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# 1.6: Números racionales e irracionales

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Cuando discutimos por primera vez los números racionales en la Sección 1.1 dimos la siguiente definición, lo cual no es del todo correcto.

$\mathbb{Q} = \{ \dfrac{a}{b} | a ∈ \mathbb{Z} \text{ and } b ∈ \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0\}$

Ahora estamos en condiciones de solucionar el problema.

Entonces, ¿cuál era el problema después de todo? Esencialmente esto: hay muchas expresiones formadas con un entero escrito sobre otro (con una barra de fracción intermedia) que representan exactamente el mismo número racional. Por ejemplo,$$\dfrac{3}{6}$$ y$$\dfrac{14}{28}$$ son cosas distintas que aparecen en el conjunto definido anteriormente, pero todos sabemos que ambas representan el número racional$$\dfrac{1}{2}$$. Para eliminar este problema con nuestra definición de los racionales necesitamos agregar una condición adicional que asegure que tales duplicados no surjan. Resulta que lo que queremos es que los numeradores y denominadores de nuestras fracciones no tengan factores en común. Otra forma de decir esto es que se elija el$$a$$ y$$b$$ de la definición anterior para que$$\text{gcd}(a, b) = 1$$. Un par de números cuyo$$\text{gcd}$$$$1$$ se llama relativamente primo.

Estamos listos, por fin, para dar una definición buena y precisa del conjunto de números racionales. (Aunque hay que señalar que no hemos terminado del todo juguetear; en la Sección 6.3 se dará una definición aún mejor).

$\mathbb{Q} = \{ \dfrac{a}{b} | a,b ∈ \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0 \text{ and } \text{gcd}(a,b) = 1\}$

Como lo hemos hecho en el pasado, analicemos esto con una traducción al inglés en paralelo.

 $$\mathbb{Q}$$ $$=$$ $$\{$$ Los números racionales se definen como el conjunto de todos
 $$\dfrac{a}{b}$$ $$|$$ $$a,b \in \mathbb{Z}$$ $$\text{and}$$ fracciones de la forma$$a$$ sobre$$b$$ tal que $$a$$y$$b$$ son enteros y

 $$b \neq 0$$ $$\text{and}$$ $$\text{gcd}(a, b) = 1$$ $$\}$$ $$b$$es distinto de cero y $$a$$y$$b$$ son relativamente primos.

Por último, estamos listos para enfrentar un problema fundamental que fue pasado por alto en la Sección 1.1. En ese entonces definimos dos sets$$\mathbb{R}$$,$$\mathbb{Q}$$ y, la suposición oculta que uno hace al afirmar que hay dos de algo es que las dos cosas son distintas. ¿Este es realmente el caso? Los reales se han definido (irrigurosamente) como números que miden las magnitudes de las cantidades físicas, entonces otra forma de plantear la pregunta es esta: ¿Hay cantidades físicas (por ejemplo longitudes) que no son números racionales?

La respuesta es que hay números que miden longitudes que no son números racionales. Con nuestra nueva y mejorada definición de lo que se entiende por un número racional estamos listos para demostrar que hay al menos una longitud que no se puede expresar como una fracción. Usando el teorema de Pitágoras es fácil ver que la longitud de la diagonal de una unidad cuadrada es$$\sqrt{2}$$. La prueba que no$$\sqrt{2}$$ es racional suele atribuirse a los seguidores de Pitágoras (pero probablemente no al propio Pitágoras). En todo caso es resultado de una gran antigüedad. La prueba es de un tipo conocido como reductio ad absurdum 1. Demostramos que una suposición dada conduce lógicamente a un absurdo, una afirmación que no puede ser cierta, entonces sabemos que la suposición original debe ser falsa en sí misma. Este método de prueba es un poco resbaladizo; primero hay que asumir exactamente lo contrario de lo que se espera probar y luego argumentar (a propósito) hacia una conclusión ridícula.

##### Teorema$$\PageIndex{1}$$

El número no$$\sqrt{2}$$ está en el conjunto$$\mathbb{Q}$$ de números racionales.

