4.5: Algunas pruebas sobre Sets

Para encontrar pruebas en, puedes usar todas las estrategias que te sirvieron: trabajar hacia atrás, trabajar hacia adelante, cambiar lo que estás viendo, romper la prueba en casos y probar por contradicción son importantes. Las reglas de introducción y eliminación para los cuantificadores solo agregan algunas opciones nuevas cuando se trabaja hacia adelante o hacia atrás. En particular:

• Si tiene\(\exists x, \mathcal{A}(x)\), probablemente usará\(\exists\) -eliminación: asuma\(\mathcal{A}(c)\) para alguna letra\(c\) que no esté ya en uso, y luego derivar una conclusión que no contenga\(c\).
• Si la conclusión deseada es\(\forall x \in X,\mathcal{A}(x)\), entonces es casi seguro que su prueba se basará en\(\forall\) -introducción, por lo que las primeras palabras de su prueba generalmente serán “Dado\(x \in X\),...”
• Si tienes\(\forall x,\mathcal{A}(x)\), y podría ser útil saber\(\mathcal{A}(c)\) (para alguna constante\(c\)), entonces podrías usar\(\forall\) -eliminación.

Por ejemplo, ahora que tenemos todas las reglas de la Lógica de Primer Orden, podemos probar el siguiente hecho importante que se expuso en.

Ejemplo\(4.5.1\).

Asumir\(A\) y\(B\) son conjuntos. Tenemos\(A = B\) si y solo si\(A \subset B\) y\(B \subset A\).

Solución

Comprobante.

(\(\Rightarrow\)) Asumir\(A = B\). Cada conjunto es un subconjunto de sí mismo (ver observación\(3.2.20\)), así que tenemos\[A=B \subset B \quad \text { and } \quad B=A \subset A ,\] como se desee.

(\(\Leftarrow\)) Asumir\(A \subset B\) y\(B \subset A\). Deseamos mostrar\(A = B\); en otras palabras, queremos mostrar\[\forall x, (x \in A \eiff x \in B) .\]

Que\(x\) sea arbitrario.

(\(\Rightarrow\)) Supongamos\(x \in A\). Ya que\(A \subset B\), esto implica\(x \in B\).

(\(\Leftarrow\)) Supongamos\(x \in B\). Ya que\(B \subset A\), esto implica\(x \in A\).

Por lo tanto,\(x \in A \eiff x \in B\). Ya que\(x\) es arbitrario, esto implica\(\forall x, (x \in A \eiff x \in B)\), según se desee.

Ejemplo\(4.5.2\).

Supongamos\(A\)\(B\),, y\(C\) son conjuntos (y\(\univ\) es el conjunto universal, como de costumbre). Entonces:

1. \(A \cap B \subset A\).
2. \(A \subset A \cup B\).
3. \(A \cap \mathcal{U} =A\).
4. \(\text { If } A \subset B \text { and } B \subset C, \text { then } A \subset C \text {. }\)
5. \(A \cap B \subset A \cup B\).
6. \(\text { If } A \subset B \text { and } A \subset C, \text { then } A \subset B \cap C \text {. }\)

Solución

Comprobante.

