4.1: Cuantificadores

Anteriormente, observamos que no pueden expresar plenamente ideas que involucren cantidad, como “algunas” o “todas”. En este capítulo, llenaremos este vacío introduciendo símbolos cuantificadores. Junto con predicados y conjuntos, que ya han sido discutidos, esto completa el lenguaje de. Luego usaremos este lenguaje para traducir aserciones del inglés a notación matemática.

En nuestro primer ejemplo usaremos esta clave de simbolización:

\(\mathcal{U}\): El conjunto de todas las personas.
\(L\): El conjunto de todas las personas en Lethbridge.
\(A\): El conjunto de toda la gente enojada.
\(H\): El conjunto de todas las personas felices.
\(x\)\(R\)\(y\):\(x\) es más rico que\(y\)
\(d\): Donald
\(g\): Gregor
\(m\): Marybeth

Ahora considere estas aseveraciones:

1. Todos son felices.
2. Todos en Lethbridge son felices.
3. Todos en Lethbridge son más ricos que Donald.
4. Alguien en Lethbridge está enojado.

Podría ser tentador traducir Aserción 1. como\((d \in H) \& (g \in H) \& (m \in H)\). Sin embargo, esto sólo diría que Donald, Gregor y Marybeth están felices. Queremos decir que todos están contentos, aunque no los hayamos enumerado en nuestra clave de simbolización. Para ello, introducimos el símbolo “\(\forall\)”. A esto se le llama el cuantificador universal. \[\forall x \text { means "for all } x \text { " }\]

Un cuantificador siempre debe ir seguido de una variable, y luego una fórmula a la que se aplique el cuantificador. Podemos traducir Aserción 1. como\(\forall x, (x \in H)\). Parafraseado en inglés, esto significa “Para todos\(x\),\(x\) es feliz”.

En aserciones cuantificadas como ésta, la variable\(x\) está sirviendo como una especie de marcador de posición. La expresión\(\forall x\) significa que puedes elegir a cualquiera y ponerlos como\(x\). No hay ninguna razón especial para usar\(x\) en lugar de alguna otra variable. La afirmación “\(\forall x, (x \in H)\)” significa exactamente lo mismo que “\(\forall y , (y \in H)\),” “\(\forall z, (z \in H)\)” o “”\(\forall x_5, (x_5 \in H)\).

Para traducir Aserción 2., utilizamos una versión diferente del cuantificador universal:\[\text { If } X \text { is any set, then } \forall x \in X \text { means "for all } x \text { in } X \text { " }\]
Ahora podemos traducir Aserción 2. como\(\forall \ell \in L, (\ell \in H)\). (También sería lógicamente correcto escribir\(\forall x \in L, (x \in H)\), pero\(\ell\) es un mejor nombre un elemento del conjunto\(L\).) Parafraseado en inglés, nuestra afirmación simbólica significa “Para todos\(\ell\) en Lethbridge,\(\ell\) es feliz”.

Aserción 3. puede parafrasearse como, “Para todos\(\ell\) en Lethbridge,\(\ell\) es más rico que Donald”. Esto se traduce como\(\forall \ell \in L, (\ell \mathrel{R} d)\).

Para traducir Aserción 4., introducimos otro nuevo símbolo: el cuantificador existencial,\(\exists\). \[\exists x \text { means "there exists some } x \text {, such that" }\]

Si\(X\) hay algún conjunto, entonces\(exists x \in X\) significa
“existe algo\(x\) en\(X\), tal que”

Escribimos\(\exists \ell \in L, (\ell \in A)\). Esto quiere decir que existe\(\ell\) en Lethbridge algunos que están enojados. Más precisamente, significa que hay al menos una persona enojada en Lethbridge. Una vez más, la variable es una especie de marcador de posición; habría sido lógicamente correcto (pero de mala forma) traducir Aserción 4. as\(\exists z \in L, (z \in A)\).

Ejemplo\(4.1.1\).

Considera esta clave de simbolización.

\(S\): El conjunto de todos los alumnos.
\(B\): El conjunto de todos los libros.
\(N\): El conjunto de todas las novelas.
\(x\)\(L\)\(y\):\(x\) le gusta leer\(y\).

Entonces:

1. \(\forall n \in N, (n \in B)\)significa “toda novela es un libro”, y
2. \(\forall s \in S, \bigl( \exists b \in B, (s \mathrel{L} b) \bigr)\)significa “para cada estudiante, hay algún libro que al alumno le gusta leer”.

Observe que todos los cuantificadores en este ejemplo son de la forma\(\forall x \in X\) o\(\exists x \in X\), no\(\forall x\) o\(\exists x\). Es decir, todas las variables van sobre conjuntos específicos, en lugar de ser libres para abarcar todo el universo del discurso. Debido a esto, es aceptable omitir especificar un universo de discurso. Por supuesto, el universo del discurso (sea lo que sea) debe incluir al menos a todos los estudiantes, a todos los libros y a todas las novelas.

Ejercicio\(4.1.2\).

Supongamos\(A\) y\(B\) son conjuntos.
Da tus respuestas en la notación de Lógica de primer orden (no en inglés).

1. ¿Qué significa decir que\(A\) es un subconjunto de\(B\)?
2. ¿Qué significa decir que no\(A\) es un subconjunto de\(B\)?