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2.2: Implicación

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    Supongamos que una madre le hace la siguiente declaración a su hijo: “Si terminas tus arvejas, obtendrás postre”.

    Esta es una oración compuesta compuesta por las dos frases más simples\(P =\) “Acabas tus guisantes” y\(D =\) “Te darán postre”. Es un ejemplo de un tipo de oración compuesta llamada condicional. Los condicionales son declaraciones tipo sif-then. En el lenguaje ordinario se suele eliminar la palabra “entonces” (como es el caso de nuestro ejemplo anterior). Otra forma de formular la relación “Si\(\text{P}\) entonces\(\text{D}\).” es usar la palabra “implica” —aunque sería una madre bastante poco común que diría “Acabar tus guisantes implica que recibirás postre”.

    Como fue el caso en el apartado anterior, existen cuatro situaciones posibles y debemos considerar cada una para decidir la verdad/falsedad de esta afirmación condicional. Los guisantes pueden o no estar terminados, e independientemente, el postre puede o no ser ofrecido.

    Supongamos que el niño termina los guisantes y la madre se encuentra con el postre. Claramente, en esta situación la declaración de la madre era cierta. Por otro lado, si el niño termina los odiados guisantes y sin embargo no recibe una golosina, ¡es igual de obvio que la madre ha mentido! ¿Qué decimos de la veracidad de la madre en el caso de que los guisantes queden inconclusos? Aquí, mamá se pone un respiro. O bien puede sostenerse firme y no entregar postre, o puede ser blanda y dar dulces no ganados —en cualquier caso, no podemos acusarla de contar una falsedad. El comunicado que hizo tuvo que ver únicamente con las eventualidades tras el consumo total de guisantes, no dijo nada sobre lo que pasa si los guisantes quedan sin comer.

    A los componentes de una declaración condicional se les llama antecedente (esta es la parte “si”, como en “termina tus guisantes”) y la consecuente (esta es la parte de “entonces”, como en “get dessert”). La discusión en el último párrafo se pretendía hacer el punto de que cuando el antecedente es falso, debemos considerar que el condicional es cierto. Se dice que los condicionales que son ciertos porque sus antecedentes son falsos son vacuamente ciertos. El condicional que involucra un antecedente\(A\) y un consecuente\(B\) se expresa simbólicamente usando una flecha:\(A \implies B\). Aquí hay una tabla de verdad para este conectivo.

    \(A\) \(B\) \(A \implies B\)
    \(\text{T}\) \(\text{T}\) \(\text{T}\)
    \(\text{T}\) \(\phi\) \(\phi\)
    \(\phi\) \(\text{T}\) \(\text{T}\)
    \(\phi\) \(\phi\) \(\text{T}\)
    Practica

    Tenga en cuenta que esta tabla de verdad es similar a la tabla de verdad porque\(A ∨ B\) en que solo hay una sola fila teniendo una\(\phi\) en la última columna. Para\(A ∨ B\) el\(\phi\) ocurre en la\(4^{\text{th}}\) fila y para\(A ⇒ B\) ello ocurre en la\(2^{\text{nd}}\) fila. Esto sugiere que modificando adecuadamente las cosas (reemplazando\(A\) o\(B\) por sus negaciones) podríamos llegar a una declaración “o” que tuviera el mismo significado que el condicional. ¡Pruébalo!

    Es bastante común que se utilicen condicionales para expresar amenazas, como en el ejemplo de los guisantes/postres. Otra forma común de expresar una amenaza es usar una disyunción: “Termina tus guisantes, o no obtendrás postre”. Si has estado prestando atención (e hiciste el último ejercicio), notarás que esta no es la disyunción que debería tener el mismo significado que el condicional original. Probablemente no haya madre en la Tierra que diga “¡No termines tus arvejas, o te dan postre!” a su hijo (desde luego no si espera ser entendida). Entonces, ¿qué está pasando aquí?

    El problema es que “Termina tus guisantes, o no vas a conseguir postre”. tiene el mismo contenido lógico que “Si consigues postre entonces terminaste tus guisantes”. (Observe que los roles del antecedente y consecuente han sido cambiados.) Y, si bien esta última frase suena incómoda, probablemente sea un reflejo más preciso de lo que pretendía la madre. ¡El problema realmente es que la gente es increíblemente descuidada con sus declaraciones condicionales! Mucha gente secretamente quiere la\(3^{\text{rd}}\) fila de la tabla de la verdad\(\implies\) para tener una\(\phi\) en ella, ¡y simplemente no lo hace! El operador que resulta si hacemos esta modificación se llama el bicondicional, y se expresa en inglés usando la frase “si y solo si” (lo que lleva a los matemáticos a la abreviatura “iff” mucho para consternación de los programas de revisión ortogonal en todas partes). El bicondicional se denota usando una flecha que apunta en ambos sentidos. Sigue su tabla de verdad.

    \(A\) \(B\) \(A \iff B\)
    \(\text{T}\) \(\text{T}\) \(\text{T}\)
    \(\text{T}\) \(\phi\) \(\phi\)
    \(\phi\) \(\text{T}\) \(\phi\)
    \(\phi\) \(\phi\) \(\text{T}\)

    Tenga en cuenta, que si bien nos gusta esforzarnos por la precisión, no necesariamente recomendamos el uso de frases como “Recibirás postre si, y solo si, terminas tus arvejas”. con niños pequeños.

