq x\),\[(g(d)-f(d))-(g(c)-f(c))=(g(d)-g(c))+(f(c)-f(d)) \simeq 0.\]

    Figura-2.5.2.. png

    De ahí

    \[A(x, d x)-(g(x)-f(x)) d x \sim o(d x).\]Ahora se deduce del Teorema 2.4.1 que\[A(a, b)=\int_{a}^{b}(g(x)-f(x)) d x.\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(A\) ser el área de la región\(R\) delimitada por las curvas con ecuaciones\(y=x^{2}\) y\(y=x+2 .\) Tenga en cuenta que estas curvas se cruzan cuando\(x^{2}=x+2,\) es cuando es cuando

    \[0=x^{2}-x-2=(x+1)(x-2).\]De ahí que se crucen en los puntos\((-1,1)\)\((2,4),\) y y así lo\(R\) es la región en el plano delimitada arriba por la curva de\(y=x+2,\) abajo por\(y=x^{2},\) la curva de la derecha por\(x=-1,\) y a la izquierda por\(x=2 .\) Ver Figura\(2.5 .2 .\) Así tenemos\[\begin{aligned} A &=\int_{-1}^{2}\left(x+2-x^{2}\right) d x \\ &=\left.\left(\frac{1}{2} x^{2}+2 x-\frac{1}{3} x^{3}\right)\right|_{-1} ^{2} \\ &=\left(2+4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right) \\ &=\frac{9}{2}. \end{aligned}\]

    Figura-2.5.3.. png

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra el área de la región delimitada por las curvas\(y=x\) y\(y=x^{2}\).

    Contestar

    \(\frac{1}{6}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra el área de la región delimitada por las curvas\(y=x^{2}\) y\(y=2-x^{2}\).

    Contestar

    \(\frac{8}{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra el área de la región delimitada por las curvas\(y=\sqrt{x}\) y\(y=x\).

    Contestar

    \(\frac{1}{6}\)

    Ahora consideremos una función continua\(f\) en un intervalo\([a, b]\) con\(f(x) \geq 0\) para todos\(x\) en\([a, b] .\) Si\(A\) es el área de la región\(R\) delimitada arriba por la gráfica de\(y=f(x),\) abajo por la gráfica de\(y=0\) (es decir, el\(x\) eje -), a la derecha por el línea vertical\(x=a \text { , and on the left by the graph of } x=b \text { (see Figure } 2.5 .3),\) entonces

    \[A=\int_{a}^{b}(f(x)-0) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x.\]Esto nos da una interpretación geométrica para una integral definida de una función no negativa\(f\) sobre un intervalo\([a, b]\) como el área debajo de la gráfica de\(f\) y por encima del\(x\) -eje. el\(x\) eje, entonces Es\[A=\int_{a}^{b}(0-f(x)) d x=-\int_{a}^{b} f(x) d x.\] decir, la integral definida de un no positivo función\(f\) sobre un intervalo\([a, b]\) es el negativo del área por encima de la gráfica\(f\) y debajo del\(x\) eje. En general, dada una función continua\(f\) sobre un intervalo deja\(R\) ser la región delimitada por el\(x\) eje -y la gráfica de\(y=f(x) .\) Si\(A^{+}\) es el área de la parte de la\(R\) cual se encuentra por encima del\(x\) eje -y\(A^{-}\) es el área de la parte de \(R\)que se encuentra por debajo del\(x\) eje, entonces\[\int_{a}^{b} f(x) d x=A^{+}-A^{-}.\]

    Figura-2.5.4.. png

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Tenga en cuenta que

    \[\int_{0}^{2 \pi} \sin (x) d x=-\left.\cos (x)\right|_{0} ^{2 \pi}=-1+1=0.\]Geométricamente, podemos ver este resultado en la Figura\(2.5 .5 .\) Si\(R^{+}\) es la región debajo de la gráfica de\(y=\sin (x)\) sobre el intervalo\([0, \pi]\) y\(R^{-}\) es la región por encima de la gráfica de\(y=\sin (x)\) sobre el intervalo\([0,2 \pi],\) entonces estas dos regiones tienen la misma área. De ahí la integral, que es el área de\(R^{+}\) menos el área de\(R^{-},\) es\(0 .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Evaluar

    \[\int_{-1}^{1} x^{3} d x \nonumber\]

    y explicar el resultado geométricamente.

