1.1: Conjuntos Básicos
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Se ha dicho 1 que “Dios inventó los enteros, todo lo demás es obra del Hombre”. Esto es una traducción errada. El término “enteros” debería ser en realidad “números enteros”. Los conceptos de valores cero y negativos parecen (para muchas personas) ser construcciones antinaturales. En efecto, por lo demás todavía se sabe que las personas inteligentes se oponen al concepto de una cantidad negativa — “¿Cómo puedes tener tres manzanas negativas?” El concepto de cero también es algo profundo.
Probablemente la mayoría de la gente estará de acuerdo en que los números naturales son una construcción natural — son los números que usamos para contar las cosas. Tradicionalmente, se denotan los números naturales\(\mathbb{N}\).
En este momento parece que no hay acuerdo general sobre el estatus de cero\(0\) como número natural. ¿Hay colecciones que posiblemente podamos contar que no tengan miembros? Bueno, sí — Te invito a considerar la colección de lingotes de oro que guardo en mi sótano...
La visión tradicional parece ser que
\[\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots \}\]
es decir, que los naturales no incluyen\(0\). Mi preferencia personal sería hacer la otra elección (es decir, incluir\(0\) en los números naturales), pero por el momento, seamos tradicionalistas.
Tenga en cuenta que esta es una elección. Estamos adoptando una convención. Si en algún otro curso, u otro entorno matemático encuentras que se prefiere la otra convención, bueno, es bueno aprender flexibilidad...
Quizás la mejor manera de decir lo que es un conjunto, es hacer lo que tenemos arriba. Enumere todos los elementos. Por supuesto, si un conjunto tiene un número infinito de cosas en él, esta es una tarea difícil, por lo que nos satisfacemos enumerando suficientes elementos para que el patrón quede claro.
Dando\(\mathbb{N}\) por sentado, ¿qué se entiende por “todo lo demás” de que es responsable la humanidad? Los conjuntos básicos de diferentes tipos de “números” que todo estudiante de matemáticas debe conocer son:\(\mathbb{N}\),\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{Q}\),\(\mathbb{R}\) y\(\mathbb{C}\). Respectivamente: los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los números complejos. El uso de\(\mathbb{N}\),\(\mathbb{R}\) y probablemente\(\mathbb{C}\) sea claro para un hablante de inglés. Los enteros se denotan con a\(\mathbb{Z}\) debido a la palabra alemana zählen que significa “contar”. Los números racionales probablemente se denotan usando\(\mathbb{Q}\), para “cocientes”. Dejando a un lado la etimología, ¿es posible que proporcionemos descripciones precisas de estos conjuntos restantes?
Los enteros (\(\mathbb{Z}\)) son solo el conjunto de números naturales junto con los negativos de naturals y cero. Podemos usar una lista doblemente infinita para denotar este conjunto.
\[\mathbb{Z} = \{ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....\}\]
Para describir los números racionales precisamente tendremos que esperar hasta la Sección 1.6. En el ínterin, podemos utilizar una definición intuitivamente atractiva, pero algo imprecisa para el conjunto de racionales. Un número racional es una fracción construida a partir de enteros. Esto también nos brinda la oportunidad de dar un ejemplo del uso de la otra forma principal de describir el contenido de un conjunto, la llamada notación set-builder.
\[\mathbb{Q} = \{ \dfrac{a}{b} | a \in \mathbb{Z} \text{ and } b \in \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0 \} \]
Este es un buen momento para comenzar a construir un “glosario” —un léxico de traducción entre los símbolos de las matemáticas y el lenguaje sencillo. En la línea anterior estamos definiendo el conjunto\(\mathbb{Q}\) de números racionales, por lo que los primeros símbolos que aparecen son “\(\mathbb{Q} =\).” Es interesante señalar que el signo igual tiene dos significados sutilmente diferentes: asignación y prueba de igualdad, en la oración matemática anterior estamos haciendo una asignación —es decir, estamos declarando que a partir de ahora el conjunto\(\mathbb{Q}\) será el conjunto definido en el resto de la línea. 2 Ahora diseccionemos el resto de esa línea. Solo hay\(4\) personajes cuyo significado puede estar en duda,\(\{\),\(\}\),\(∈\) y\(|\). Las llaves (también conocidas como llaves francesas) están casi universalmente reservadas para denotar conjuntos, cualquier cosa que aparezca entre llaves está destinada a definir un conjunto. Al traducir de “matemáticas” al inglés, reemplace la llave inicial por la frase “el conjunto de todos”. El siguiente símbolo arcano en aparecer es la barra vertical. Como veremos en la Sección 1.4.3 este símbolo tiene (al menos) dos significados —siempre quedará claro desde el contexto que se entiende. En la frase que estamos analizando, representa las palabras “tal que”. El último bit de arcanos a descifrar es el símbolo\(∈\), significa la palabra inglesa “in” o, más formalmente, “es un elemento de”.
