8.1: Conjuntos Equivalentes

Ya hemos visto varios ejemplos interesantes de relaciones de equivalencia, y en esta sección exploraremos uno más: diremos que dos conjuntos son equivalentes si tienen el mismo número de elementos. Por lo general, una relación de equivalencia tiene el efecto de que resalta una característica de los objetos que se están estudiando, al tiempo que ignora a todos los demás. La equivalencia de los conjuntos pone el tema del tamaño (también conocido como cardinalidad) en un enfoque nítido mientras que, al mismo tiempo, olvida todo sobre las muchas otras características de los conjuntos. A veces se dice que los conjuntos que son equivalentes (bajo la relación que estamos discutiendo) son equinúmeros ¹.

Un par de ejemplos pueden estar en orden.

• Si\(A = \{1, 2, 3\}\) y\(B = \{a, b, c\}\) entonces\(A\) y\(B\) son equivalentes.
• Dado que el conjunto vacío es único\(∅\) —es el único conjunto que tiene\(0\) elementos— se deduce que no hay otros conjuntos equivalentes a él.
• Cada conjunto de singleton ² es equivalente a cualquier otro conjunto de singleton.

Ojalá, estos ejemplos sean relativamente evidentes por sí mismos. Desafortunadamente, esa misma evidencia de sí misma puede tender a hacerte pensar que esta noción de equivalencia no es tan interesante, ¡nada podría estar más lejos de la verdad! La noción de equivalencia de conjuntos se vuelve realmente interesante cuando estudiamos conjuntos infinitos. Una vez que tengamos la definición correcta en la mano, podremos demostrar algunos resultados realmente sorprendentes. Por ejemplo, los conjuntos\(\mathbb{N}\) y\(\mathbb{Q}\) resultan ser equivalentes. Dado que los naturales están completamente contenidos en los racionales, ¡esto es (por decir lo menos) contrario a la intuición! Es crucial llegar a la definición “correcta” para este concepto.

Podríamos hacer lo siguiente:

Definición: Equivalente

(Bueno.. no del todo.) Para todos los conjuntos\(A\) y\(B\), decimos\(A\) y\(B\) son equivalentes, y escribimos\(A ≡ B\) iff\(|A| = |B|\).

El problema con esta definición es que es circular. Estamos tratando de llegar a una relación de equivalencia para que las clases de equivalencia representen las diversas cardinalidades de conjuntos (es decir, sus tamaños) y definamos la relación en términos de cardinalidades. No vamos a obtener nada nuevo de esto.

Georg Cantor fue la primera persona en desarrollar la noción moderna de la equivalencia de conjuntos. Su obra temprana utilizó la noción implícitamente, pero cuando finalmente desarrolló el concepto de correspondencias uno a uno de manera explícita pudo probar algunos hechos asombrosos. La frase “correspondencia uno a uno” tiene un anillo bastante impresionante, pero uno puede descubrir lo que significa con solo pensar detenidamente lo que significa contar algo.

Considera las sílabas de solmización utilizadas para las notas de la mayor escala en la música; forman el conjunto\(\{\text{do}, \text{ re}, \text{ mi}, \text{ fa}, \text{ so}, \text{ la}, \text{ ti}\}\). ¿Qué estamos haciendo cuando contamos este conjunto (y presumiblemente llegar a un total de\(7\) notas)? Primero apuntamos a 'do' mientras decimos 'uno', luego señalamos a 're' mientras decimos 'dos', etcétera. En un sentido técnico, estamos creando una correspondencia uno a uno entre el conjunto que contiene las siete sílabas y el conjunto especial\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\). Debe notar que esta correspondencia uno a uno no es de ninguna manera única. Por ejemplo, podríamos haber contado las sílabas a la inversa —una escala descendente, o en algún orden gracioso— una pequeña melodía usando cada nota una vez. El hecho de que haya siete sílabas en la solmización de la escala mayor equivale a decir que existe una correspondencia uno a uno entre las sílabas y el conjunto especial\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\). Decir “existe” en esta situación puede parecer un poco débil ya que de hecho hay\(7! = 5040\) correspondencias, pero “existe” es lo que realmente queremos aquí. ¿Qué es exactamente una correspondencia uno a uno? Bueno, en realidad hemos visto esas cosas antes: una correspondencia uno a uno es realmente solo una función biyectiva entre dos conjuntos. Por fin estamos listos para escribir una definición que Georg Cantor aprobaría.

Definición

Para todos los conjuntos\(A\) y\(B\), decimos\(A\) y\(B\) son equivalentes, y escribimos\(A ≡ B\) iff existe una función uno a uno (y on)\(f\), con\(\text{Dom}(f) = A\) y\(\text{Rng}(f) = B\).

Algo más sucintamente, solo se puede decir que los conjuntos son equivalentes si hay una biyección entre ellos.

