8.2: Factorizaciones de números primos y primos

Vista previa de la actividad\(\PageIndex{1}\): Exploring Examples where \(a\) Divides \(b \cdot c\)

1. Encuentra al menos tres ejemplos diferentes de enteros distintos de cero\(a\)\(b\),, y\(c\) tal que\(a\ |\ (bc)\) pero a no divide\(b\) y\(a\) no divide\(c\). En cada caso, computa gcd (\(a\),\(b\)) y gcd (\(a\),\(c\)).
2. Encuentra al menos tres ejemplos diferentes de enteros distintos de cero\(a\),\(b\), y\(c\) tal que gcd (\(a\),\(b\)) = 1 y\(a\ |\ (bc)\). En cada ejemplo, ¿hay alguna relación entre los enteros\(a\) y\(c\)?
3. Formular una conjetura basada en su trabajo en Partes (1) y (2).

Vista previa de la actividad\(\PageIndex{2}\): Prime Factorizations

Recordemos que un número natural\(p\) es un número primo siempre que sea mayor que 1 y los únicos números naturales que\(p\) se dividen sean 1 y\(p\). Un número natural distinto de 1 que no es un número primo es un número compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto. (Ver Ejercicio 13 de la Sección 2.4 en la página 78.)

1. Dar ejemplos de cuatro números naturales que son primos y cuatro números naturales que son compuestos.

El Teorema 4.9 en la Sección 4.2 establece que cada número natural mayor que 1 es un número primo o un producto de números primos. Cuando se escribe un número compuesto como producto de números primos, decimos que hemos obtenido una desfactorización de ese número compuesto. Por ejemplo, ya que\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), decimos que\(2^2 \cdot 3 \cdot 5\) es una factorización prime de 60.

2. Escriba el número 40 como producto de números primos escribiendo primero\(40 = 2 \cdot 20\) y luego factorizando 20 en un producto de primos. A continuación, escriba el número 40 como producto de números primos escribiendo primero\(40 = 5 \cdot 8\) y luego factorizando 8 en un producto de primos.
3. En la Parte (2), se utilizaron dos métodos diferentes para obtener una factorización prima de 40. ¿Estos métodos produjeron la misma factorización prima o diferentes factorizaciones primos? Explique.
4. Repita las Partes (2) y (3) con 150. Primero, comience con\(150 = 3 \cdot 50\), y luego comience con\(150 = 5 \cdot 30\).

Los mejores divisores comunes y combinaciones lineales

En la Sección 8.1, introdujimos el concepto del mayor divisor común de dos enteros. Mostramos cómo se puede utilizar el Algoritmo Euclideano para encontrar el mayor divisor común de dos enteros,\(a\) y\(b\), y también mostramos cómo usar los resultados del Algoritmo Euclideano para escribir el mayor divisor común de\(a\) y\(b\) como una combinación lineal de\(a\) y \(b\).

En esta sección, utilizaremos estos resultados para ayudar a probar el llamado Teorema Fundamental de la Aritmética, que establece que cualquier número natural mayor que 1 que no sea primo puede escribirse como producto de primos en “esencialmente” de una sola manera. Esto significa que dadas dos factorizaciones primos, los factores primos son exactamente los mismos, y la única diferencia puede estar en el orden en que se escriben los factores primos. Comenzamos con más resultados con respecto a los mayores divisores comunes. Primero probamos la Proposición 5.16, que formaba parte del Ejercicio (18) en la Sección 5.2 y Ejercicio (8) en la Sección 8.1.

Teorema 5.16

Dejar\(a\),\(b\), y\(t\) ser enteros con\(t \ne 0\). Si\(t\) divide\(a\) y\(t\) divide\(b\), entonces para todos los enteros\(x\) y\(y\),\(t\) divide\((ax + by)\).

Prueba

Dejar\(a\),\(b\), y\(t\) ser enteros con\(t \ne 0\), y asuem que\(t\) divide\(a\) y\(t\) divide\(b\). Vamos a probar eso para todos los enteros\(x\) y\(y\),\(t\) divide\((ax + by)\).

