8: Cardinalidad
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La existencia misma de los lanzallamas demuestra que en algún momento, en algún lugar, alguien se dijo a sí mismo: “Sabes, quiero prender fuego a esa gente de allá, pero no estoy lo suficientemente cerca como para hacer el trabajo”.
—George Carlin
- 8.1: Conjuntos Equivalentes
- Ya hemos visto varios ejemplos interesantes de relaciones de equivalencia, y en esta sección exploraremos uno más: diremos que dos conjuntos son equivalentes si tienen el mismo número de elementos. Por lo general, una relación de equivalencia tiene el efecto de que resalta una característica de los objetos que se están estudiando, al tiempo que ignora a todos los demás. La equivalencia de los conjuntos pone el tema del tamaño (también conocido como cardinalidad) en un enfoque nítido mientras se olvida de las muchas otras características de los conjuntos.
- 8.2: Ejemplos de equivalencia de conjuntos
- Hay un enicillo milenario sobre lo que sucede cuando una fuerza irresistible se encuentra con un objeto inamovible. En un espíritu similar, a veces hay acalorados debates entre niños pequeños sobre qué superhéroe ganará una pelea. A muchas personas el tema actual le parecerá tan sensato como las discusiones del patio escolar a las que se acaba de aludir. Nos preocupa saber si un conjunto infinito es más grande que otro, o son del mismo tamaño.
- 8.3: Teorema de Cantor
- Mucha gente cree que el resultado conocido como teorema de Cantor dice que los números reales,, tienen una cardinalidad mayor que los números naturales,. Eso no está del todo bien. De hecho, el teorema de Cantor es una afirmación mucho más amplia, una de cuyas consecuencias es que |||||. Antes de continuar discutiendo el teorema de Cantor en plena generalidad, primero lo exploraremos, esencialmente, en esta forma simplificada.
- 8.5: La hipótesis del continuum y la hipótesis del continuum generalizado
- La palabra “continuum” en el título de esta sección se utiliza para indicar conjuntos de puntos que tienen cierta propiedad de continuidad. Por ejemplo, en un intervalo real es posible pasar de un punto a otro, de manera suave, sin dejar nunca el intervalo. En un rango de números racionales esto no es posible, porque hay valores irracionales entre cada par de racionales.