    Dado que las oraciones condicionales a menudo se confunden con la oración que tiene los papeles de antecedente y consecuente invertido, a esta oración conmutada se le ha dado un nombre: es lo contrario de la declaración original. Otro condicional que es distinto de (pero relacionado con) un condicional dado es su inverso. Este tipo de oraciones probablemente tuvieron que ser nombradas por un concepto erróneo muy común, mucha gente piensa que la manera de negar una proposición si-entonces es negando sus partes. Álgebraicamente, esto parece razonable —una especie de ley distributiva para la negación lógica sobre las implicaciones—\(¬(A \implies B) = ¬A \implies ¬B\). Tristemente, esta afirmación de aspecto razonable no puede ser cierta; dado que las implicaciones solo tienen una\(\phi\) en una tabla de la verdad, la negación de una implicación debe tener tres —pero la afirmación con los\(¬\)'s en las partes de la implicación sólo va a tener una sola\(\phi\) en su tabla de la verdad.

    Para recapitular, lo contrario de una implicación ha cambiado las piezas (antecedente y consecuente). La inversa de una implicación tiene las piezas negadas. Ninguno de estos es lo mismo que la implicación original. Curiosamente, este es uno de esos momentos en los que dos errores hacen un derecho. Si comienzas con una implicación, formas su conversación, luego tomas la inversa de eso, obtienes una declaración que tiene exactamente el mismo significado lógico que el original. A esta nueva declaración se le llama el contrapositivo.

    Esta información se muestra en la Figura 2.2.1

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    Figura\(\PageIndex{1}\): La relación entre un enunciado condicional, su inverso, su inverso y su contrapositivo. (Copyright; autor vía fuente)

    Un último consejo sobre los condicionales: no confundas las relaciones lógicas sif-then con la causalidad. Muchas de las frases si-entonces con las que nos encontramos en la vida ordinaria describen causa y efecto: “Si cortas el cable verde la bomba explotará”. (Bien, ese es un ejemplo de la vida ordinaria de un técnico de escuadrón antibombas, pero...) Por lo general, lo mejor es pensar en las relaciones sif-entonces que encontramos en Lógica como divorciadas del flujo del tiempo, el hecho de que lógicamente\(A \implies B\) es lo mismo que\(¬A ∨ B\) da credencia a este punto de vista.

    Ejercicios:

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    La propiedad transitiva de igualdad dice que si\(a = b\) y\(b = c\) entonces\(a = c\). ¿La flecha de implicación satisface una propiedad transitiva? Si es así, declararlo.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Tablas completas de verdad para las oraciones compuestas\(A \implies B\) y\(¬A ∨ B\).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Completa una tabla de verdad para la oración compuesta\(A \implies (B \implies C)\) y para la oración\((A \implies B) \implies C\). ¿Qué se puede concluir sobre los condicionales y la propiedad asociativa?

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Determinar una oración usando el conector y\((∧)\) que da la negación de\(A \implies B\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Reescribe la frase “¡Arregle el inodoro o no voy a pagar la renta!” como condicional.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    ¿Por qué es que la frase “Si los cerdos pueden volar, yo soy el rey de Mesopotamia”. cierto?

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Exprese la declaración\(A \implies B\) usando la flecha Peirce y/o el trazo de Scheffer. (Ver Ejercicio\(2.1.5\) en el apartado anterior.)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra los contrapositivos de las siguientes frases.

    Si no puedes hacer el tiempo, no hagas el crimen.

    Si te va bien en la escuela, obtendrás un buen trabajo.

    Si deseas que los demás te traten de cierta manera, debes tratar a los demás de esa manera.

    Si está lloviendo, debe haber nubes.

    Si\(a_n ≤ b_n\), para todos\(n\) y\(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\) es una serie convergente, entonces\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) es una serie convergente.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    ¿Cuáles son lo contrario y lo inverso de “Si cuidas mi espalda, yo te cuidaré la espalda”?

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    La prueba integral en Cálculo se utiliza para determinar si una serie infinita converge o diverge: Supongamos que\(f(x)\) es una función positiva, decreciente, de valor real con\(\lim_{x \longrightarrow ∞} f(x) = 0\), si la integral impropia\(\int_{0}^{\infty} f(x)\) tiene un valor finito, entonces la serie infinita\(\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\) converge. La prueba integral debe imaginarse dejando que la serie corresponda a una suma de Riemann derecha para la integral, ya que la función es decreciente, una suma de Riemann derecha es una subestimación para el valor de la integral, por lo tanto

    \(\sum_{n=1}^{\infty} f(n) < \int_{0}^{\infty} f(x) \).

    Discutir los significados de y (cuando sea posible) proporcionar justificaciones para lo inverso, inverso y contrapositivo de la declaración condicional en la prueba integral.

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    En la Isla de Caballeros y Knaves (ver Ejercicio\(2.1.6\)) te encuentras con dos individuos llamados Locke y Demóstenes.

    • Locke dice: “Demóstenes es una puñalada”.
    • Demóstenes dice “Locke y yo somos caballeros”.

    ¿Quién es un caballero y quién un knave?


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