Así que vamos\(x \in \mathbb{Z}\) y vamos\(y \in \mathbb{Z}\). Desde\(t\) divide\(a\), existe un entero\(m\) tal que\(a = mt\) y desde\(t\) divide\(b\), existe un entero\(n\) tal que\(b = nt\). Usando la sustitución y el álgebra, vemos entonces que

\[\begin{array} {rcl} {ax + by} &= & {(mt) x + (nt) y} \\ {} &= & {t(mx + ny)} \end{array}\]

Dado que\((mx + ny\)) es un entero, la última ecuación prueba que\(t\) divide\(ax + by\) y esto demuestra que para todos los enteros\(x\) y\(y\),\(t\) divide\((ax + by)\).

Ahora vamos\(a, b \in \mathbb{Z}\), no los dos 0, y vamos\(d = \text{gcd}(a, b)\). El teorema 8.8 establece que d puede escribirse como una combinación lineal de\(a\) y\(b\). Ahora, desde\(d\ |\ a\) y\(d\ |\ b\), podemos utilizar el resultado de la Proposición 5.16 para concluir que para todos\(x, y \in \mathbb{Z}\),\(d\ |\ (ax + by)\). Esto significa que\(d\) divide cada combinación lineal de\(a\) y\(b\). Además, esto significa que\(d\) debe ser el número positivo más pequeño que sea una combinación lineal de\(a\) y\(b\). Resumimos estos resultados en el Teorema 8.9.

Teorema 8.9.

Dejemos\(a, b \in \mathbb{Z}\), no ambos 0.

1. El divisor más común,\(d\), es una combinación lineal de\(a\) y\(b\). Es decir, existen enteros\(m\) y\(n\) tal que\(d = am + bn\).
2. El divisor más común,\(d\), divide cada combinación lineal de\(a\) y\(b\). Es decir, para todos\(x, y \in \mathbb{Z}\),\(d\ |\ (ax + by)\).
3. El divisor más común,\(d\), es el número positivo más pequeño que es una combinación lineal de\(a\) y\(b\).

Enteros Relativamente Prime

En Preview Activity\(\PageIndex{1}\), construimos varios ejemplos de enteros\(a\)\(b\),, y\(c\) tal que\(a\ |\ (bc)\) pero\(a\) no divide\(b\) y\(a\) no divide\(c\). Para cada ejemplo, observamos que\(\text{gcd}(a, b) \ne 1\) y\(\text{gcd}(a, c) \ne 1\).

También construimos varios ejemplos donde\(a\ |\ (bc)\) y\(\text{gcd}(a, b) = 1\). En todos estos casos, señalamos que\(a\) divide\(c\). A los enteros cuyo divisor más común es igual a 1 se les da un nombre especial.

Definición: relativamente primo

Dos enteros distintos de cero\(a\) y\(b\) son relativamente primos siempre que\(\text{gcd}(a, b) = 1\).

Comprobación de progreso 8.10: números enteros relativamente primos

1. Construir al menos tres ejemplos diferentes donde\(p\) es un número primo,\(a \in \mathbb{Z}\), y\(p\ |\ a\). En cada ejemplo, ¿qué es gcd (\(a\),\(p\))? Con base en estos ejemplos, formular una conjetura sobre gcd (\(a\),\(p\)) when\(p\ |\ a\).
2. Construir al menos tres ejemplos diferentes donde\(p\) es un número primo\(a \in \mathbb{Z}\),, y\(p\) no divide\(a\). En cada ejemplo, ¿qué es gcd (\(a, p\))? Con base en estos ejemplos, formular una conjetura sobre gcd (\(a\),\(p\)) cuando\(p\) no divide\(a\).
3. Dar al menos tres ejemplos diferentes de enteros\(a\) y\(b\) donde a no es primo, no\(b\) es primo, y\(\text{gcd}(a, b) = 1\), o explicar por qué no es posible construir tales ejemplos.

Responder

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Teorema 8.11.

Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros distintos de cero, y dejar\(p\) ser un número primo.

1. Si\(a\) y\(b\) son relativamente primos, entonces existen enteros\(m\) y\(n\) tal que\(am + bn = 1\). Es decir, 1 se puede escribir como combinación lineal\(a\) de\(b\).
2. Si\(p\ |\ a\), entonces\(\text{gcd}(a, p) = p\).
3. Si\(p\) no divide\(a\), entonces\(\text{gcd}(a, p) = 1\).

La Parte (1) del Teorema 8.11 es en realidad un corolario del Teorema 8.9. Las partes (2) y (3) podrían haber sido las conjeturas que formulaste en Avance Check 8.10. Las pruebas están incluidas en el Ejercicio (1).