Te vamos a pedir que pruebes que la definición anterior define una relación de equivalencia en los ejercicios para esta sección. Para darte un poco de salto sobre esa prueba, esbozaremos cómo debería ser la prueba de que la relación es simétrica.

Para demostrar que la relación es simétrica debemos asumir que\(A\) y\(B\) son conjuntos con\(A ≡ B\) y mostrar que esto implica eso\(B ≡ A\). De acuerdo con la definición anterior esto significa que necesitaremos ubicar una función (es decir, uno a uno) de\(B\) a\(A\). Por otra parte, ya que se da eso\(A ≡ B\), la definición nos dice que en realidad existe una función inyectiva,\(f\), de\(A\) a\(B\). La función inversa\(f^{−1}\) haría exactamente lo que nos gustaría (es decir, formar un mapa de\(B\) a\(A\)) asumiendo que podemos mostrar que\(f^{−1}\) tiene las propiedades correctas. Necesitamos saber que\(f^{−1}\) es una función (recuerda que en general la inversa de una función es solo una relación) y que es uno-a-uno. Esa\(f^{−1}\) es una función es consecuencia del hecho de que\(f\) es uno a uno. Eso\(f^{−1}\) es uno-toone es consecuencia del hecho de que f es una función.

Lo anterior es solo un boceto de una prueba. En el ejercicio, deberás rellenar el resto de los detalles así como aportar argumentos similares para la reflexividad y la transitividad.

Por cada posible cardinalidad finita\(k\), hay muchos, muchos conjuntos que tienen esa cardinalidad, pero hay un conjunto que destaca como el más básico, el conjunto de números de\(1\) a k. Para cada cardinalidad\(k > 0\), usamos el símbolo\(\mathbb{N}_k\) para indicar este conjunto:

\(\mathbb{N}_k = \{1, 2, 3, . . . , k\}.\)

Las cardinalidades finitas son las clases de equivalencia (bajo la relación de equivalencia de conjunto) que contienen el conjunto vacío y los conjuntos\(\mathbb{N}_k\). Por supuesto, ¡también hay conjuntos infinitos! El prototipo para un conjunto infinito tendría que ser el conjunto completo\(\mathbb{N}\). La tradición de larga data es utilizar el símbolo\(ℵ_0\) ³ para la cardinalidad de conjuntos que tienen el mismo tamaño que\(\mathbb{N}\), alternativamente, tales conjuntos se conocen como “contables”. ¡Uno podría hacer un argumento bastante bueno de que son los conjuntos finitos los que en realidad son contables! Después de todo, ¡literalmente tardaría una eternidad en contar los números naturales! Tenemos que suponer que las personas que instituyeron esta terminología significaron que “contable” signifique “contable, en principio” o “contable si estás dispuesto a dejarme seguir contando para siempre” o tal vez “contable si puedes seguir contando cada vez más rápido y son capaces de ignorar la velocidad de las limitaciones de la luz sobre qué tan rápido pueden moverse tus labios”. Peor aún, el término “contable” ha llegado a ser utilizado para conjuntos cuyas cardinalidades son finitas o del tamaño de los naturales. Si queremos referirnos específicamente al tipo infinito de conjunto contable la mayoría de los matemáticos utilizan el término denumerable (aunque esto no es universal) o contablemente infinito. Por último, hay conjuntos cuyas cardinalidades son mayores que los naturales. En otras palabras, hay conjuntos tales que no\(\mathbb{N}\) es posible una correspondencia uno a uno con. No queremos decir que la gente haya buscado correspondencias uno a uno entre tales conjuntos\(\mathbb{N}\) y y no los haya podido encontrar — queremos decir literalmente que no se puede hacer; y se ha demostrado que no se puede hacer! Los conjuntos que tienen cardinalidades que son así de ridículamente enormes se conocen como incontables.

Ejercicios:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Nombra cuatro conjuntos en la clase de equivalencia de\(\{1, 2, 3\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que la equivalencia establecida es una relación de equivalencia.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Construye un diagrama de Venn que muestre las relaciones entre los conjuntos de conjuntos que son finitos, infinitos, contables, denumerables e incontables.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Coloca los conjuntos\(\mathbb{N}\),\(\mathbb{R}\),\(\mathbb{Q}\),\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{Z} × \mathbb{Z}\)\(\mathbb{C}\),\(\mathbb{N}_{2007}\) y\(∅\); en algún lugar del diagrama de Venn arriba. (Nota para los alumnos (y alumnos): no hay respuestas equivocadas a esta pregunta, el punto es ver lo que dice tu intuición sobre estos conjuntos en este punto.)

Notas

1. Perversamente, también hay quienes utilizan el término equipollent para indicar que los conjuntos son del mismo tamaño. Este término en realidad se aplica a las declaraciones lógicas que son deducibles entre sí.

2. Recordemos que un conjunto singleton es un conjunto que tiene solo un elemento.

3. La letra hebrea (mayúscula) aleph con un subíndice cero — generalmente se pronuncia “aleph nada”.