2.7: Validez de Argumentos y Errores Comunes
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Se dice que un argumento es válido o que tiene una forma válida si cada deducción en él puede justificarse con una de las reglas de inferencia enumeradas en el apartado anterior. La forma de un argumento podría ser válida, pero aún así la conclusión puede ser falsa si algunas de las premisas son falsas. Entonces, para demostrar que un argumento es bueno tenemos que poder hacer dos cosas: mostrar que el argumento es válido (es decir, que cada paso puede justificarse) y que el argumento es sólido lo que significa que todas las premisas son verdaderas. Si comienzas con una premisa falsa, ¡puedes probar cualquier cosa!
Consideremos, por ejemplo, la siguiente “prueba” de ello\(2 = 1\).
Supongamos que\(a\) y\(b\) son dos números reales tales que\(a = b\).
\[a^2 = ab \tag{by hypothesis, \(a\) and \(b\) are equal, so} \]
\[a^2 − b^2 = ab − b^2 \tag{subtracting \(b^2\) from both sides} \]
\[(a + b)(a − b) = b(a − b) \tag{factoring both sides} \]
\[ a + b = b \tag{canceling \((a − b)\) from both sides} \]
Ahora vamos\(a\) y\(b\) ambos tienen un valor particular,\(a = b = 1\), y vemos que\(1 + 1 = 1\), i.e\(2 = 1\).
Este argumento no es sólido (¡gracias a Dios!) porque una de las premisas —en realidad la mala premisa aparece como una de las justificaciones de un paso— es falsa. Se puede argumentar con lógica perfecta para lograr tonterías completas si se incluyen premisas falsas.
No es cierto que siempre se pueda cancelar lo mismo desde ambos lados de una ecuación. ¿En qué circunstancias se desautoriza dicha cancelación?
Entonces, ¿cómo se puede saber si un argumento tiene una forma válida? Usa una tabla de verdad. Como ejemplo, verificaremos que la regla de inferencia conocida como “dilema destructivo” es válida utilizando una tabla de verdad. Esta forma de argumento contiene variables\(4\) predicadas por lo que la tabla de verdad tendrá\(16\) filas. Hay una columna para cada una de las variables, las premisas del argumento y su conclusión.
| \(A\;B\;C\;D\) | \(A \implies B\) | \(C \implies D\) | \(¬B ∨ ¬D\) | \(¬A ∨ ¬C\) |
|---|---|---|---|---|
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\text{T} \;\text{T} \;\text{T} \;\text{T}\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\phi\) | \ (¬A C\) ">\(\phi\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\text{T} \;\text{T} \;\text{T} \; \phi\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\phi\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\phi\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\text{T} \;\text{T} \;\phi \;\text{T}\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\phi\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\text{T} \;\text{T} \;\phi \;\phi\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\text{T} \;\phi \;\text{T} \;\text{T}\) | \ (A\ implica B\) ">\(\phi\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\phi\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\text{T} \;\phi \;\text{T} \;\phi\) | \ (A\ implica B\) ">\(\phi\) | \ (C\ implica D\) ">\(\phi\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\phi\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\text{T} \;\phi \;\phi \;\text{T}\) | \ (A\ implica B\) ">\(\phi\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\text{T} \;\phi \;\phi \;\phi\) | \ (A\ implica B\) ">\(\phi\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\phi \;\text{T} \;\text{T} \;\text{T}\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\phi\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\phi \;\text{T} \;\text{T} \;\phi\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\phi\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\phi \;\text{T} \;\phi \;\text{T}\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\phi\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\phi \;\text{T} \;\phi \;\phi\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\phi \;\phi \;\text{T} \;\text{T}\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\phi \;\phi \;\text{T} \;\phi\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\phi\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\phi \;\phi \;\phi \;\text{T}\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
| \ (A\; B\; C\; D\) ">\(\phi \;\phi \;\phi \;\phi\) | \ (A\ implica B\) ">\(\text{T}\) | \ (C\ implica D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬B D\) ">\(\text{T}\) | \ (¬A C\) ">\(\text{T}\) |
Ahora bien, marque las líneas en las que todas las premisas de esta forma argumental son verdaderas. Cabe señalar que en cada situación en la que todas las premisas son verdaderas la conclusión también es cierta. Eso es lo que hace del “dilema destructivo” —y a todos sus amigos— una regla de inferencia. Siempre que todas las premisas sean ciertas también lo es la conclusión. También debes notar que hay varias filas en las que la conclusión es cierta pero alguna de las premisas no lo es. Eso también está bien, ¿no es razonable que la conclusión de un argumento pueda ser cierta, pero al mismo tiempo los pormenores del argumento son poco convincentes?
