1.3: Notación más aterradora
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A menudo ocurre que queremos probar afirmaciones que afirman que algo es cierto para cada elemento de un conjunto. Por ejemplo, “Cada número tiene una inversa aditiva”. Hay que señalar que la verdad de esa afirmación es relativa, depende de lo que se entiende por “número”. Si estamos hablando de números naturales es claramente falso:\(3\) la inversa aditiva no está en el conjunto bajo consideración. Si estamos hablando de enteros o de cualquiera de los otros conjuntos que hemos considerado, la afirmación es verdadera. Una declaración que comienza con las palabras inglesas “every” o “all” se llama universalmente cuantificada. Se afirma que la afirmación sostiene para todo dentro de algún universo. Probablemente esté claro que cuando estamos haciendo declaraciones afirmando que una cosa tiene una inversa aditiva, no estamos discutiendo sobre seres humanos o animales o prendas de vestir —estamos hablando de objetos que es razonable sumar: números de un tipo u otro. Al tener cuidado — ¡y siempre debemos esforzarnos por tener cuidado! — es importante hacer explícito de qué universo (conocido como universo del discurso) provienen los objetos que estamos discutiendo. Además, necesitamos distinguir entre afirmaciones que aseveran que todo en el universo del discurso tiene alguna propiedad, y afirmaciones que digan algo sobre algunos (o incluso solo uno) de los elementos de nuestro universo. Declaraciones de este último tipo se denominan existencialmente cuantificadas.
Añadiendo al glosario o léxico de traducción que iniciamos anteriormente, hay símbolos que describen ambos tipos de cuantificación. El símbolo\(∀\), un revés\(\text{A}\), se utiliza para la cuantificación universal, y generalmente se traduce como “para todos”. El símbolo\(∃\), al revés\(\text{E}\), se utiliza para la cuantificación existencial, se traduce como “hay” o “existe”. Echemos un vistazo a una oración matemáticamente precisa que capta el significado de aquella con la que iniciamos esta sección.
\[∀x ∈ Z, \; ∃y ∈ Z, \; x + y = 0.\]
Analizando esto como lo hemos hecho antes con una traducción al inglés en paralelo, obtenemos:
| \(∀x\) | \(∈ Z\) | \(∃y\) |
| Por cada número x | en el conjunto de enteros | hay un numero y |
| \(∈ Z\) | \( x + y = 0\) |
| en los enteros | teniendo la propiedad que su suma es 0. |
¿Qué tipo de cuantificación tienen los siguientes enunciados?
- Cada perro tiene su día.
- Algunos días simplemente no vale la pena levantarse de la cama.
- Hay una fiesta en el dormitorio de alguien este sábado.
- Hay alguien para todos.
Un par de los ejemplos del ejercicio anterior en realidad tienen dos cuantificadores en ellos. Cuando hay dos o más cuantificadores (diferentes) en una oración hay que tener cuidado de mantener su orden recto. Las dos frases siguientes contienen todos los mismos elementos excepto que las palabras que indican cuantificación han sido cambiadas. ¿Tienen el mismo significado?
Por cada estudiante de James Woods High School, hay algún artículo de comida de cafetería que les gusta comer.
Hay algún artículo de comida de cafetería que a todos los estudiantes de James Woods High School les gusta comer.
Ejercicios
¿Cuántos cuantificadores (y qué tipos) hay en la siguiente oración? “Todo el mundo tiene algún amigo que piensa que sabe todo sobre un deporte”.
La frase “Cada elemento metálico es un sólido a temperatura ambiente.” es falsa. ¿Por qué?
La frase “Por cada par de números reales (distintos) hay otro número real entre ellos”. es cierta. ¿Por qué?
Escribe tus propias oraciones que contengan cuatro cuantificadores. Una frase en la que aparecen los cuantificadores\((∀∃∀∃)\) y otra en la que aparecen\((∃∀∃∀)\).