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2.5: Declaraciones cuantificadas

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    Todas las declaraciones discutidas en las secciones anteriores eran del tipo “completamente inequívoco”; es decir, no tenían incógnitas en ellas. Como lector de este texto, es una apuesta segura que hayas dominado Álgebra y estés firmemente convencido de la utilidad de\(x\) y\(y\). Es cierto que hemos utilizado variables para referirnos a oraciones (o fragmentos de oraciones) ellas mismas, pero hemos dicho que las oraciones que tenían variables en ellas eran ambiguas y ni siquiera merecían ser llamadas declaraciones lógicas. La noción de cuantificación nos permite utilizar el poder de las variables dentro de una oración sin introducir ambigüedad.

    Considera la frase “Hay primos exactamente\(7\) impares menores que”\(20\). Esta frase tiene algún tipo de ambigüedad en ella (porque no menciona explícitamente a los primos) y, sin embargo, ¡ciertamente parece tener un valor de verdad definido! La razón por la que se conoce su valor de verdad (por cierto, lo es\(\text{T}\)) es que se cuantifica la oración. “\(\text{X}\)es un primo impar menor que\(20\).” es una frase ambigua, pero “Hay exactamente\(7\) distintos's que son primos impares menores que\(20\).” no lo es. Este ejemplo representa una forma bastante inusual de cuantificación. Por lo general, quitamos la ambigüedad de una oración que tiene una variable en ella al afirmar uno de dos niveles de cuantificación: “esto es cierto al menos una vez” o “esto siempre es cierto”. De hecho ya hemos visto los símbolos (\(∃\)y\(∀\)) para estos conceptos (en la Sección 1.3).

    Una oración abierta es aquella que tiene variables en ella. Representamos oraciones abiertas usando una especie de notación funcional para mostrar qué variables hay en ellas.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Open Sentences
    1. \(P(x) =\)\(2^{2^x} + 1\)es un primo”.
    2. \(Q(x, y) =\)\(x\)es primo o\(y\) es un divisor de”\(x\).
    3. \(L(f, c, l) =\)“La función\(f\) tiene límite\(l\) en\(c\), si y sólo si, por cada número positivo\(\epsilon\), hay un número positivo\(δ\) tal que siempre\(|x − c| < δ\) que siga eso”\(|f(x) − l| < \epsilon\).

    ¡Ese último ejemplo sin duda es un doozey! A primera vista, parecería tener más de tres variables en él, ¡y de hecho sí lo tiene! En orden de aparición, tenemos\(f\),,\(l\),\(c\)\(\epsilon\),\(δ\) y\(x\) — las tres últimas variables que aparecen (\(\epsilon\),\(δ\) y\(x\)) se dice que están ligadas. Una variable en una oración abierta está enlazada si está en el alcance de un cuantificador. Las variables enlazadas no necesitan ser mencionadas en la lista de argumentos de la oración. Desafortunadamente, cuando las oraciones se dan en lenguajes naturales el estado de cuantificación de una variable puede no ser claro. Por ejemplo en la tercera frase anterior,\(δ\) se ve fácilmente que la variable está en el alcance del cuantificador\(∃\) por las palabras “hay un número positivo” que le preceden. De igual manera,\(\epsilon\) se cuantifica universalmente (\(∀\)) porque la frase “por cada número positivo” aparece ante ella. ¿Cuál es el estado\(x\)? ¿De verdad está atado? Las respuestas a tales preguntas pueden no ser claras al principio, pero después de algún pensamiento deberías poder decidir que\(x\) está universalmente cuantificado.

    Práctica

    ¿Qué palabra en el ejemplo iii) indica que\(x\) está en el alcance de un\(∀\) cuantificador?

    No es raro, en Matemáticas avanzadas, encontrar oraciones compuestas que involucran decenas de variables\(4\) y/o\(5\) niveles de cuantificación. Tales frases parecen irremediablemente complicadas a primera vista; la clave para entenderlas es determinar explícitamente el estado de cuantificación de cada variable y descomponer las cosas en subpartes más simples.