1. Deseamos demostrar que cada elemento de\(A \cap B\) es un elemento de\(A\). Dado\(x \in A \cap B\), sabemos, por la definición de\(A \cap B\), eso\(x \in A\) y\(x \in B\). En particular,\(x \in A\), según se desee.
2. Deseamos demostrar que cada elemento de\(A\) es un elemento de\(A \cup B\). Dado\(x \in A\), obviamente es cierto que cualquiera\(x \in A\) o\(x \in B\) (ya que, de hecho, sabemos\(x \in A\)). Por lo tanto\(x \in A \cup B\), como se desee.
3. A partir del 1., eso lo sabemos\(A \cap \mathcal{U} \subset A\), por lo que basta con demostrarlo\(A \subset A \cap \mathcal{U}\). Dado\(a \in A\), obviamente tenemos\(a \in A\). Además, como el conjunto universal\(\mathcal{U}\) contiene todos los elementos que se están considerando, también tenemos\(a \in \mathcal{U}\). De ahí\(a \in A \cap \mathcal{U}\), como se desee.
4. Dejar\(a\) ser un elemento arbitrario de\(A\). Ya que\(A \subset B\), sabemos\(a \in B\). Entonces, porque\(B \subset C\), ya sabemos\(a \in C\). Ya que\(a\) es un elemento arbitrario de\(A\), esto implica\(A \subset C\).
5. Dado\(x \in A \cap B\), sabemos\(x \in A\) y\(x \in B\). En particular, tenemos\(x \in A\), por lo que sin duda es cierto que\(x \in A\) o bien\(x \in B\). Por lo tanto\(x \in A \cup B\). Ya que\(x\) es un elemento arbitrario de\(A \cap B\), esto implica\(A \cap B \subset A \cup B\), según se desee.
   Prueba alterna de 5.. De partes y, sabemos\(A \cap B \subset A\) y\(A \subset A \cup B\). Entonces 4. implica que\(A \cap B \subset A \cup B\), según se desee.
6. Dejar\(a\) ser un elemento arbitrario de\(A\). Ya que\(A \subset B\), tenemos\(a \in B\). De igual manera\(A \subset C\), ya que, también tenemos\(a \in C\). Habiendo establecido eso\(a \in B\) y\(a \in C\), concluimos que\(a \in B \cap C\). Ya que\(a\) es un elemento arbitrario de\(A\), esto implica\(A \subset B \cap C\).

Ejercicio\(4.5.3\).

Supongamos\(A\)\(B\),, y\(C\) son conjuntos.

1. Demuéstralo si\(A \subset B\), entonces\(A \cap B = A\).
2. Mostrar si\(A \subset B\), entonces\(A \cup B = B\).
3. Demuéstralo si\(B \subset C\), entonces\(A \cap B \subset A \cap C\).
4. \(A \subset C\)Demuéstralo si y\(B \subset C\), entonces\(A \cup B \subset C\).
5. Espectáculo\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\).
6. Espectáculo\(A \backslash B = A \backslash (A \cap B)\).
7. Dejar\(X = A \cap B\), y mostrar\(A \cup B = (A \backslash X) \cup (B \backslash X) \cup X\).
8. Demostrar que si\(\mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)\), entonces cualquiera\(A \subset B\) o\(B \subset A\).

Ejercicio\(4.5.4\).

Supongamos\(A\) y\(B\) son conjuntos.

1. Espectáculo\(A \backslash B = A \cap \bar{B}\).
2. Espectáculo\(A = (A \backslash B) \cup (A \cap B)\).
3. Demostrar las leyes de De Morgan:
   1. \(\overline{\bar{A}}=A\).
   2. \(\overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}\).
   3. \(\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}\).
4. Demuéstralo si\(\bar{A}=\bar{B}\), entonces\(A = B\).
   [Pista: Sigue inmediatamente de una de las leyes de DeMorgan.]

Ejercicio\(4.5.5\).

Supongamos\(A\)\(B\),, y\(C\) son conjuntos.

1. Demostrar que\(A\) es disjunta de\(B\) si y solo si\(A \subset \bar{B}\).
2. \(A \backslash B\)El espectáculo es disjunta de\(B\).
3. Mostrar que si\(A\) es disjunta de\(B\), y\(C\) es un subconjunto de\(B\), entonces\(A\) es disjunta de\(C\).
4. Demostrar que\(A \backslash B\) es disjunta de\(A \cap B\).
5. Demostrar que\(A\) es disjunta de\(B \cup C\) iff\(A\) es disjunta de ambos\(B\) y\(C\).

Ejercicio\(4.5.6\).

1. Espectáculo\(A \cup B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \cup (A \cap B)\).
2. Mostrar los tres conjuntos\(A \backslash B\),\(B \backslash A\), y\(A \cap B\) son todos disjuntos entre sí.

Recordemos de que\(A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}\) los conjuntos son pares-disjuntos iff\(A_{i}\) es disjunta de\(A_{j}\) cuando sea\(i \neq j\).

Ejercicio\(4.5.7\).

Supongamos que los conjuntos\(A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}\) son desarticulados por pares. Mostrar:

1. Los conjuntos\(A_{1},A_{2},\ldots,A_{n-1}\) son par-disjuntos, si\(n > 1\).
2. \(A_{n}\)es disjunta de\(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n-1}\), si\(n > 1\).