Dados los enteros distintos de cero a y b, hemos visto que es posible utilizar el Algoritmo Euclidiana para escribir su mayor divisor común como una combinación lineal de\(a\) y\(b\). También hemos visto que esto a veces puede ser un proceso tedioso, que consume mucho tiempo, razón por la cual la gente ha programado computadoras para hacer esto. Afortunadamente, en muchas pruebas de resultados de teoría de números, en realidad no tenemos que construir esta combinación lineal ya que el simple hecho de saber que existe puede ser útil para probar resultados. Esto se ilustrará en la prueba del Teorema 8.12, que se basa en el trabajo en Vista previa de la Actividad\(\PageIndex{1}\).

Teorema 8.12

Dejar\(a\),\(b\), ser enteros distintos de cero y dejar\(c\) ser un entero. Si\(a\) y\(b\) son relativamente primos y\(a\ |\ (bc)\), entonces\(a\ |\ c\)

Las exploraciones en Actividad Previa\(\PageIndex{1}\) se relacionaron con este teorema. Primero exploraremos el proceso de avance y retroceso para obtener la prueba. El objetivo es demostrarlo\(a\ |\ c\). Una forma estándar de hacer esto es probar que existe un entero\(q\) tal que

\[c = aq.\]

Ya que se nos da\(a\ |\ (bc)\), existe un entero\(k\) tal que

\[bc = ak.\]

Puede parecer tentador dividir ambos lados de la Ecuación\ ref {8.2.3} por\(b\), pero si lo hacemos, nos encontramos con problemas con el hecho de que los enteros no están cerrados bajo división. En cambio, nos fijamos en la otra parte de la hipótesis, que es esa\(a\) y\(b\) son relativamente primos. Esto significa que\(\text{gcd}(a, b) = 1\). ¿Cómo podemos usar esto? Esto significa que\(a\) y no\(b\) tienen factores comunes a excepción de 1. A la luz de la Ecuación\ ref {8.2.3}, parece razonable que cualquier factor de también\(a\) debe ser un factor de\(c\). Pero, ¿cómo formalizamos esto?

Una conclusión que podemos usar es que ya que\(\text{gcd}(a, b) = 1\), por el Teorema 8.11, existen enteros\(m\) y\(n\) tal que

\[am + bn = 1.\]

Podemos considerar resolver la ecuación (8.2.4) para\(b\) y sustituirla en la Ecuación\ ref {8.2.3}. El problema, de nuevo, es que para poder resolver la Ecuación\ ref {8.2.4} para\(b\), necesitamos dividir por\(n\).

Antes de hacer cualquier otra cosa, debemos mirar el objetivo en la Ecuación\ ref {8.2.2}. Necesitamos introducir c en la Ecuación\ ref {8.2.4}. Una forma de hacerlo es multiplicar ambos lados de la ecuación (8.2.4) por\(c\). (Esto nos mantiene en el sistema de enteros ya que los enteros se cierran bajo multiplicación.) Esto da

\[\begin{array} {rcl} {(am + bn) c} &= & {1 \cdot c} \\ {acm + bcn} &= & {c.} \end{array}\]

Observe que el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {8.2.5} contiene un término,\(bcn\), que contiene\(bc\). Esto significa que podemos usar la Ecuación\ ref {8.2.3} y sustituir bc D ak en la Ecuación\ ref {8.2.5}. Después de hacer esto, podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación para demostrarlo\(a\ |\ c\).

Comprobación de Progreso 8.13: Finalización de la Prueba del Teorema 8.12

Escribir un comprobante completo del Teorema 8.12.

Responder

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Corolario 8.14

1. Dejar\(a, b \in \mathbb{Z}\), y dejar\(p\) ser un número primo. Si\(p\ |\ (ab)\), entonces\(p\ |\ a\) o\(p\ |\ b\).
2. Dejar\(p\) ser un número primo, dejar\(n \in \mathbb{N}\), y dejar\(a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{Z}\). Si\(p\ |\ (a_{1}a_{2}\cdot\cdot\cdot a_{n})\), entonces existe un número natural\(k\) con\(1 \le k \le n\) tal que\(p\ |\ a_{k}\).