    Por ejemplo, al entender el ejemplo iii) anterior, podría ser útil definir algunas nuevas oraciones abiertas:

    \[D(x, c, δ) = “|x − c| < δ”\]

    \[E(f, x, l, \epsilon) = “|f(x) − l| < \epsilon”\]

    Además, a menudo es útil reemplazar una frase incómoda (como “el límite de f en c es l”) con símbolos cuando es posible.

    Ejemplo iii) ahora parece

    \[\lim_{x→c} f(x) = l \iff ∀ \epsilon > 0 ∃δ > 0 ∀x D(x, c, δ) \implies E(f, x, l, \epsilon).\]

    La oración\(D(x, c, δ)\) suele interpretarse como diciendo que “\(x\)está cerca de\(c\)” (donde\(δ\) te dice lo cerca que tan cerca.) La frase\(E(f, x, l, \epsilon)\) podría expresarse de manera informal como “\(f(x)\)está cerca de\(l\)” (de nuevo,\(\epsilon\) sirve para hacer más exacta la palabra “cerrar”).

    Es instructivo escribir esta frase por última vez, completamente en símbolos y sin las abreviaturas que creamos para decir que\(x\) está cerca\(c\) y\(f(x)\) está cerca\(l\):

    \[\lim_{x→c} f(x) = l \iff ∀\epsilon > 0 ∃δ > 0 ∀x (|x − c| < δ) \implies (|f(x) − l| < \epsilon).\]

    No sería injusto decir que desarrollar la facilidad para leer, y entender, este jeroglífico (y otros similares) constituye las primeras semanas de un curso en Análisis Real.

    Volvamos a otro de los ejemplos (de una oración abierta) del inicio de esta sección. \(P(x) = “2^{2^x} + 1\)es un primo”.

    En el\(17^{\text{th}}\) siglo, Pierre de Fermat hizo la conjetura 1 que\(∀x ∈ \mathbb{N}, P(x)\). Sin duda, esto le pareció razonable a Fermat porque los números que da esta fórmula (se llaman números de Fermat en su honor) son todos primos — ¡al principio! Los números de Fermat se denotan convencionalmente con una letra subcriptada\(F\)\(F_n = 2^{2^n} + 1\),, los primeros cinco números de Fermat son primos.

    \[\begin{array} F_0 &= 2^{2^0} + 1 = 3 \\ F_1 &= 2^{2^1} + 1 = 5 \\ F_2 &= 2^{2^2} + 1 = 17 \\ F_3 &= 2^{2^3} + 1 = 25 \\ 7 F_4 &= 2^{2^4} + 1 = 65537 \end{array}\]

    Fermat probablemente computó eso\(F_5 = 4294967297\), y bien podemos imaginar que comprobó que este número no era divisible por ningún primo pequeño. Por supuesto, esto fue mucho antes del desarrollo de maquinaria informática efectiva, por lo que no debemos culpar a Fermat por no darse cuenta de eso\(4294967297 = 641 · 6700417\). Esta notable hazaña de factorización se puede replicar en segundos en una computadora moderna, sin embargo fue hecha primero por Leonhard Euler en\(1732\)! Hay bastante literatura sobre la superioridad y/o composición de los números de Fermat. Hasta el momento, se ha demostrado que todos los números de Fermat entre\(F_5\) y\(F_{32}\) (inclusive) son compuestos. Uno podría estar tentado a conjeturar que sólo los cinco primeros números de Fermat son primos, sin embargo esta tentación debe ser resistida.