    Contestar

    0

    Figura-2.5.5.. png

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Evaluar

    \[\int_{-1}^{2} x d x\]y explicar el resultado geométricamente.

    Contestar

    \(\frac{3}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Explicar, geométricamente, por qué

    \[\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x=\frac{\pi}{2}.\]

    2.5.2 Volúmenes

    Considera un cuerpo tridimensional\(B\). Dada una línea, que llamaremos el\(z\) -eje, deja\(V(a, b)\) ser el volumen del\(B\) cual se encuentra entre planos que son perpendiculares al\(z\) eje y pasan a través\(z=a\) y\(z=b .\) Claramente, para cualquiera\(a<c<b\),

    \[V(a, b)=V(a, c)+V(c, b).\]Ahora supongamos que, para cualquiera\(a \leq x \leq b, R(z)\) es una sección transversal de\(B\) perpendicular al\(z\) eje -eje. Ver Figura\(2.5 .6 .\) Dejar\(A(z)\) ser el área de\(R(z) .\) Asumimos\(A\) es una función continua de\(z .\) Para un infinitesimal positivo\(d z,\) dejar\(A\) tener, en el intervalo\([z, z+d z],\) un valor mínimo en\(c\) y un valor máximo en\(d .\) Entonces\[A(c) d z \leq V(z, z+d z) \leq A(d) d z.\] Desde también tenemos\(A(c) \leq A(z) \leq A(d),\) se deduce que\[|V(z, z+d z)-A(z) d z| \leq(A(d)-A(c)) d z.\] Así\[\frac{|V(z, z+d z)-A(z) d z|}{d z} \leq A(d)-A(c).\] Desde\(A\) es continuo y\(d \simeq z\) y\(c \simeq z, A(d)-A(c)\) es infinitesimal. \[V(z, z+d z)-A(z) d z \sim o(d z),\]De ahí que se deduce, por el Teorema 2.4.1, que\[V(a, b)=\int_{a}^{b} A(z) d z.\]

    Figura-2.5.6.. png

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    La esfera unitaria\(S,\) con centro en el origen, es el conjunto de todos los puntos\(\left.(x, y, z) \text { satisfying } x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \text { (see Figure } 2.5 .7\right) .\) Para un valor fijo de\(z\) entre\(-1\) y\(1,\) la sección transversal\(R(z)\) de\(S\) perpendicular al\(z\) eje -es el conjunto de puntos que\((x, y)\) satisfacen la ecuación\(x^{2}+y^{2}=1-z^{2} .\) Es decir,\(R(z)\) es un círculo con radio\(\sqrt{1-z^{2}} .\) Por lo tanto\(R(z)\) tiene área

    \[A(z)=\pi\left(1-z^{2}\right).\]Si\(V\) es el volumen de la\(S,\) misma ahora sigue que\[\begin{aligned} V &=\int_{-1}^{1} \pi\left(1-z^{2}\right) d x \\ &=\left.\pi\left(z-\frac{1}{3} z^{3}\right)\right|_{-1} ^{1} \\ &=\pi\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right) \\ &=\frac{4 \pi}{3}. \end{aligned}\]

    Figura-2.5.7.. png

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Para\(r>0,\) la ecuación de una esfera\(S\) de radio\(r\) es\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} .\) Mostrar que el volumen de\(S\) es\(\frac{4}{3} \pi r^{3}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Dejar\(P\) ser una pirámide con una base cuadrada que tiene esquinas en\((1,1,0),(1,-1,0),(-1,-1,0),\) y\((-1,1,0)\) en el\(x y\) plano -plano y vértice superior\((0,0,1)\) en el\(z\) eje -eje. Demostrar que el volumen de\(P\) es\(\frac{4}{3} .\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Dejar\(T\) ser la región delimitada por el\(z\) -eje y la gráfica de\(z=x^{2}\) para\(0 \leq x \leq 1 .\) Let\(B\) be tridimensional cuerpo creado girando\(T\) alrededor del\(z\) eje -. Ver Figura\(2.5.8.\) Si\(R(z)\) es una sección transversal de\(B\) perpendicular al\(z\) eje -eje, entonces\(R(z)\) es un círculo con radio\(\sqrt{z} .\) Así, si\(A(z)\) es el área de\(R(z),\) tenemos

    \[A(z)=\pi z.\]Si\(V\) es el volumen de\(B,\) entonces\[V=\int_{0}^{1} \pi z d z=\left.\pi \frac{z^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{2}.\]