La parte (1) del Corolario 8.14 es un corolario del Teorema 8.12. La parte (2) se prueba mediante inducción matemática. El paso base es el caso donde\(n = 1\), y la Parte (1) es el caso donde\(n = 2\). Las pruebas de estos dos resultados se incluyen en los Ejercicios (2) y (3).

Nota Histórica: Lema de Euclides

La parte (1) del Corolario 8.14 se conoce como Lema de Euclides. La mayoría de las personas asocian la geometría con los Elementos de Euclides, pero estos libros también contienen muchos resultados básicos en la teoría de números. Muchos de los resultados que están contenidos en esta sección aparecieron en Elementos de Euclides.

Factorizaciones de números primos y primos

Ya estamos listos para probar el Teorema Fundamental de la Aritmética. La primera parte de este teorema se probó en el Teorema 4.9 en la Sección 4.2. Este teorema establece que cada número natural mayor que 1 es o bien un número primo o es un producto de números primos. Antes de exponer el Teorema Fundamental de la Aritmética, discutiremos algunas convenciones notacionales que nos ayudarán con la prueba. Empezamos con un ejemplo.

Vamos a utilizar\(n = 120\). Ya que\(5\ |\ 120\), podemos escribir\(120 = 5 \cdot 24\). Además, podemos factorizar 24 como\(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\). Así podemos escribir

\[\begin{array} {rcl} {120} &= & {5 \cdot 24} \\ {} &= & {5(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3).} \end{array}\]

Esta es una factorización prima de 120, pero no es la forma en que solemos escribir esta factorización. La mayoría de las veces, escribiremos los factores de números primos en orden ascendente. Entonces escribimos

\(120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\)o\(120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5\).

Ahora, vamos\(n \in \mathbb{N}\). Para escribir la factorización primo de\(n\) con los factores primos en orden ascendente requiere que si escribimos\(n = p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\), donde\(p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\) están los números primos, tendremos\(p_{1} \le p_{2} \le \cdot\cdot\cdot \le p_{r}\).

Teorema 8.15: El teorema fundamental de la aritmética

1. Cada número natural mayor que 1 es un número primo o es un producto de números primos.
2. dejar\(n \in \mathbb{N}\) con\(n > 1\). Supongamos que
   \[n = p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r} \text{ and that } n = q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s},\]
   donde\(p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\) y\(q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s}\) son primos con\(p_{1} \le p_{2} \le \cdot\cdot\cdot \le p_{r}\) y\(q_{1} \le q_{2} \le \cdot\cdot\cdot \le q_{s}\). Entonces\(r = s\), y para cada uno\(j\) de 1 a\(r\),\(p_{j} = q{j}\).

Prueba

La primera parte de este teorema fue probada en el Teorema 4.9. Demostraremos la segunda parte del teorema por inducción sobre el\(n\) uso del Segundo Principio de Inducción Matemática. (Ver Sección 4.2.) Por cada número natural\(n\) con\(n > 1\), let\(P(n)\) be

Si\(n = p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\) y\(n = q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s}\), donde\(p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\) y\(q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s}\) son primos con\(p_{1} \le p_{2} \le \cdot\cdot\cdot \le p_{r}\) y\(q_{1} \le q_{2} \le \cdot\cdot\cdot \le q_{s}\), entonces\(r = s\), y para cada uno\(j\) de 1 a\(r\),\(p_{j} = q{j}\).

Para el paso base, notamos que dado que 2 es un número primo, su única factorización es\(2 = 1 \cdot 2\). Esto quiere decir que la única ecuación de la forma\(n = p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\), donde\(p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\) están los números primos, es el caso donde\(r = 1\)\(p_1 = 2\) y.Esto demuestra que\(P(2)\) es cierto.

Para el paso inductivo, vamos\(k \in \mathbb{N}\) con\(k \ge 2\). Asumiremos que\(P(2), P(3), ..., P(k)\) son ciertos. El objetivo ahora es demostrar que eso\(P(k + 1)\) es cierto. Para probarlo, asumimos que\((k + 1)\) tiene dos factorizaciones prime y luego demostramos que estas factorizaciones prime son las mismas. Entonces asumimos que

\(k + 1 = p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\)y eso\(k + 1 = q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s}\), donde\(p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\) y\(q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s}\) son primos con\(p_{1} \le p_{2} \le \cdot\cdot\cdot \le p_{r}\) y\(q_{1} \le q_{2} \le \cdot\cdot\cdot \le q_{s}\).