Antes de que realmente podamos dar la prueba debemos probar un resultado intermediario —pero no lo haremos, guardaremos esta prueba para que el estudiante lo haga más tarde (je, je, je.). Este tipo de resultados intermedios, cosas que no merecen ser llamadas teoremas en sí mismas, pero que no son del todo evidentes por sí mismas se conocen como lemmas. A menudo ocurre que en un intento de probar una declaración nos encontramos en necesidad de algún pequeño hecho. Quizás hasta parece ser cierto pero no está claro. En tales circunstancias, la buena forma dicta que primero declaremos y probemos el lema luego proceder a nuestro teorema y su prueba. Entonces, aquí, sin su prueba es el lema que necesitaremos.

##### Lema$$\PageIndex{1}$$

Si el cuadrado de un entero es par, entonces el entero original es par.

Dado que la minuciosidad exige que llenemos este vacío probando realmente el lema en una fecha posterior, ahora podemos proceder con la prueba de nuestro Teorema$$1.6.1$$.

Prueba:

Supongamos al contrario que$$\sqrt{2}$$ es un número racional. Entonces por la definición del conjunto de números racionales, sabemos que hay enteros$$a$$ y que$$b$$ tienen las siguientes propiedades:$$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$$ y$$\text{gcd}(a, b) = 1$$.

Considera la expresión$$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$$. Al cuadrar ambos lados de esto obtenemos

$2 = \dfrac{a^2}{b^2}.$

Esta última expresión se puede reorganizar para dar

$a^2 = 2b^2$

Una consecuencia inmediata de esta última ecuación es que$$a^2$$ es un número par. Usando el lema anterior ahora sabemos que$$a$$ es un entero par y de ahí que hay un entero$$m$$ tal que$$a = 2m$$. Sustituir esta última expresión en la ecuación anterior da

$(2m)^2 = 2b^2,$

por lo tanto,

$4m^2 = 2b^2,$

entonces

$2m^2 = b^2.$

Esto nos dice que$$b^2$$ es parejo, y por lo tanto (por el lema),$$b$$ es parejo. Por último, hemos llegado al absurdo deseado porque si$$a$$ y$$b$$ son ambos parejos entonces$$\text{gcd}(a, b) ≥ 2$$, pero, por otro lado, uno de nuestros supuestos iniciales es ese$$\text{gcd}(a, b) = 1$$.

$$\text{Q.E.D.}$$

## Ejercicios:

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

La Aproximación Racional es un campo de las matemáticas que ha recibido mucho estudio. La idea principal es encontrar números racionales que sean muy buenas aproximaciones a los irracionales dados. Por ejemplo,$$\dfrac{22}{7}$$ es una aproximación racional bien conocida a$$π$$. Encuentra buenas aproximaciones racionales a$$\sqrt{2}$$,$$\sqrt{3}$$,$$\sqrt{5}$$ y$$e$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

La teoría de la$$n$$ notación base que observamos en la subsección 1.4.2 puede extenderse para tratar con números reales y racionales introduciendo un punto decimal (que probablemente debería renombrarse de acuerdo con la base) y sumando dígitos a la derecha de la misma. Por ejemplo,$$1.1011$$ es la notación binaria para$$1 · 2^0 + 1 · 2^{−1} + 0 · 2^{−2} + 1 · 2^{−3} + 1 · 2^{−4}$$ o$$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} = 1 \dfrac{11}{16}$$.

Considera el número binario$$.1010010001000010000010000001 . . .$$, ¿este número es racional o irracional? ¿Por qué?

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Si un número$$x$$ es par, es fácil demostrar que su cuadrado$$x^2$$ es par. El lema que quedó sin probar en esta sección nos pide comenzar con un cuadrado$$(x^2)$$ que sea parejo y deducir que el número de la ONU al cuadrado$$(x)$$ es parejo. Realizar alguna experimentación numérica para comprobar si esta afirmación es razonable. ¿Puedes dar un argumento que lo pruebe?

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

La prueba que$$\sqrt{2}$$ es irracional puede generalizarse para mostrar que$$\sqrt{p}$$ es irracional para cada número primo$$p$$. ¿Qué afirmación equivaldría al lema sobre la paridad de$$x$$ y$$x^2$$ en tal generalización?

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Escribir una prueba que$$\sqrt{3}$$ sea irracional.

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