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Dejar\(T\) ser la región delimitada por\(z\) -eje y la gráfica de\(z=x\) para\(0 \leq x \leq 2 .\) Encontrar el volumen del sólido\(B\) obtenido girando\(T\) alrededor del\(z\) eje.

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Dejar\(T\) ser la región delimitada por\(z\) -eje y la gráfica de\(z=x^{4}\) para\(0 \leq x \leq 1 .\) Encontrar el volumen del sólido\(B\) obtenido girando\(T\) alrededor del\(z\) eje.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Dejar\(T\) ser la región delimitada por las gráficas de\(z=x^{4}\) y\(x=x^{2}\) para\(0 \leq x \leq 1 .\) Let\(B\) be el cuerpo tridimensional creado girando\(T\) alrededor del\(z\) eje -eje. Ver Figura\(2.5 .9 .\) Si\(R(z)\) es una sección transversal de\(B\) perpendicular al\(z\) eje -eje, entonces\(R(z)\) es la región entre los círculos con radios\(z^{\frac{1}{4}}\) y\(\sqrt{z}\), un anillo. De ahí si\(A(z)\) es el área de\(R(z),\) entonces

    \[A(z)=\pi\left(z^{\frac{1}{4}}\right)^{2}-\pi(\sqrt{z})^{2}=\pi(\sqrt{z}-z).\]Si\(V\) es el volumen de\(B,\) entonces\[V=\int_{0}^{1} \pi(\sqrt{z}-z) d z=\left.\pi\left(\frac{2}{3} z^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2} z^{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\pi\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}.\]

    Figura-2.5.8.. png

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Dejar\(T\) ser la región delimitada por las curvas\(z=x\) y\(z=x^{2} .\) Encontrar el volumen del sólido\(B\) obtenido girando\(T\) alrededor del\(z\) eje -eje.

    Contestar

    \(\frac{\pi}{6}\)

    Figura-2.5.9.. png

    Figura-2.5.10.png

    2.5.3 Longitud del arco

    Considerar una función\(f\) que es continuolus en el intervalo cerrado\([a, b] .\) Let\(C\) be the graph of\(f\) over\([a, b]\) and let\(L\) be the length of\(C .\) To\(L,\) approximolus primero\([a, b]\) dividimos en subintervalos\(N\) iguales, cada uno de longitud

    \[\Delta x=\frac{b-a}{N},\]y dejar\(x_{0}=a, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}=b\) ser los puntos finales de los subintervalos. Si\(L_{i}\) es la longitud de la línea de\(\left(x_{i-1}, f\left(x_{i-1}\right)\right)\) a\(\left(x_{i}, f\left(x_{i}\right)\right),\) para\(i=1,2, \ldots, N\) (ver Figura\(2.5 .10),\) entonces\[L \approx L_{1}+L_{2}+\cdots+L_{N}=\sum_{i=1}^{N} L_{i}.\] Desde\[L_{i}=\sqrt{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}+\left(f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)^{2}\right.}=\sqrt{(\Delta x)^{2}+\left(\Delta y_{i}\right)^{2}},\] donde\[\Delta y_{i}=f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)=f\left(x_{i-1}+\Delta x\right)-f\left(x_{i-1}\right),\] tenemos\[L \approx \sum_{i=1}^{N} \sqrt{(\Delta x)^{2}+\left(\Delta y_{i}\right)^{2}}=\sum_{i=1}^{N} \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_{i}}{\Delta x}\right)^{2}} \Delta x.\]