Ahora debemos probarlo\(r = s\), y para cada uno\(j\) de 1 a\(r\),\(p_{j} = q_{j}\). Podemos romper nuestra prueba en dos casos: (1)\(p_{1} \le q_{1}\); y (2)\(q_{1} \le p_{1}\). Ya que uno de estos debe ser cierto, y dado que las pruebas serán similares, podemos asumir, sin pérdida de generalidad, eso\(p_{1} \le q_{1}\).

Ya que\(k + 1 = p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r}\), eso lo sabemos\(p_{1}\ |\ (k + 1)\), y de ahí podemos concluir eso\(p_{1}\ |\ (q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s})\). Ahora utilizamos el Corolario 8.14 para concluir que existe un\(j\) con\(1 \le j \le s\) tal que\(p_{1}\ |\ q_{j}\). Desde\(p_{1}\) y\(q_{j}\) son primos, concluimos que

\(p_{1} = q_{j}\).

Ahora usamos esto y el hecho de que\(k + 1 = p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r} = q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s}\) para concluir que

\(p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{r} = q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{s}\).

El producto en la ecuación anterior es menor que\(k + 1\). De ahí, podemos aplicar nuestra hipótesis de inducción a estas factorizaciones y concluir que\(r = s\), y para cada uno\(j\) de 2 a\(r\),\(p_{j} = q_{j}\).

Esto completa la prueba de que si\(P(2), P(3), ..., P(k)\) son ciertas, entonces\(P(k + 1)\) es verdad. De ahí que por el Segundo Principio de Inducción Matemática, concluimos que\(P(n)\) es cierto para todos\(n \in \mathbb{N}\) con\(n \ge 2\). Esto completa la prueba del teorema.

Nota: A menudo acortamos el resultado del Teorema Fundamental de la Aritmética simplemente diciendo que cada número natural mayor que uno que no es primo tiene una factorización única como producto de primos. Esto simplemente significa que si\(n \in \mathbb{N}\),\(n > 1\), y n no es primo, entonces no importa cómo elijamos factorizar n en un producto de primos, siempre tendremos los mismos factores primos. La única diferencia puede estar en el orden en que escribimos los factores primos.

Otros resultados y conjeturas sobre números primos

1. El número de números primos Los números
   primos han fascinado a los matemáticos durante siglos. Por ejemplo, podemos comenzar a escribir fácilmente una lista de números primos en orden ascendente. A continuación se presenta una lista de los números primos menores a 100.
   
   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
   
   Esta lista contiene los primeros 25 números primos. ¿Alguna vez se detiene esta lista? La pregunta fue respondida en Elementos de Euclides, y el resultado se afirma en el Teorema 8.16. La prueba de este teorema se considera una de las pruebas clásicas por contradicción.

   Teorema 8.16.

   Hay infinitamente muchos números primos.

   Prueba

   Usaremos una prueba por contradicción. Asumimos que solo hay finitamente muchos primos, y vamos

   \(p_{1}, p_{2}, ..., p_{m}\)

   ser la lista de todos los primos. Let

   \[M = p_{1}p_{2}, ..., p_{m} + 1.\]

   Observe eso\(M \ne 1\). Entonces\(M\) es un número primo o, por el Teorema Fundamental de la Aritmética,\(M\) es un producto de números primos. En cualquier caso,\(M\) tiene un factor que es un número primo. Ya que hemos enumerado todos los números primos, esto significa que existe un número natural\(j\) con\(1 \le j \le m\) tal que\(p_{j}\ |\ M\). Ahora, podemos reescribir la ecuación (8.2.8) de la siguiente manera:

   \[1 = M - p_{1}p_{2} \cdot\cdot\cdot p_{m}.\]

   Hemos demostrado\(p_{j}\ |\ M\), y dado que\(p_{j}\) es uno de los factores primos de\(p_{1}p_{2} \cdot\cdot\cdot p_{m}\), también podemos concluir que\(p_{j}\ |\ (p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{m})\). Dado que\(p_{j}\) divide ambos términos en el lado derecho de la ecuación (8.2.9), podemos usar esta ecuación para concluir que\(p_{j}\) divide 1. Esto es una contradicción ya que un número primo es mayor que 1 y no puede dividir 1. De ahí que nuestra suposición de que sólo hay finitamente muchos primos es falsa, por lo que debe haber infinitamente muchos primos.