Como hemos señalado anteriormente, un argumento por razonamiento deductivo puede salir mal solo en ciertas formas bien entendidas. Básicamente, o la forma del argumento es inválida, o al menos una de las premisas es falsa. Evitar premisas falsas en tus argumentos puede ser más complicado de lo que parece — muchas declaraciones que suenan atractivas o intuitivamente claras son en realidad contrafácticas. La otra cara de la moneda, al estar seguro de que la forma de tu argumento es válida, parece bastante fácil — solo asegúrate de usar solo las reglas de inferencia que se encuentran en la Tabla 2.6.1. Desafortunadamente, la mayoría de los argumentos que lees o escribes serán en prosa, en lugar de aparecer como una lista formal de deducciones. Cuando se trata de ese entorno —usando lenguaje natural en lugar de formalizado— es bastante común cometer errores en la forma.
Dos formas inválidas suelen ser señaladas para la crítica, el error inverso y el error inverso. En cierto sentido, estas dos formas aparentemente diferentes de meter la pata son realmente lo mismo. Así como se sabe que una declaración condicional y su contrapositivo son equivalentes, también lo son las otras declaraciones relacionadas —la inversa y la inversa— equivalentes. El error inverso consiste en confundirse la implicación en una forma de modus ponens con su converse.
El error contrario:
\[\begin{array} &&B \\ &\underline{A \implies B} \\ ∴ &A \end{array}\]
Consideremos, por un momento, el siguiente argumento.
Si un rinoceronte ve algo en llamas, lo pisoteará.
Un rinoceronte pisó mi pato.
Por lo tanto, el rinoceronte debió haber pensado que mi pato estaba en llamas.
Es cierto que los rinocerontes tienen un deseo instintivo de extinguir incendios. Además, bien podemos imaginar que si alguien hiciera este ridículo argumento que su pato en realidad debió haber sido aplastado por un rinoceronte. Pero, ¿está justificada la conclusión de que el pato estaba en llamas? No realmente, lo que afirma la primera parte del argumento es que “(en llamas) implica (pisar fuerte rinoceronte)” pero ¿no podría un rinoceronte pisar algo por otras razones? Quizás el rinoceronte simplemente estaba mal genio. Quizás el pato solo fue horriblemente desafortunado.
Cuanto más cerca esté el condicional de ser un bicondicional, el sonido más razonable es un argumento que exhiba el error inverso. En efecto, si el argumento realmente contiene un bicondicional, el “error inverso” no es un error en absoluto.
El siguiente es un argumento perfectamente válido, que (tristemente) tiene una premisa falsa.
Obtendrás una A en tu clase de Fundaciones si y solo si lees el libro del Dr. Fields.
Leyó el libro del Dr. Fiells.
Por lo tanto, obtendrás una A en Fundaciones.
Supongamos que intentemos cambiar la premisa principal de ese último argumento por algo más creíble.
Si lees el libro del Dr. Fields, pasarás tu clase de Fundamentos.
No leíste el libro del Dr. Fieldes.
Por lo tanto, no pasarás Fundaciones.
Este último argumento exhibe el llamado error inverso. De ninguna manera se entiende como garantía, pero sin embargo, parece razonable que si alguien lee este libro pase un curso sobre este material. La segunda premisa también es fácil de imaginar como cierta, aunque el “tú” al que se refiere obviamente no eres tú, ¡porque estás leyendo este libro! Pero aunque aceptemos las premisas como verdaderas, la conclusión no sigue. Una persona pudo haber leído algún otro libro que abordara el material requerido de manera ejemplar.
Observe que los nombres para estos dos errores se derivan del cambio que habría que hacer para convertirlos a modus ponens. Por ejemplo, el error inverso se representa formalmente por:
\[\begin{array} &&¬A \\ &\underline{A \implies B} \\ ∴ &¬B \end{array}\]
Si reemplazamos el condicional en esta forma de argumento por su inverso\((¬A \implies ¬B)\) entonces el argumento revisado sería modus ponens. Del mismo modo, si reemplazamos el condicional en un argumento que sufre del error inverso por su converse, tendremos modus ponens.