    Figura-2.5.11.png

    Ahora debemos esperar que la aproximación en se\((2.5 .24)\) haga exacta cuando\(N\) es infinita. Es decir, para\(N\) un entero infinito positivo, vamos

    \[d x=\frac{b-a}{N},\]y\[d y=f(x+d x)-f(x).\] Si la sombra de\[\sum_{i=1}^{N} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x.\] es la misma para cualquier elección de\(N,\) entonces llamamos a\((2.5 .27)\) la longitud del arco de\(C .\) Ahora si\(f\) es diferenciable en un intervalo abierto que contiene\([a, b],\) y\(f^{\prime}\) es continuo\([a, b],\) entonces\((2.5 .27)\) se convierte en el integral definitiva de Es\(\sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} .\) decir, la longitud del arco de\(C\) está dada por\[L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x.\]

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Dejar\(C\) ser la gráfica de\(f(x)=x^{\frac{3}{2}}\) sobre el intervalo\([0,1]\) (ver Figura\(2.5 .11)\) y dejar\(L\) ser la longitud de\(C .\) ya que\(f^{\prime}(x)=\frac{3}{2} \sqrt{x},\) tenemos

    \[L=\int_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{9}{4} x} d x.\]Ahora\[\int \sqrt{x} d x=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}+c,\] así podríamos esperar una integral de\(\sqrt{1+\frac{9}{4}}\) ser\[\frac{2}{3}\left(1+\frac{9}{4} x\right)^{\frac{3}{2}}+c.\] Sin embargo,\[\frac{d}{d x} \frac{2}{3}\left(1+\frac{9}{4} x\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{9}{4} \sqrt{1+\frac{9}{4} x},\] y así, dividiendo nuestra suposición original por la\[\int \sqrt{1+\frac{9}{4}} x d x=\frac{8}{27}\left(1+\frac{9}{4} x\right)^{\frac{3}{2}}+c,\] que\(\frac{9}{4},\) tenemos que puede ser verificada por diferenciación. De ahí\[\begin{aligned} L &=\int_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{9}{4} x} d x \\ &=\left.\frac{8}{27}\left(1+\frac{9}{4} x\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{1} \\ &=\frac{8}{27}\left(\frac{13 \sqrt{13}}{8}-1\right) \\ &=\frac{13 \sqrt{13}-8}{27} \\ & \approx 1.4397. \end{aligned}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Dejar\(C\) ser la gráfica de\(f(x)=x^{2}\) sobre el intervalo\([0,1]\) (ver Figura 2.5 .12) y dejar\(L\) ser la longitud de\(C .\) desde\(f^{\prime}(x)=2 x\),

    \[L=\int_{0}^{1} \sqrt{1+4 x^{2}} d x.\]Sin embargo, no contamos con las herramientas en este momento para evaluar exactamente esta integral definida. Aún así, podemos usar\((2.5 .24)\) para encontrar una aproximación\(L .\) para Por ejemplo, si tomamos\(N=100\) en\((2.5 .24),\) entonces\(\Delta x=0.01\) y\[\begin{aligned} \Delta y_{i} &=f(0.01 i)-f(0.01(i-1)) \\ &=(0.01 i)^{2}-(0.01(i-1))^{2} \\ &=0.0001\left(i^{2}-\left(i^{2}-2 i+1\right)\right) \\ &=0.0001(2 i-1) \end{aligned}\] para\(i=1,2, \ldots, N,\) y así\[L \approx \sum_{i=1}^{100} \sqrt{(\Delta x)^{2}+\left(\Delta y_{i}\right)^{2}} \approx 1.4789.\] Volveremos a este ejemplo en los Ejemplos 2.6.19 y 2.7.9 para encontrar una expresión exacta para\(L .\)

    Figura-2.5.12.png

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Dejar\(C\) ser la gráfica de\(y=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\) sobre el intervalo\([1,3] .\) Encuentra la longitud de\(C\).

    Contestar

    \(\frac{16-4 \sqrt{2}}{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Dejar\(C\) ser la gráfica de\(y=\sin (x)\) sobre el intervalo\([0, \pi]\). Usar\((2.5 .24)\) con\(N=10\) para aproximar la longitud de\(C .\)

    Contestar

    3.8153


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