2. Hay infinitamente muchos primos, pero cuando escribimos una lista de los números primos, podemos ver algunas secuencias largas de números naturales consecutivos que no contienen números primos. Por ejemplo, no hay números primos entre 113 y 127. El siguiente teorema muestra que existen secuencias arbitrariamente largas de números naturales consecutivos que no contienen números primos. Una prueba guiada de este teorema se incluye en el Ejercicio (15).

   Teorema 8.17,

   Para cualquier número natural\(n\), existen al menos números naturales\(n\) consecutivos que son números compuestos.

   Hay muchas preguntas sin respuesta sobre los números primos, dos de las cuales ahora serán discutidas.

3. Al mirar la lista de los primeros 25 números primos, vemos varios casos en los que los números primos consecutivos difieren en 2. Ejemplos son: 3 y 5; 11 y 13; 17 y 19; 29 y 31. Se dice que tales pares de números primos son primos gemelos. ¿Cuántos primos gemelos existen? Se desconoce la respuesta. The Twin Prime Conjetura afirma que hay infinitamente muchos primos gemelos. Al 25 de junio de 2010, esto sigue siendo una conjetura ya que no ha sido probado ni desmentido.

   Para obtener información interesante sobre números primos, visite el sitio Web The Prime Pages (primes.utm.edu/), donde hay un enlace al sitio Web The Largest Knoxed Primes. Según la información de este sitio al 25 de junio de 2010, los primos gemelos más grandes conocidos son
   \[(65516468355 \times 2^{333333} - 1) \text{ and } (65516468355 \times 2^{333333} + 1).\]
   Cada uno de estos números primos contiene 100355 dígitos.

4. Dado un número natural par, ¿es posible escribirlo como una suma de dos números primos? Por ejemplo,
   
   4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 5 + 3
   78 = 37 + 41 90 = 43 + 47 128 = 67 + 71
   

   Uno de los problemas sin resolver más famosos en matemáticas es una conjetura hecha por Christian Goldbach en una carta a Leonhard Euler en 1742. La conjetura, ahora conocida como la Conjetura de Goldbach, es la siguiente:

   Cada entero par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos (no necesariamente distintos).

   Al 25 de junio de 2010, no se sabe si esta conjetura es verdadera o falsa, aunque la mayoría de los matemáticos creen que es verdad.

Ejercicio 8.2

1. Demostrar la segunda y tercera partes del Teorema 8.11.
   
   (a) Dejar\(a\) ser un entero distinto de cero, y dejar\(p\) ser un número primo. Si\(p\ |\ a\), entonces\(\text{gcd}(a, p) = p\).
   (b) Dejar\(a\) ser un entero distinto de cero, y dejar\(p\) ser un número primo. Si\(p\) no divide\(a\), entonces\(\text{gcd}(a, p) = 1\).
2. Demostrar la primera parte del Corolario 8.14.
   Vamos\(a, b \in \mathbb{Z}\), deja\(p\) ser un número primo. Si\(p\ |\ (ab)\), entonces\(p\ |\ a\) o\(p\ |\ b\). Pista: Considere dos casos: (1)\(p\ |\ a\); y (2)\(p\) no divide\(a\).
3. Utilizar la inducción matemática para probar la segunda parte del Corolario 8.14.
   Dejar\(p\) ser un número primo, dejar\(n \in \mathbb{N}\), y dejar\(a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{Z}\). Si\(p\ |\ (a_{1}a_{2} \cdot\cdot\cdot a_{n})\), entonces existe un\(k \in \mathbb{N}\) con\(1 \le k \le n\) tal que\(p\ |\ a_k\).
4. (a) Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros distintos de cero. Si existen enteros\(x\) y\(y\) tal que\(ax + by = 1\), ¿qué conclusión se puede hacer sobre gcd (\(a, b\))? Explique.
   (b) Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros distintos de cero. Si existen enteros\(x\) y\(y\) tal que\(ax + by = 2\), ¿qué conclusión se puede hacer sobre gcd (\(a, b\))? Explique.
5. (a) Dejar\(a \in \mathbb{Z}\). ¿Qué es gcd.a; a C 1/? Es decir, ¿cuál es el mayor divisor común de dos enteros consecutivos? Justifica tu conclusión.

