4.3: Negaciones

Recordemos parte de la clave de simbolización de la Sección\(4.1\):

\(\mathcal{U}\): El conjunto de todas las personas.

\(A\): El conjunto de toda la gente enojada.

\(H(x)\): El conjunto de todas las personas felices.

Considere estas afirmaciones adicionales:

15. Nadie está enfadado.
16. No todo el mundo está contento.

La aserción 15. se puede parafrasear como, “No es el caso de que alguien esté enojado”. (Es decir, “no es el caso de que exista una persona que esté enojada”). Esta es la negación de la afirmación de que existe una persona enojada, por lo que puede traducirse usando “no” y “existe”:\(\neg \exists x,(x \in A)\).

Es importante notar que la Aserción 15. equivale a la aseveración de que “Todos no están enojados”. Esta afirmación puede traducirse usando “para todos” y “no”:\(\forall x, \neg (x \in A)\), o, en otras palabras,\(\forall x, (x \notin A)\). En general:\[\neg \exists x, \mathcal{A} \text { is logically equivalent to } \forall x, \neg \mathcal{A} \text {. }\]
Esto quiere decir que la negación de una “\(\exists\)” aserción es una “\(\forall\)” aseveración.

Aserción 16. dice que no es cierto que todos sean felices. Esta es la negación de la afirmación de que todos son felices, por lo que se puede traducir usando “no” y “\(\forall\)”:\(\neg\forall x,(x \in H)\).

Además, decir que no todos son felices es lo mismo que decir que alguien no es feliz. Esta última aseveración se traduce en\(\exists x, (x \notin H)\). En general:\[\neg \forall x, \mathcal{A} \text { is logically equivalent to } \exists x, \neg \mathcal{A} \text {. }\]
Esto quiere decir que la negación de una “\(\forall\)” aserción es una “\(\exists\)” aseveración.

Al igual que para “\(\forall x\)” y “”\(\exists x\), los cuantificadores delimitados “\(\forall x \in X\)” y “\(\exists x \in X\)” se intercambian bajo negación:

\(\neg \forall x \in X, \mathcal{A} \text { is logically equivalent to " } \exists x \in X, \neg \mathcal{A} \text {. }\)
\(\neg \exists x \in X, \mathcal{A} \text { is logically equivalent to } " \forall x \in X, \neg \mathcal{A} \text {. }\)

No hay diferencia fundamental entre este y los ejemplos anteriores; simplemente hemos\(\mathcal{U}\) reemplazado por el conjunto\(X\).

En resumen: si necesitas negar una aserción que comienza con un cuantificador, cambia el cuantificador al otro (de\(\exists\) a\(\forall\) o viceversa), y luego continuar, negando el resto de la aserción.

Para realizar las negaciones adicionales, querrás recordar las siguientes reglas del Ejercicio\(1.7.5\):

Reglas de Negación

\(\neg(A \vee B) \text { is logically equivalent to } \neg A \& \neg B \text {. }\)
\(\neg(A \& B) \text { is logically equivalent to } \neg A \vee \neg B \text {. }\)
\(\neg(A \Rightarrow B) \text { is logically equivalent to } A \& \neg B \text {. }\)
\(\neg \neg A \text { is logically equivalent to } A \text {. }\)

Ejemplo\(4.3.1\).

Simplifiquemos la Aserción (*)\[\neg \forall s \in S,(((s \in A) \vee(s \in B)) \&((s \in C) \Rightarrow(s \notin D))) .\]
Traemos\(\neg\) dentro del cuantificador, cambiando de\(\forall\) a\(\exists\):\[\exists s \in S, \neg(((s \in A) \vee(s \in B)) \&((s \in C) \Rightarrow(s \notin D))) .\]
Ahora, cambiamos\(\&\) a\(\vee\), y aplicamos \(\neg\)a cada uno de los dos términos:\[\exists s \in S,(\neg((s \in A) \vee(s \in B)) \vee \neg((s \in C) \Rightarrow(s \notin D))) .\]
A continuación, el conectivo\(\vee\) en el término izquierdo se cambia a\(\&\) (y\(\neg\) se aplica a los subtérminos), y la regla para negar\(\Rightarrow\) se implica al término correcto: \[\exists s \in S,((\neg(s \in A) \& \neg(s \in B)) \vee((s \in C) \& \neg(s \notin D))) .\]
Por último, usamos la abreviatura\(\notin\) en los dos primeros términos, y eliminamos el doble negativo en el término final:\[\exists s \in S,(((s \notin A) \&(s \notin B)) \vee((s \in C) \&(s \in D))) .\]
Este resultado final es lógicamente equivalente a la Aserción (*) anterior.