Analicemos la oración matemática completa que hemos estado discutiendo con una traducción al inglés en paralelo.
| \(\mathbb{Q}\) | \(=\) | \(\{\) | \(\dfrac{a}{b}\) |
| Los números racionales | se definen como | el conjunto de todos | fracciones de la forma\(a\) sobre\(b\) |
| \(|\) | \(a \in \mathbb{Z}\) | \(\text{and}\) | \(b \in \mathbb{Z}\) |
| de tal manera que | \(a\)es un elemento de los enteros | y | \(b\)es un elemento de los enteros |
| \(\text{and}\) | \(b \neq 0 \) | \(\}\) |
| y | \(b\)es distinto de cero | (la última rizada es silenciosa) |
Es bastante evidente que la notación matemática representa una gran mejora en cuanto a brevedad.
Como se mencionó anteriormente, esta definición es ligeramente defectuosa. Tendremos que esperar 'hasta más tarde para obtener una definición verdaderamente precisa de los racionales, pero invitamos al lector a reflexionar sobre qué le pasa a éste. Pista: pensar en el tema de si una fracción está en términos más bajos.
Procedamos con nuestra serie de juegos de números. El siguiente conjunto que consideraremos es\(\mathbb{R}\), el conjunto de números reales. Para alguien que ha completado Cálculo, los reales son quizás la noción más obvia y natural de lo que se entiende por “número”. Puede ser sorprendente saber que la definición real de lo que se entiende por un número real es extremadamente difícil. De hecho, surgió la primera formulación razonable de una definición precisa de los reales\(1858\), más de\(180\) años después del desarrollo del Cálculo 3. Una definición precisa para el conjunto R de números reales está más allá del alcance de este libro, por el momento considera la siguiente descripción intuitiva. Un número real es un número que mide alguna cantidad física. Por ejemplo, si un círculo tiene diámetro\(1\) entonces su circunferencia es\(π\), así\(π\) es un número real. Los puntos\((0, 0)\) y\((1, 1)\) en el plano cartesiano tienen distancia\(\sqrt{(0 − 1)^2 + (0 − 1)^2} = \sqrt{2}\), así\(\sqrt{2}\) es un número real. Cualquier número racional es claramente un número real — la pendiente es una cantidad física, y la línea de\((0, 0)\) a\((b, a)\) tiene pendiente\(\dfrac{a}{b}\). En la antigua Grecia, Pitágoras —quien a veces ha sido descrito como el primer matemático puro, creía que cada cantidad real era de hecho racional, una creencia que ahora sabemos que es falsa. Los números\(π\) y\(\sqrt{2}\) mencionados anteriormente no son números racionales. Por el momento es útil recordar un método práctico para distinguir entre números racionales y cantidades reales que no son racionales —considerar sus expansiones decimales. Si el lector no está familiarizado con el resultado al que estamos aludiendo, le exhortamos a experimentar. Use una calculadora o (mejor aún) un paquete de álgebra de computadora para encontrar las expansiones decimales de varias cantidades. Pruebe\(π\),\(\sqrt{2}\),\(\dfrac{1}{7}\),\(\dfrac{2}{5}\),\(\dfrac{16}{17}\),\(\dfrac{1}{2}\) y algunas otras cantidades de su propia elección. Dado que ya dijimos que los dos primeros de estos no son racionales, tratar de determinar el patrón. ¿Qué tienen las expansiones decimales que distinguen las cantidades racionales de los reales que no son racionales?