   Pista: El ejercicio (4) podría ser útil.

   b) Dejar\(a \in \mathbb{Z}\). ¿Qué conclusión se puede hacer sobre gcd (\(a\),\(a + 2\))? Es decir, ¿qué conclusión se puede llegar sobre el mayor divisor común de dos enteros que difieren en 2? Justifica tu conclusión.

6. (a) Dejar\(a \in \mathbb{Z}\). ¿Qué conclusión se puede hacer sobre gcd (\(a\),\(a + 3\))? Es decir, ¿qué conclusión se puede llegar sobre el mayor divisor común de dos enteros que difieren en 3? Justifica tu conclusión.
   (b) Dejar\(a \in \mathbb{Z}\). ¿Qué conclusión se puede hacer sobre gcd (\(a\),\(a + 4\))? Es decir, ¿qué conclusión se puede llegar sobre el mayor divisor común de dos enteros que difieren en 4? Justifica tu conclusión.
7. (a) Dejar\(a = 16\) y\(b = 28\). Determinar el valor de\(d = \text{gcd}(a, b)\), y luego determinar el valor de gcd (\(\dfrac{a}{d}\),\(\dfrac{b}{d}\)).
   b) Repetir Ejercicio (7a) con\(a = 10\) y\(b = 45\).
   (c) Dejar\(a, b \in \mathbb{Z}\), no ambos iguales a 0, y dejar\(d = \text{gcd}(a, b)\). Explique por qué\(\dfrac{a}{d}\) y\(\dfrac{b}{d}\) son enteros. Entonces demuéstralo\(\text{gcd}(\dfrac{a}{d}, \dfrac{b}{d}) = 1\). Pista: Comience escribiendo\(d\) como una combinación lineal de\(a\) y\(b\).
   Esto dice que si divide ambos\(a\) y\(b\) por su mayor divisor común, el resultado serán dos enteros relativamente primos.
8. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones? Justifica tus conclusiones.
   
   (a) Para todos los enteros\(a\),\(b\), y\(c\), si\(a\ |\ c\) y\(b\ |\ c\), entonces\((ab)\ |\ c\).
   (b) Para todos los enteros\(a\)\(b\),, y\(c\), si\(a\ |\ c\)\(b\ |\ c\), y\(\text{gcd}(a, b) = 1\), entonces\((ab)\ |\ c\).
9. En el Ejercicio (16) en la Sección 3.5, se comprobó que si\(n\) es un entero impar, entonces\(8\ |\ (n^2 - 1\)\). (Este resultado también se probó en el Ejercicio (19) en la Sección 7.4.) Ahora, prueba la siguiente proposición:
   Si\(n\) es un entero impar y 3 no divide\(n\), entonces\(24\ |\ (n^2 - 1)\).
10. a) Demostrar la siguiente proposición:
    Para todos\(a, b, c \in \mathbb{Z}\),\(\text{gcd}(a, bc) = 1\) si y sólo si\(\text{gcd}(a, b) = 1\) y\(\text{gcd}(a, c) = 1\).
    b) Utilizar la inducción matemática para probar la siguiente proposición:
    Dejar\(n \in \mathbb{N}\) y dejar\(a, b_1, b_2, ..., b_n \in \mathbb{Z}\). Si\(\text{gcd}(a, b_i) = 1\) para todos\(i \in \mathbb{N}\) con\(1 \le i \le n\), entonces\(\text{gcd}(a, b_{1}b_{2} \cdot\cdot\cdot b_{n}) = 1\).
11. ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.
    Fro todo entero\(a\),\(b\), y\(c\), si\(\text{gcd}(a, b) = 1\) y\(c\ |\ (a + b)\), entonces\(\text{gcd}(a, c) = 1\) y\(\text{gcd}(b, c) = 1\).
12. ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.
    Si\(n \in \mathbb{N}\), entonces\(\text{gcd}(5n + 2, 12n + 5) = 1\)
13. Vamos\(y \in \mathbb{N}\). Utilice el Teorema Fundamental de la Aritmética para demostrar que existe un número natural impar x y un entero no negativo\(k\) tal que\(y = 2^{k}x\).
14. a) Determinar cinco primos diferentes que sean congruentes a 3 módulo 4.
    b) Demostrar que hay infinitamente muchos primos que son congruentes con 3 módulo 4.
15. (a) Dejar\(n \in \mathbb{N}\). Demostrar que 2 divide\([(n + 1)! + 2]\).
    (b) Dejar\(n \in \mathbb{N}\) con\(n \ge 2\). Demostrar que 3 divide\([(n + 1)! + 3]\).
    (c) Dejar\(n \in \mathbb{N}\). Demostrar que para cada uno\(k \in \mathbb{N}\) con\(2 \le k \le (n + 1)\),\(k\) divide\([(n + 1)! + k]\).
    d) Utilizar el resultado del Ejercicio (15c) para demostrar que para cada uno\(n \in \mathbb{N}\), existen por lo menos números naturales compuestos\(n\) consecutivos.
16. La Conjetura de Twin Prime afirma que hay infinitamente muchos primos gemelos, pero no se sabe si esta conjetura es verdadera o falsa. Sin embargo, se pueden determinar las respuestas a las siguientes preguntas.
    