    Dejemos a un lado, por el momento, más preguntas sobre los números de Fermat. Supongamos que definimos el conjunto\(U\) (para 'Universo') por\(U = \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Entonces la aseveración, “\(∀x ∈ U, P(x)\).” es ciertamente cierta. Debe tener en cuenta que la única variable en esta oración es\(x\), y que la variable está ligada —está universalmente cuantificada. Las oraciones abiertas que tienen todas las variables enlazadas son sentencias. Es posible (en principio, y en universos finitos, en la práctica) verificar el valor de verdad de tales oraciones. En efecto, la frase “\(∀x ∈ U, P(x)\)” tiene el mismo contenido lógico que “\(P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3) ∧ P(4)\)”. Ambos resultan ser ciertos, pero el verdadero punto aquí es señalar que una oración universalmente cuantificada puede pensarse en cambio como una conjunción.

    Práctica

    Definir un nuevo conjunto\(U\) por\(U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Escribe una oración usando disyunciones que sea equivalente a “\((∃x ∈ U,¬P(x)\).”

    Incluso cuando estamos tratando con universos infinitos, es posible pensar en oraciones universalmente cuantificadas en términos de conjunciones, y oraciones existencialmente cuantificadas en términos de disyunciones. Por ejemplo, una mirada rápida a las gráficas debería ser suficiente para convencerte de que “\(x > \ln x\)” es una oración que es cierta para todos los\(x\) valores en\(\mathbb{R}^+\). Existe una notación, que recuerda a la llamada notación sigma para las sumas, que puede ser utilizada para expresar esta oración universalmente cuantificada como una conjunción.

    \[∀x ∈ \mathbb{R}^+, x > \ln x \cong \bigwedge_{x∈ \mathbb{R}^+} x > \ln x\]

    Existe una notación similar para las disyunciones. Puramente como ejemplo, considere el siguiente problema de la matemática recreativa: Encuentra un número de cuatro dígitos que sea un múltiplo entero de su inversión. (Por inversión, nos referimos al número de cuatro dígitos con los dígitos en el orden opuesto, por ejemplo, la inversión de\(1234\) es\(4321\).) La sentencia 2 que establece que esta cuestión tiene solución es

    \[∃abcd ∈ \mathbb{Z}, ∃k ∈ \mathbb{Z}, abcd = k · dcba\]

    Esto podría expresarse en cambio como la disyunción de\(9000\) las declaraciones, o de manera más compacta como

    \[\bigvee_{1000≤abcd≤9999} ∃k ∈ \mathbb{Z}, abcd = k · dcba.\]

    Práctica

    El enunciado existencial anterior es cierto porque\(8712 = 4 · 2178\). Hay otra solución — ¡encuéntrala!

    Un talento importante, o al menos útil, para que un estudiante de Matemáticas desarrolle es la capacidad de negar oraciones cuantificadas. Hay dos razones principales para ello: las técnicas conocidas como prueba por contradicción y prueba por contraposición. El contrapositivo de una sentencia condicional es lógicamente equivalente a ella. Muchos revisores veteranos dan consejos a los recién llegados:

    “Si te quedas atascado, intenta anotar el contrapositivo”.

    Anotar el contrapositivo de una declaración lógica a menudo implicará encontrar la negación de una oración cuantificada. La prueba por contradicción también requiere que seas capaz de negar una declaración lógica para incluso comenzar. Probemos uno.

    Nuestro universo de discurso 3 será\(P = \{\text{Manny, Moe, Jack}\}\). Considera la frase “\(∀x ∈ P\),\(x\) empieza con”\(M\). La frase equivalente expresada conjuntivamente es

    \((\text{Manny starts with M})∧ \\ (\text{Moe starts with M})∧ \\ (\text{Jack starts with M}).\)

    La negación de esta frase (según la ley de DeMorgan) es una disyuntiva:

    \((\text{Manny doesn’t start with M})∨ \\ (\text{Moe doesn’t start with M})∨ \\ (\text{Jack doesn’t start with M})\)

    Finalmente, esta disyunción de tres oraciones puede convertirse en una sola oración, cuantificada existencialmente sobre\(P\):

    \(∃x ∈ P\),\(¬\) (\(x\)empieza con\(M\)).”

