3.2: Pruebas más directas
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Al crear una prueba directa, necesitamos mirar nuestras hipótesis, considerar la conclusión deseada y desarrollar una estrategia para\(\text{A}\) transformarnos en\(\text{B}\). Muy a menudo te resultará fácil hacer varias deducciones de las hipótesis, pero ninguna de ellas parece ir en dirección a la conclusión deseada. El consejo habitual en esta etapa es “Intenta trabajar hacia atrás desde la conclusión”. 1
Hay un resultado precioso conocido como la “desigualdad media aritmético-geométrica” cuya prueba personifica este enfoque. Básicamente esta desigualdad compara dos formas diferentes de obtener un “promedio” entre dos números reales. La media aritmética de dos números reales\(a\) y\(b\) es a la que probablemente estés acostumbrado,\(\dfrac{(a+b)}{2}\). Mucha gente simplemente llama a esto la “media” de\(a\) y\(b\) sin usar el modificador “aritmética” pero como veremos, nuestra noción de qué valor intermedio usar entre dos números depende del contexto. Considere las siguientes dos secuencias de números (las cuales tienen una entrada faltante)
\(2\; 9\;16\; 23\; \underline{\;\;} \;37\; 44\)
y
\(3 \;6\; 12\; 24\; \underline{\;\;} \;96\; 192.\)
¿Cómo debemos rellenar los espacios en blanco?
La primera secuencia es una secuencia aritmética. Las secuencias aritméticas se caracterizan por la propiedad de que la diferencia entre términos sucesivos es una constante. La segunda secuencia es una secuencia geométrica. Las secuencias geométricas tienen la propiedad de que la relación de términos sucesivos es una constante. El espacio en blanco en la primera secuencia debe llenarse con la media aritmética de las entradas circundantes\(\dfrac{(23 + 37)}{2} = 30\). El espacio en blanco en la segunda secuencia debe rellenarse utilizando la media geométrica de sus entradas circundantes:\(\sqrt{24 · 96} = 48\).
Dado que aceptamos la utilidad de tener dos conceptos inequivalentes de media que puedan ser utilizados en diferentes contextos, es interesante ver cómo estos dos medios se comparan entre sí. La desigualdad media aritmética-geométrica establece que la media aritmética es siempre mayor.
\[∀a, b ∈ \mathbb{R}, a, b ≥ 0 \implies \dfrac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab}\]
Al probar esta afirmación no tenemos más remedio que trabajar hacia atrás desde la conclusión porque la única hipótesis con la que tenemos que trabajar es esa\(a\) y\(b\) son números reales no negativos, lo que no es una herramienta particularmente potente. Pero, ¿qué debemos hacer? No hay una buena respuesta a esa pregunta, solo tendremos que probar un montón de cosas diferentes y esperar que algo salga bien. Sin embargo, cuando finalmente lleguemos a escribir nuestra prueba, tendremos que reorganizar las declaraciones en el orden opuesto a la forma en que fueron descubiertas. Esto significa que no nos aconsejaríamos hacer inferencias unidireccionales, debemos esforzarnos por hacer conexiones bicondicionales entre nuestras declaraciones (o bien intentar cometer intencionalmente errores de conversación).
Lo primero que apela a su humilde autor es eliminar tanto a las fracciones como a los radicales.
\[\dfrac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab} \\ \iff a + b ≥ 2 \sqrt{ab} \\ \iff (a + b)^2 ≥ 4ab \\ \iff a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab \]
Uno de los pasos anteriores consiste en cuadrar ambos lados de una desigualdad. Tenemos que preguntarnos si este paso es realmente reversible. En otras palabras, ¿es cierto el siguiente condicional?
\[∀x, y ∈ \mathbb{R}^{\text{noneg}}, x ≥ y \implies \sqrt{x} ≥ \sqrt{y}\]
Proporcionar una justificación para la implicación anterior.
¿Qué debemos probar a continuación? Realmente no hay una buena justificación para esto pero la experiencia trabajando con polinomios cuadráticos ya sea en igualdades o desigualdades lleva a la mayoría de la gente a intentar “mover todo a un lado”, es decir, manipular las cosas para que un lado de la ecuación o desigualdad sea cero.
\[a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab \\ \iff a^2 − 2ab + b^2 ≥ 0 \]
¡Guau! ¡Ya terminamos! ¿Ves por qué? Si no, te voy a dar una pista: el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual a cero.
Reensamblar todos los pasos dados en los párrafos anteriores en una prueba de la desigualdad media aritmética-geométrica.
Ejercicios:
Supongamos que tiene una cuenta de ahorro que demuestre intereses compuestos mensualmente. El comunicado de julio muestra un saldo de\($2104.87\) y el de septiembre muestra un saldo\($2125.97\). ¿Cuál sería el saldo de la declaración de agosto (faltante)?
Recordemos que una ecuación cuadrática\(ax^2 +bx+c = 0\) tiene dos soluciones reales si y sólo si el discriminante\(b^2 −4ac\) es positivo. Demostrar que si a y c tienen signos diferentes entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.
Demostrar que si\(x^3 − x^2\) es negativo entonces\(3x + 4 < 7\).
Demuéstralo para todos los enteros\(a\)\(b\),\(c\), y, si\(a|b\) y\(a|(b + c)\), entonces\(a|c\).
Demostrar que si\(x\) es un número real positivo, entonces\(x + \dfrac{1}{x} ≥ 2\).
Demostrar que para todos los números reales\(a\)\(b\),\(c\), y\(ac < 0\), si, entonces la ecuación cuadrática\(ax^2 + bx + c = 0\) tiene dos soluciones reales.
- Insinuación
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La ecuación cuadrática\(ax^2 + bx + c = 0\) tiene dos soluciones reales si y sólo si\(b^2 − 4ac > 0\) y\(a \neq 0\).
Mostrar eso\(\binom{n}{k} · \binom{k}{r} = \binom{n}{r} · \binom{n−r}{k−r}\) (para todos los enteros\(r\),\(k\) y\(n\) con\(r ≤ k ≤ n\).
Al probar la regla del producto en Cálculo usando la definición de la derivada, podríamos comenzar nuestra prueba con:
\(\dfrac{d}{dx} (f(x) · g(x)) \\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x + h) · g(x + h) − f(x) · g(x)}{h} \)
Las dos últimas líneas de nuestra prueba deben ser:
\(\lim_{h→0} \dfrac{f(x + h) − f(x)}{h} · g(x) + f(x) · \lim_{h→0} \dfrac{g(x + h) − g(x)}{h} \\ = \dfrac{d}{dx} (f(x)) · g(x) + f(x) · \dfrac{d}{dx} (g(x))\)
Rellene el resto del comprobante.