Dado que no podemos dar una definición precisa de un número real en este punto tal vez sea sorprendente que podamos definir el conjunto\(\mathbb{C}\) de números complejos con precisión (módulo el hecho de que los definamos en términos de\(\mathbb{R}\)).
\[\mathbb{C} = \{a + bi | a ∈ R \text{ and } b ∈ R \text{ and } i^2 = −1\}\]
Traduciendo este bit de matemáticas al inglés obtenemos:
| \(\mathbb{C}\) | \(=\) | \(\{\) | \(a+bi\) |
| Los números complejos | se definen como | el conjunto de todos | expresiones de la forma\(a\) más\(b\) veces\(i\) |
| \(|\) | \(a \in \mathbb{R}\) | \(\text{and}\) | \(b \in \mathbb{R}\) |
| de tal manera que | \(a\)es un elemento de los reales | y | \(b\)es un elemento de los reales |
| \(\text{and}\) | \(i^2 = -1\) | \(\}\) |
| y | \(i\)tiene la propiedad de que su plaza es negativa. |
A veces denotamos un número complejo usando una sola variable (por convención, ya sea letras romanas del alfabeto tardío o letras griegas. Supongamos que hemos definido\(z = a + bi\). La sola letra\(z\) denota todo el número complejo. Podemos extraer los componentes individuales de este número complejo hablando de las partes reales e imaginarias de\(z\). Específicamente,\(\text{Re}(z) = a\) se llama la parte real de\(z\), y\(\text{Im}(z) = b\) se llama la parte imaginaria de\(z\).
Los números complejos se suman y multiplican como si fueran binomios (polinomios con solo dos términos) donde\(i\) se trata como si fuera la variable — excepto que usamos la propiedad algebraica que\(i\) es cuadrada es\(-1\). Por ejemplo, para sumar los números complejos\(1 + 2i\) y solo\(3 − 6i\) pensamos en los binomios\(1 + 2x\) y\(3 − 6x\). Por supuesto, normalmente escribimos un binomio con el término que involucra a la variable que viene primero, pero esto es solo una convención. La suma de esos binomios sería\(4−4x\) y así la suma de los números complejos dados es\(4 − 4i\). Este tipo de operación es bastante típica y se llama adición por componentes. Para multiplicar números complejos tenemos que recordar cómo es que multiplicamos los binomios. Esta es la conocida regla FOIL (primero, exterior, interior, último). Por ejemplo el producto de\(3 − 2x\) y\(4 + 3x\) es\((3 · 4) + (3 · 3x) + (−2x · 4)+ (−2x · 3x)\) esta expresión simplifica a\(12+x−6x^2\). El cálculo análogo con números complejos se ve igual, hasta llegar a la última etapa donde, al simplificar, utilizamos el hecho de que\(i^2 = −1\).
\[\begin{equation} \begin{array} ((3 − 2i) · (4 + 3i) &= (3 · 4) + (3 · 3i) + (−2i · 4) + (−2i · 3i) \\ &=12 + 9i − 8i − 6i^2 \\ &= 12 + i + 6 \\ &= 18 + i \end{array} \end{equation} \]
Los números reales tienen un orden natural, y por lo tanto, también lo hacen los otros conjuntos que están contenidos en\(\mathbb{R}\). Los números complejos realmente no se pueden poner en un orden bien definido, ¿cuál debería ser más grande,\(1\) o\(i\)? Pero sí tenemos una manera de lograr, al menos parcialmente, esta tarea. El módulo de un número complejo es un número real que da la distancia desde el origen\((0 + 0i)\) del plano complejo, a un número complejo dado. Indicamos el módulo usando barras de valor absoluto, y debe tener en cuenta que si un número complejo resulta ser puramente real, el módulo y la noción habitual de valor absoluto coinciden. Si\(z = a+bi\) es un número complejo, entonces su módulo,\(|| a+bi ||\), viene dado por la fórmula\(\sqrt{a^2 + b^2}\).
Varios de los conjuntos de números que hemos estado discutiendo se pueden dividir en base a la llamada propiedad de la tricotomía: cada número real es positivo, negativo o cero. En particular,\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{Q}\) y\(\mathbb{R}\) puede tener modificadores pegados para que podamos discutir (por ejemplo) los números reales negativos, o los números racionales positivos o los enteros que no son negativos. Para ello, ponemos superíndices en los símbolos establecidos, ya sea a\(+\) o a\(−\) o la palabra “noneg”.
Entonces
\[\mathbb{Z}^+ = \{ x \in \mathbb{Z} | x > 0 \}\]
y
\[\mathbb{Z}^- = \{ x \in \mathbb{Z} | x < 0 \}\]
y
\[\mathbb{Z}^{\text{noneg}} = \{ x \in \mathbb{Z} | x \geq 0 \}\]
Presumiblemente, también podríamos usar “nonpos” como superíndice para indicar enteros no positivos, pero esto nunca parece surgir en la práctica. Además, debes tener en cuenta que\(\mathbb{Z}^+\) es realmente lo mismo que\(\mathbb{N}\), pero eso\(\mathbb{Z}^{\text{noneg}}\) es diferente porque contiene\(0\).
