2.6: Razonamiento deductivo y formas de argumento
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La deducción es el proceso mediante el cual determinamos nuevas verdades a partir de las viejas. A veces se afirma que nada verdaderamente nuevo puede venir de la deducción, la verdad de una declaración a la que se llega por procesos deductivos estaba mintiendo (quizás algo escondida) dentro de las hipótesis. Esta afirmación es algo así como un canard, como puede decirte cualquier aficionado a Sherlock Holmes, las declaraciones que a veces se pueden deducir de otros pueden ser notablemente sorprendentes. Un mejor argumento en contra de la deducción es que es una forma relativamente ineficaz para que la mayoría de los seres humanos descubran nuevas verdades —para ello los procesos inductivos son superiores para la mayoría de nosotros—. Sin embargo, si se puede exhibir una cadena de razonamiento deductivo que conduzca de hipótesis conocidas a una conclusión particular, la verdad de la conclusión es inatacable. Por ello, los matemáticos se han aferrado al razonamiento deductivo como herramienta para, si no descubrir nuestros teoremas, comunicarlos a los demás.
La palabra “argumento” tiene una connotación negativa para muchas personas porque parece tener que ver con el desacuerdo. Los argumentos dentro de las matemáticas (así como de muchas otras áreas académicas), si bien pueden ser apasionados, no deben involucrar discordia. Un argumento matemático es una secuencia de declaraciones lógicamente conectadas diseñadas para producir concordancia en cuanto a la validez de una proposición. Este “diseño” generalmente sigue una de dos posibilidades, el razonamiento inductivo o el razonamiento deductivo. En un argumento inductivo se presenta una larga lista de premisas cuyas verdades se consideran evidentes para todos, cada una de las cuales aporta evidencia de que la conclusión deseada es verdadera. Entonces un argumento inductivo representa una especie de cosa estadística, tienes todas estas afirmaciones que son verdaderas cada una de las cuales indica que la conclusión es muy probablemente cierta. Un fuerte argumento inductivo equivale a lo que los abogados llaman una “preponderancia de las pruebas”. Ocasionalmente, posteriormente se encuentra inocente a una persona que ha sido condenada por un delito basado en una preponderancia de las pruebas. Esto suele suceder cuando se descubren nuevas pruebas que prueban incontrovertiblemente (es decir, muestran a través de medios deductivos) que no puede ser culpable. En pocas palabras: los argumentos inductivos pueden estar equivocados.
Por el contrario, un argumento deductivo sólo puede llegar a ser erróneo bajo ciertas circunstancias bien entendidas.
Al igual que un argumento inductivo, un argumento deductivo es esencialmente solo una larga secuencia de declaraciones; pero hay alguna estructura adicional. El último enunciado de la lista es la conclusión —la declaración por probar— las que ocurren antes de que se conozcan como premisas. Las premisas pueden subdividirse en (al menos) cinco tipos: axiomas, definiciones, teoremas previamente probados, hipótesis y deducciones. Los axiomas y las definiciones a menudo se pasan por alto, de hecho, a menudo no se mencionan por completo (pero rara vez se usan) en una prueba. En aras de la brevedad esto es bastante apropiado, pero conceptualmente, deberías pensar que un argumento se basa en los axiomas para el área particular en la que estás trabajando, y sus definiciones estándar. Un conocimiento de memoria de todos los demás teoremas probados hasta el que estás trabajando generalmente se consideraría excesivo, pero memorizar completamente los axiomas y las definiciones estándar de un campo es esencial. Las hipótesis son una clase divertida de premisas, son cosas que se pueden suponer verdaderas por el bien del argumento actual. Por ejemplo, si la declaración que intentas probar es un condicional, entonces el antecedente puede asumirse verdadero (si el antecedente es falso, ¡entonces el condicional es automáticamente verdadero!). Siempre debes tener cuidado de enumerar todas las hipótesis explícitamente, y al final de tu prueba asegúrate de que todas y cada una de las hipótesis se hayan utilizado en algún lugar del camino. Si una hipótesis realmente no es necesaria entonces has demostrado una afirmación más general (eso es algo bueno).
Por último, las deducciones —debo señalar que la conclusión también es una deducción— obedecen a una regla muy estricta: toda deducción se deriva de las premisas que ya se han escrito (esto incluye axiomas y definiciones que probablemente no se hayan escrito realmente, hipótesis y todas las deducciones hechas hasta este punto) por una de las llamadas reglas de inferencia.