    La discusión en los párrafos anteriores justifica algunas leyes de la Lógica que deben considerarse como generalizaciones de las leyes de DeMorgan:

    \[¬(∀x ∈ U, P(x)) \cong ∃x ∈ U,¬P(x)\]

    y

    \[¬(∃x ∈ U, P(x)) ∼\cong∀x ∈ U,¬P(x).\]

    Es igualmente válido pensar en estas reglas de una manera que esté divorciada de las leyes de DeMorgan. Para demostrar que una oración universal es falsa, basta con mostrar que una oración existencial que implica una negación del original es verdadera.

    Si alguien anuncia que “¡Todo el nombre de los chicos de Pep empieza con\(\text{M}\)!” podrías contrarrestar eso con “Uhhmmm.. ¿Y Jack?”

    Es decir, para demostrar que no es el caso de que el nombre de cada niño de Pep comience con\(\text{M}\) '', solo hay que demostrar que hay un niño Pep (Jack) cuyo nombre no empieza con '\(\text{M}\)'.

    Ejercicios:

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Hay una variante común del cuantificador existencial,\(∃!\), si escribes\(∃! x\),\(P(x)\) estás afirmando que hay un elemento único en el universo que hace\(P(x)\) realidad. Determinar cómo negar la sentencia\(∃! x\),\(P(x)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    El orden en que aparecen los cuantificadores es importante. Que\(L(x, y)\) sea la frase abierta “\(x\)está enamorado de”\(y\). Discutir los significados de los siguientes enunciados cuantificados y encontrar sus negaciones.

    1. ∀x y L (x, y).
    2. x ∀y L (x, y).
    3. ∀x ∀y L (x, y).
    4. x y L (x, y).
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Determinar una negación útil de:

    \(∀ \epsilon > 0 ∃δ > 0 ∀x (|x − c| < δ) \implies (|f(x) − l| < \epsilon).\)

    La negación anterior da un criterio para decir\(\lim_{x→c} f(x) \neq l\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    A Sophie Germain primo es un número primo p de tal manera que el número impar correspondiente también\(2p + 1\) es primo. Por ejemplo,\(11\) es un prime de Sophie Germain ya que también\(23 = 2 · 11 + 1\) es prime. Casi todos los primos de Sophie Germain son congruentes con\(5\) (\(\text{mod } 6\)), sin embargo, hay excepciones —por lo que la afirmación “Hay primos de Sophie Germain que no\(5 \text{ mod } 6\) lo son” es cierta. Verifica esto.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Alvin, Betty y Charlie ingresan a una cafetería que ofrece tres platos diferentes, sándwich de pavo, hamburguesa vegetariana y pizza; cuatro bebidas diferentes, refrescos, agua, café y leche; y dos tipos de postres, pastel y pudín. Alvin toma un sándwich de pavo, un refresco y un pastel. Betty toma una hamburguesa vegetariana, un refresco y un pastel. Charlie toma una pizza y un refresco. Con base en esta información, determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

    1. \(∀\)gente\(p\),\(∃\) postre\(d\) tal que\(p\) se llevó\(d\).
    2. \(∃\)persona\(p\) tal que\(∀\) postres\(d\),\(p\) no tomó\(d\).
    3. \(∀\)entradas\(e\),\(∃\) persona\(p\) tal que se\(p\) llevó\(e\).
    4. \(∃\)entrada\(e\) tal que la\(∀\) gente\(p\),\(p\) tomó\(e\).
    5. \(∀\)gente\(p\),\(p\) tomó un postre\(\iff p\) no tomó una pizza.
    6. Cambiar una palabra de declaración 5d para que se haga verdad.
    7. Anote la negación de 5a y compárela con la declaración 5b. ¡Ojalá veas que son lo mismo! ¿Esto hace que quieras modificar una o ambas de tus respuestas a 5a y 5b?

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