Seríamos negligentes al cerrar esta sección sin discutir la forma en que encajan los conjuntos de números que hemos discutido. En pocas palabras, cada uno está contenido en el siguiente. N está contenido en\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{Z}\) está contenido en\(\mathbb{Q}\),\(\mathbb{Q}\) está contenido en\(\mathbb{R}\), y\(\mathbb{R}\) está contenido en\(\mathbb{C}\). Geométricamente los números complejos son esencialmente un plano bidimensional. Los números reales se sientan dentro de este plano así como el\(x\) eje -eje se encuentra dentro del plano cartesiano habitual- en este contexto es posible que se escuche a la gente hablar de “la línea real dentro del plano complejo”. Probablemente esté claro cómo\(\mathbb{N}\) se encuentra dentro\(\mathbb{Z}\), y cada entero es sin duda un número real. El conjunto intermedio\(\mathbb{Q}\) (que contiene los enteros, y está contenido por los reales) tiene probablemente la relación más interesante con el conjunto que lo contiene. Piensa en la línea real como sólida, como un trazo de lápiz oscuro. Los racionales son como arena que ha sido rociada muy uniformemente sobre esa línea. Cada punto de la línea tiene trozos de arena cerca, pero no (necesariamente) encima de él.
Ejercicios
Cada una de las cantidades que indexan las filas de la siguiente tabla se encuentra en uno o más de los conjuntos que indexan las columnas. Coloque una marca de verificación en una entrada de tabla si la cantidad está en el conjunto.
| \(\mathbb{N}\) | \(\mathbb{Z}\) | \(\mathbb{Q}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{C}\) | ||
| \(17\) | ||||||
| \(\pi\) | ||||||
| \(\dfrac{22}{7}\) | ||||||
| \(-6\) | ||||||
| \(e^0\) | ||||||
| \(1+i\) | ||||||
| \(\sqrt{3}\) | ||||||
| \(i^2\) | ||||||
Escribe el conjunto\(\mathbb{Z}\) de números enteros usando un listado infinito individual.
Identificar cada uno como racional o irracional.
- \(5021.2121212121 . . .\)
- \(0.2340000000 . . .\)
- \(12.31331133311133331111 . . .\)
- \(π\)
- \(2.987654321987654321987654321 . . .\)
La secuencia de “ver y decir” se produce escribiendo primero a\(1\), luego iterando el siguiente procedimiento: mira la entrada anterior y di cuántas entradas hay de cada entero y anota lo que acabas de decir. Los primeros términos de la secuencia de “ver y decir” son\(1\),,\(11\),\(21\),\(1112\),\(3112\),\(211213\),\(312213\),\(212223\),\(. . .\). Comente sobre la racionalidad (o irracionalidad) del número cuyos dígitos decimales se obtienen al concatenar la secuencia de “ver y decir”.
\(0.1112111123112211213...\)
Dar una descripción del conjunto de números racionales cuyas expansiones decimales terminan. (Alternativamente, puede pensar en sus expansiones decimales que terminan en una cadena infinitamente larga de ceros).
Encuentra las primeras\(20\) cifras decimales de\(π\)\(\dfrac{3}{7}\),\(\sqrt{2}\),\(\dfrac{2}{5}\),\(\dfrac{16}{17}\),\(\sqrt{3}\),\(\dfrac{1}{2}\) y\(\dfrac{42}{100}\). Clasifique cada una de las expansiones decimales de estas cantidades como: terminar, tener un patrón repetitivo o mostrar ningún patrón discernible.
Considera el proceso de división larga. ¿Este algoritmo da alguna idea de por qué los números racionales tienen expansiones decimales terminantes o repetitivas? Explique.
Dar un argumento de por qué el producto de dos números racionales vuelve a ser racional.
Realice los siguientes cálculos con números complejos
- \((4 + 3i) − (3 + 2i)\)
- \((1 + i) + (1 − i)\)
- \((1 + i) · (1 − i)\)
- \((2 − 3i) · (3 − 2i)\)
El conjugado de un número complejo se denota con una estrella superíndice, y se forma negando la parte imaginaria. Así si\(z = 3 + 4i\) entonces el conjugado de\(z\) es\(z^∗ = 3 − 4i\). Dar un argumento de por qué el producto de un número complejo y su conjugado es una cantidad real. (Es decir, la parte imaginaria de\(z · z^∗\) es necesariamente\(0\), sin importar para qué número complejo se utilice)\(z\).