Cada una de las reglas de inferencia en realidad equivale a una tautología lógica que ha sido reexpresada como una especie de regla de reescritura. Cada regla de inferencia se expresará como una lista de oraciones lógicas que se supone que están entre las premisas del argumento, una barra horizontal, seguida del símbolo\(∴\) (que suele expresarse como la palabra “por lo tanto”) y luego una nueva declaración que se puede colocar entre las deducciones.
Por ejemplo, una regla de inferencia (muy obvia) es
\(\begin{array} &&\underline{A ∧ B} \\ ∴ &B \end{array} \)
Esta regla se conoce como simplificación conjuntiva, y es equivalente a la tautología\((A ∧ B) \implies B\).
El modus ponens regla 1 es uno de los más útiles.
\(\begin{array} & &A \\ &\underline{A \implies B} \\ ∴ &B \end{array} \)
Modus ponens está relacionado con la tautología\((A ∧ (A \implies B)) \implies B\).
Modus tollens es la regla de inferencia que obtenemos si ponemos modus ponens a través del escurridor “contrapositivo”.
\(\begin{array} & &¬B\\ &\underline{A \implies B} \\ ∴ &¬A \end{array}\)
Modus tollens está relacionado con la tautología\((¬B ∧ (A \implies B)) \implies ¬A\).
Modus ponens y modus tollens también se conocen como silogismos. Un silogismo es una forma de argumento en la que una deducción se deriva de dos premisas. Hay otros dos silogismos comunes, silogismo hipotético y silogismo disyuntivo.
El silogismo hipotético básicamente afirma una propiedad de transitividad por implicaciones.
\(\begin{array} & &A \implies B\\ &\underline{B \implies C} \\ ∴ &A \implies C \end{array}\)
El silogismo disyuntivo puede pensarse como una afirmación sobre alternativas, pero tenga cuidado de recordar que en Lógica, la disyunción siempre tiene el sentido inclusivo.
\(\begin{array} & &A ∨ B\\ &\underline{¬B\;\;\;\;\;\;\;} \\ ∴ &A \end{array}\)
Convertir\(A ∨ B\) lo que aparece en las premisas de la regla del silogismo disyuntivo en un condicional equivalente. ¿Cómo se relaciona la nueva forma argumental con modus ponens y/o modus tollens?
La palabra “dilema” suele referirse a una situación en la que un individuo se enfrenta a una elección imposible. Un lindo ejemplo conocido como el dilema del cocodrilo es el siguiente:
Un cocodrilo captura a un niño pequeño que se ha desviado demasiado cerca del río. Aparece el padre del niño y el cocodrilo le dice “No te preocupes, o soltaré a tu hijo o me lo comeré. Si se puede decir, de antemano, lo que voy a hacer, entonces lo liberaré”. El padre responde: “Te comerás a mi hijo”. ¿Qué debe hacer el cocodrilo?
En los argumentos lógicos se emplea la palabra dilema en otro sentido que tiene que ver con ciertas reglas de inferencia. El dilema constructivo es una regla de inferencia que tiene que ver con la conclusión que debe sostenerse una de dos posibilidades.
\(\begin{array} & &A \implies B\\ & C \implies D\\ &\underline{A ∨ C\;\;\;\;\;\;\;} \\ ∴ &B ∨ D \end{array} \)
El dilema destructivo a menudo no figura entre las reglas de inferencia porque se puede obtener fácilmente usando el dilema constructivo y reemplazando las implicaciones con sus contrapositivos.
\(\begin{array} & &A \implies B\\ & C \implies D\\ &\underline{¬B ∨ ¬D\;\;\;} \\ ∴ &¬A ∨ ¬C \end{array}\)
En el Cuadro 2.6.1 se listan las diez reglas de inferencia más comunes. Tenga en cuenta que todas estas equivalen a tautologías que involucran condicionales (a diferencia de bicondicionales), cada una de las equivalencias lógicas básicas que establecimos en la Sección 2.3 es realmente una tautología que involucra a un bicondicional, colectivamente estas se conocen como las “reglas de reemplazo”. En un argumento, cualquier declaración nos permite inferir una declaración lógicamente equivalente. O, dicho de otra manera, podríamos sustituir cualquier premisa por una premisa diferente, pero lógicamente equivalente. Podría disfrutar tratando de determinar un conjunto mínimo de reglas de inferencia, que junto con las reglas de reemplazo permitirían a uno formar todos los mismos argumentos que las diez reglas de la Tabla 2.6.1.