Solución

Agrega texto aquí.

Los mismos principios se aplican para negar aseveraciones en inglés.

Ejemplo\(4.3.2\).

Supongamos que queremos negar

“Cada paraguas necesita un nuevo asa o no es lo suficientemente grande”.

Creamos una clave de simbolización:

\(U\): El conjunto de todos los paraguas.

\(H\): El conjunto de todos los paraguas que necesitan un nuevo asa.

\(B\): El conjunto de todos los paraguas que son lo suficientemente grandes.

Ahora podemos traducir la aseveración como\(\forall u \in U, \bigl( (u \in H) \vee (u \notin B)\bigr).\) Negando esto, tenemos\[\neg\forall u \in U, \bigl( (u \in H) \vee (u \notin B)\bigr).\]
Acabamos de aprender que esto equivale a\[\exists u \in U, \neg\bigl( (u \in H) \vee (u \notin B)\bigr),\]
lo que se puede simplificar a\[\exists u \in U, \bigl((u \notin H) \& \neg(u \notin B)\bigr),\]
y finalmente, eliminando el doble negativo, esto equivale a \[\exists u \in U, \bigl((u \notin H) \& (u \in B)\bigr).\]
Ahora traducimos de nuevo al inglés:

“Hay algún paraguas que no necesita un nuevo asa y es lo suficientemente grande”.

La aplicación sistemática de estas reglas le permitirá simplificar la negación de cualquier aserción (no importa si se expresa en inglés o en).

El inglés es más abierto a la interpretación y a la inexactitud que. Por lo tanto, cuando necesitamos negar una afirmación en inglés en este capítulo, la traducimos en, realizamos la negación y traducimos de nuevo. También se espera que hagas esto. Más tarde, cuando estés haciendo pruebas, es posible que puedas trabajar directamente con la versión en inglés, aunque te puede resultar útil tener en cuenta la versión.

Advertencia.

Para hacer una afirmación, los cuantificadores deben aplicarse a los predicados —no pueden mantenerse por sí mismos. Es decir, una aseveración debe ser de la forma\(\exists x \in X, P(x)\) o\(\forall x\in X, P(x)\), no solo\(\exists x\in X\) o\(\forall x \in X\). Por ejemplo, algunos estudiantes intentan erróneamente traducir la aseveración “existe un paraguas” como pero eso no es una aserción. El problema es que no es una frase completa: se traduciría al inglés como “existe un paraguas, tal que”. (Observe el “tal que” dejó colgando al final.)

Una manera de obtener una simbolización correcta es reformular la afirmación original como: “existe algo que es un paraguas”. Esto se traduce en\(\exists x, (x \in U)\), que es una simbolización correcta. Su negación se simplifica a\(\forall x, (x \notin U)\), lo que significa que “todo lo que existe no es un paraguas”.

Si\(\exists u \in U\) fuera una aseveración, entonces, al aplicar las reglas para la negación, su negación sería “\(\forall u \in U, \neg\),” que no es una oración completa: su traducción al inglés es “para todos\(u\) en\(U\), no es cierto eso”. Para evitar tales errores, recuerde que cada cuantificador siempre debe ser seguido por un predicado.

Ejercicio\(4.3.3\).

Negar cada una de las aseveraciones en el Ejercicio\(4.2.4\). Exprese su respuesta tanto en el idioma de como en inglés (después de simplificar).

Ejercicio\(4.3.4\).

Negar cada una de las siguientes afirmaciones de (y simplificar, para que no\(\neg\) se aplique a nada más que a predicados o variables de aserción). ¡Muestra tu trabajo!