    (a) ¿Cuántos pares de primos\(p\) y\(q\) existen dónde\(q - p = 3\)? Es decir, ¿cuántos pares de primos hay que difieren en 3? Demuestre que su respuesta es correcta. (Uno de esos pares es 2 y 5.)
    b) ¿Cuántos trillizos de primos de la forma\(p\)\(p + 2\), y\(p + 4\) los hay? Es decir, ¿cuántos trillizos de primos existen donde cada primo es 2 más que el primo anterior? Demuestre que su respuesta es correcta. Observe que uno de esos tripletes es 3, 5 y 7.
    Pista: Intente configurar casos usando congruencia módulo 3.
17. Demostrar la siguiente proposición:
    Vamos\(n \in \mathbb{N}\). Para cada uno\(a \in \mathbb{Z}\), si\(\text{gcd}(a, n) = 1\), entonces para cada\(b \in \mathbb{Z}\), existe un\(x \in \mathbb{Z}\) tal que\(ax \equiv b\) (mod\(n\)).
    Pista: Una forma es comenzar escribiendo 1 como una combinación lineal de\(a\) y\(n\).
18. Demostrar la siguiente proposición:

    Para todos los números naturales\(m\) y\(n\), si\(m\) y\(n\) son primos gemelos distintos del par 3 y 5, entonces 36 divide\(mn + 1\) y\(mn + 1\) es un cuadrado perfecto.

    Pista: Mira varios ejemplos de primos gemelos. ¿Qué nota del número que se encuentra entre los dos primos gemelos? Establecer casos con base en esta observación.

Exploraciones y actividades

19. Raíces cuadradas y números irracionales. En el capítulo 3, probamos que algunas raíces cuadradas (como\(\sqrt{2}\) y\(\sqrt{3}\)) son números irracionales. En esta actividad, utilizaremos el Teorema Fundamental de la Aritmética para demostrar que si un número natural no es un cuadrado perfecto, entonces su raíz cuadrada es un número irracional.
(a) Que\(n\) sea un número natural. Usa el Teorema Fundamental de la Aritmética para explicar por qué si n es compuesto, entonces existen números primos\(p_{1}, p_{2}, ..., p_{r}\) y números naturales\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{r}\) tales que

\[n = p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot\cdot\cdot p_{r}^{\alpha_{r}}.\]

Entonces, si usamos\(r = 1\) y\(\alpha_{1} = 1\) para un número primo, explique por qué podemos escribir cualquier número natural en la forma dada en la ecuación (8.2.11).

b) Un número natural\(b\) es un cuadrado perfecto si y sólo si existe un número natural\(a\) tal que\(b = a^2\). Explica por qué 36, 400 y 15876 son cuadrados perfectos. Entonces determinar la factorización prima de estos cuadrados perfectos. ¿Qué notas sobre estas factorizaciones prime?

(c)\(n\) Sea un número natural escrito en la forma dada en la ecuación (8.2.11) en la parte (a). Demostrar que\(n\) es un cuadrado perfecto si y solo si por cada número natural\(k\) con\(1 \le k \le r\),\(\alpha_{k}\) es par.

(d) Demostrar que para todos los números naturales\(n\), si no\(n\) es un cuadrado perfecto, entonces\(\sqrt{n}\) es un número irracional. Pista: Usa una prueba por contradicción.

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