| Cuadro 2.6.1: Las reglas de inferencia | |
|---|---|
| Nombre | Formulario |
| Modus ponens | \(\begin{array} & &A \\ &\underline{A \implies B} \\ ∴ &B \end{array} \) |
| Modus tollens | \(\begin{array} & &¬B\\ &\underline{A \implies B} \\ ∴ &¬A \end{array}\) |
| Silogismo hipotético | \(\begin{array} & &A \implies B\\ &\underline{B \implies C} \\ ∴ &A \implies C \end{array}\) |
| Silogismo Disyuntivo | \(\begin{array} & &A ∨ B\\ &\underline{¬B\;\;\;\;\;\;\;} \\ ∴ &A \end{array}\) |
| Dilema Constructivo | \(\begin{array} & &A \implies B\\ & C \implies D\\ &\underline{A ∨ C\;\;\;\;\;\;\;} \\ ∴ &B ∨ D \end{array} \) |
| Dilema destructivo | \(\begin{array} & &A \implies B\\ & C \implies D\\ &\underline{¬B ∨ ¬D\;\;\;} \\ ∴ &¬A ∨ ¬C \end{array}\) |
| Simplificación Conjuntiva | \(\begin{array} & &\underline{A∧B}\\ ∴ & A\end{array}\) |
| Adición Conjuntiva | \(\begin{array} & &A \\ & \underline{B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\ ∴ & A∧B\end{array}\) |
| Adición Disyuntiva | \(\begin{array} & &\underline{A\;\;\;\;\;\;\;}\\ ∴ & A∨B\end{array}\) |
| Absorción | \(\begin{array} & &\underline{A \implies B\;\;\;\;\;\;\;\;}\\ ∴ & A\implies(A∧B)\end{array}\) |
Ejercicios:
En la película “Monty Python y el Santo Grial” nos encontramos con un aldeano medieval que (con un poco de incitación) hace el siguiente argumento.
Si pesa lo mismo que un pato, entonces está hecha de madera.
Si está hecha de madera entonces es una bruja.
Por lo tanto, si pesa lo mismo que un pato, es una bruja.
¿Qué regla de inferencia está usando?
En dilema constructivo, se suele elegir el antecedente de las oraciones condicionales para representar alternativas opuestas. Esto nos permite introducir su disyunción como tautología. Considera la siguiente prueba de que nunca hay razón para preocuparse (que se encuentra en las paredes de un pub irlandés).
O estás enfermo o estás bien.
Si estás bien no hay nada de qué preocuparte.
Si estás enfermo solo hay dos posibilidades:
O vas a mejorar o morirás.
Si vas a mejorar no hay nada de qué preocuparte.
Si vas a morir solo hay dos posibilidades:
O irás al Cielo o al Infierno.
Si vas al Cielo no hay nada de qué preocuparte. Si vas
al Infierno, estarás tan ocupado estrechando la mano con todos tus amigos
no habrá tiempo de preocuparse.
Identificar las tres tautologías que se introducen en esta “prueba”.
Para cada uno de los siguientes argumentos, escríbelo en forma simbólica y determine qué reglas de inferencia se utilizan.
- O estás con nosotros, o estás en contra de nosotros. Y no pareces estar con nosotros. Entonces, ¡eso significa que estás en contra de nosotros!
- Todos los que tenían autos escaparon de las inundaciones. Sandra tenía un auto —por lo tanto, Sandra escapó de la inundación.
- Cuando Johnny va al casino, siempre juega 'hasta que va a la quiebra. Hoy, Johnny tiene dinero, así que Johnny no ha estado recientemente en el casino.
- (Una prueba no constructiva de que hay números irracionales\(a\) y\(b\) tal que\(a^b\) es racional.) O\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) es racional o es irracional. Si\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) es racional, dejamos\(a = b = \sqrt{2}\). De lo contrario, dejamos\(a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) y\(b = \sqrt{2}\). (Ya que\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} = 2\), que es racional.) De ello se deduce que en cualquier caso, hay números irracionales\(a\) y\(b\) tal que\(a^b\) es racional.