1. \((L \Rightarrow \neg M) \& (M \vee N)\)
2. \(\bigl( (a \in A) \& (b \in B) \bigr) \vee (c \in C)\)
3. \(\forall a \in A, \Bigl( \bigl( (a \in P) \vee (a \in Q) \bigr) \& (a \notin R) \Bigr)\)
4. \(\forall a \in A, \Bigl( (a \in T) \Rightarrow \exists c \in C, \bigl( (c \in Q) \& ( c \mathrel{R} a) \bigr) \Bigr)\)
5. \(\forall x, \biggl( (x \in A) \& \Bigl( \exists \ell \in L, \bigl( (x \mathrel{B} \ell ) \vee (\ell \in C) \bigr) \Bigr) \biggr)\)
6. \(A \Rightarrow \Bigl( \bigl( \exists x \in X, (x \in B) \bigr) \vee \bigl( \forall e \in E, \exists d \in D, (e \mathrel{C} d) \bigr) \Bigr)\)
7. \(\forall a \in A, \exists b \in B, \exists c \in C, \forall d \in D, \Bigl( (a \mathrel{K} b) \& \bigl( (a \mathrel{Z} c) \vee (b > d) \bigr) \Bigr)\)

Ejercicio\(4.3.5\).

Simplifica cada aserción. ¡Muestra tu trabajo!

1. \(\neg \forall a \in A, \bigl( (a \in P) \vee (a \in Q) \bigr)\)
2. \(\neg \exists a \in A, \bigl( (a \in P) \& (a \in Q) \bigr)\)
3. \(\neg \forall x \in X, \exists y \in Y, \bigl( (x \in A) \& (x \mathrel{C} y) \bigr)\)
4. \(\neg \forall s \in S, \biggl( (s \in R) \Rightarrow \Bigl( \exists t \in T, \bigl( (s \neq t) \& (s \mathrel{M} t) \bigr) \Bigr) \biggr)\)

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Obrar\(4.3.6\).

Desafortunadamente, no hay una manera agradable y compacta de negar aseveraciones que involucran singularidad. Por ejemplo, si queremos decir “No es el caso de que haya una persona única que le debe dinero a Hikaru”, necesitamos decir que “O nadie le debe dinero a Hikaru, o más de una persona le debe dinero a Hikaru”. Esto se traduce\[(H = \emptyset) \vee \bigl(\exists h_1 \in H, (\exists h_2 \in H, h_2 \neq h_1)\bigr).\]
en En general, si te encuentras con una situación en la que quieres negar una aserción que implica singularidad, es una buena idea reescribir la aserción sin usar “\(\exists!\).” No debería tener dificultad para negar esta afirmación reexpresada.

4.3A. Verdad Vacuosa.

Obsérvese que si la aserción\[\exists x \in A, \neg P(x)\]
\(A\) es verdadera (donde\(P(x)\) está algún conjunto y es cualquier predicado unario), entonces debe existir un elemento\(a\) de\(A\), tal que\(P(a)\) es falso. Haciendo caso omiso de la última condición (acerca de\(P(a)\)), eso lo sabemos\(a \in A\), entonces\(A \neq \emptyset\). Es decir, sabemos:\[\text { If the assertion } \exists x \in A, \neg P(x) \text { is true, then } A \neq \varnothing \text {. }\]
Entonces lo contrapositivo también es cierto:\[\text { If } A=\varnothing, \text { then the assertion } \exists x \in A, \exists P(x) \text { is false. }\]
Por lo tanto, la aseveración\(\exists x \in \emptyset, \neg P(x)\) es falsa, por lo que su negación es cierta:\[\text { The assertion } \forall x \in \varnothing, P(x) \text { is true. }\]
Ya que\(P(x)\) es un predicado arbitrario, esto quiere decir que cualquier la afirmación sobre todos los elementos del conjunto vacío es verdadera; decimos que es vacuamente cierta. El punto es que no hay nada en el conjunto vacío que contradiga cualquier afirmación que te importe hacer sobre todos los elementos.

Ejemplo\(4.3.7\).

Si dices: “Toda la gente en Marte tiene la piel morada”, y no hay gente en Marte, entonces has dicho la verdad —de lo contrario, tendría que haber alguna persona en Marte (cuya piel no es morada) para proporcionar un contraejemplo.

En resumen:

cualquier aseveración sobre todos los elementos del conjunto vacío es vacuamente cierta.

Ejercicio\(4.3.8\).

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones inglesas son vacuamente ciertas (en el mundo real)?

1. Todos los quintillizos son enfermizos.
2. Todos los naipes estándar que están numerados quince, son de color verde.
3. Todos los números primos que son divisibles por 12, tienen 5 dígitos.
4. Todas las personas que han estado en la luna son hombres.
5. Todas las personas que no respiran están muertas.

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