Ejercicios:
Determinar la forma lógica de los siguientes argumentos. Utilizar símbolos para expresar esa forma y determinar si el formulario es válido o no válido. Si el formulario no es válido, determine el tipo de error cometido. Comentar la solidez del argumento así como, en particular, determinar si alguna de las premisas es cuestionable.
- Todos los culpables están en prisión. George no está en prisión. Por lo tanto, George no es culpable.
- Si uno come naranjas uno tendrá altos niveles de vitamina C. Si tienes altos niveles de vitamina C. Por lo tanto, debes comer naranjas.
- Todos los peces viven en el agua. La caballa es un pez. Por lo tanto, la caballa vive en el agua.
- Si eres perezoso, no tomes cursos de matemáticas. Todo el mundo es perezoso. Por lo tanto, nadie debería tomar cursos de matemáticas.
- Todos los peces viven en el agua. El pulpo vive en el agua. Por lo tanto, el pulpo es un pez.
- Si una persona entra en política, es un sinvergüenza. Harold se ha metido en política. Por lo tanto, Harold es un sinvergüenza.
A continuación se muestra una regla de inferencia que llamamos eliminación extendida.
\[\begin{array} &&(A ∨ B) ∨ C \\ &¬A \\ &\underline{¬B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\ ∴ &C \end{array}\]
Utilice una tabla de verdad para verificar que esta regla es válida.
Si permitimos cuantificadores y oraciones abiertas en forma de argumento obtenemos un par de nuevas formas de argumento. Los argumentos que involucran premisas existencialmente cuantificadas son raros; las nuevas formas de las que estamos hablando se llaman “modus ponens universal” y “modus tollens universal”. Las premisas menores también pueden cuantificarse o pueden involucrar elementos particulares del universo del discurso —esto nos lleva a distinguir subtipos de argumentos que se denominan “universales” y “particulares”.
Por ejemplo,
\(\begin{array} &&∀x, A(x) \implies B(x) \\ &\underline{A(p)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\ ∴ &B(p) \end{array}\)
es la forma particular de modus ponens universal (aquí, no\(p\) es una variable — representa algún elemento particular del universo del discurso) y
\(\begin{array} &&∀x, A(x) \implies B(x) \\ &\underline{∀x, ¬B(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\ ∴ &∀x, ¬A(x) \end{array}\)
forma universal de modus tollens (universal).
Reexaminar los argumentos del problema (1), determinar sus formas (incluyendo los cuantificadores) y si son universales o particulares.
Identificar la regla de inferencia que se está utilizando.
- La Biblioteca Buley es muy alta. Por lo tanto, o la Biblioteca Buley es muy alta o tiene muchos niveles bajo tierra.
- El pasto es verde. El cielo es azul. Por lo tanto, la hierba es verde y el cielo es azul.
- \(g\)tiene orden\(3\) o tiene orden\(4\). Si\(g\) tiene orden\(3\), entonces\(g\) tiene una inversa. Si\(g\) tiene orden\(4\), entonces\(g\) tiene una inversa. Por lo tanto,\(g\) tiene una inversa.
- \(x\)es mayor que\(5\) y\(x\) es menor que\(53\). Por lo tanto,\(x\) es menor que\(53\).
- Si\(a|b\), entonces\(a\) es un cuadrado perfecto. Si\(a|b\), entonces\(b\) es un cuadrado perfecto. Por lo tanto\(a|b\), si, entonces\(a\) es un cuadrado perfecto y\(b\) es un cuadrado perfecto.
Lee la siguiente prueba de que la suma de dos números impares es par. Discutir las reglas de inferencia utilizadas.
Prueba: Dejar\(x\) y\(y\) ser números impares. Entonces\(x = 2k + 1\) y\(y = 2j + 1\) para algunos enteros\(j\) y\(k\). Por álgebra,
\(x + y = 2k + 1 + 2j + 1 = 2(k + j + 1).\)
Tenga en cuenta que\(k +j +1\) es un entero porque\(k\) y\(j\) son enteros. De ahí\(x + y\) que sea parejo.
Q.E.D.
A veces en la construcción de una prueba nos parece necesario “debilitar” una desigualdad. Por ejemplo, podríamos haber deducido ya eso\(x < y\) pero lo que necesitamos en nuestro argumento es eso\(x ≤ y\). Está bien deducir\(x ≤ y\)\(x < y\) porque el primero es solo una taquigrafía de\(x < y ∨ x = y\). ¿Qué regla de inferencia estamos utilizando para deducir que eso\(x ≤ y\) es cierto en esta situación?