8.5: La hipótesis del continuum y la hipótesis del continuum generalizado

La palabra “continuum” en el título de esta sección se utiliza para indicar conjuntos de puntos que tienen cierta propiedad de continuidad. Por ejemplo, en un intervalo real es posible pasar de un punto a otro, de manera suave, sin dejar nunca el intervalo. En un rango de números racionales esto no es posible, porque hay valores irracionales entre cada par de racionales. Hay muchos conjuntos que se comportan como un continuo —los intervalos\((a, b)\) o\([a, b]\), toda la línea real\(\mathbb{R}\), el\(x\)\(y\) plano\(\mathbb{R} × \mathbb{R}\), un volumen en el espacio\(3\) -dimensional (o para el caso todo el espacio\(\mathbb{R}^3\)). Resulta que todos estos conjuntos tienen el mismo tamaño.

La cardinalidad del continuum, denotada c, es la cardinalidad de todos los conjuntos anteriores.

En la sección anterior, mencionamos la hipótesis del continuum y cuán enojado se volvió Cantor cuando alguien (König) intentó demostrar que era falso. En esta sección, profundizaremos un poco más en lo que dice la hipótesis del continuo e incluso echaremos un vistazo al hermano mayor de CH, GCH. Antes de hacerlo, parece una buena idea indagar en las equivalencias que hemos afirmado sobre todos esos conjuntos por encima de los cuales (si confías en nosotros) tienen la cardinalidad c.

Ya hemos visto que un intervalo equivale a toda la línea real pero la noción de que todo el plano cartesiano infinito no tiene más puntos en él que un intervalo de una pulgada de largo desafía nuestra intuición. Nuestra concepción de la dimensionalidad nos lleva a pensar que las cosas de dimensión superior deben ser más grandes que las de dimensión inferior. Esta preconcepción es falsa como podemos ver al demostrar que un\(1×1\) cuadrado se puede poner en correspondencia uno a uno con el intervalo unitario. Dejar\(S = \{(x, y) 0 < x < 1 ∧ 0 < y < 1\}\) y dejar\(I\) ser el intervalo de unidad abierta\((0, 1)\). Podemos usar el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder para demostrar eso\(S\) y\(I\) son equinúmeros —solo necesitamos encontrar inyecciones de\(I\) a\(S\) y viceversa. Dado un elemento\(r\) en\(I\) podemos mapearlo de manera inyectiva al punto\((r, r)\) en\(S\). Para ir en la otra dirección, considere un punto\((a, b)\) de entrada\(S\) y escriba las expansiones decimales de\(a\) y\(b\):

\(a = 0.a_1a_2a_3a_4a_5 . . .\)

\(b = 0.b_1b_2b_3b_4b_5 . . .\)

como de costumbre, si hay dos expansiones decimales para\(a\) y/o\(b\) haremos una elección consistente —digamos la infinita.

A partir de estas expansiones decimales, podemos crear la expansión decimal de un número en\(I\) intercalando los dígitos de\(a\) y\(b\). Let

\(s = 0.a_1b_1a_2b_2a_3b_3 . . \).

ser la imagen de\((a, b)\). Si dos puntos diferentes se mapean al mismo valor s entonces ambos puntos tienen\(x\) y\(y\) coordenadas que coinciden en cada posición de su expansión decimal (por lo que realmente deben ser iguales). Es un poco más difícil crear una función biyectiva de\(S\) a\(I\) (y así mostrar la equivalencia directamente, sin apelar a C-B-S). El problema es que, una vez más, tenemos que lidiar con la no singularidad de las representaciones decimales de los números reales. Si tomamos la decisión de que, siempre que haya una elección por hacer, usaremos las expansiones decimales no terminantes para nuestros números reales habrá elementos de\(I\) no en la imagen del mapa determinados por intercalar dígitos (por ejemplo\(0.15401050902060503\) es el intercalado de los dígitos después del punto decimal en\(π = 3.141592653\).. y\(\dfrac{1}{2} = 0.5\), esto es claramente un elemento de\(I\) pero no puede estar en la imagen de nuestro mapa ya que\(\dfrac{1}{2}\) debe ser representado por\(0.49\) según nuestra convención. Si intentamos otras convenciones para hacer frente a la no singularidad es posible encontrar otros ejemplos que muestren que el entrelazado simple no será suryectiva. Se requiere un enfoque un poco más sutil.

Supongamos que todas las expansiones decimales son no terminadoras (como podemos, WLOG) y usa el siguiente enfoque: Escriba la expansión decimal de las coordenadas de un punto\((a, b)\) en\(S\). Forma los dígitos en bloques con tantos como\(0\) sea posible seguidos de un dígito distinto de cero. Por último, intercalar estos bloques.

Por ejemplo, si

\(a = 0.124520047019902 . . .\)

y

\(b = 0.004015648000031 . . .\)

separaríamos los dígitos en bloques de la siguiente manera:

\(a = 0.1 \;\;\;\;2 \;\;\;\;4 \;\;\;\;5 \;\;\;\;2\;\;\;\; 004\;\;\;\; 7\;\;\;\; 01 \;\;\;\;9 \;\;\;\;9 \;\;\;\;02 . . .\)

y

\(b = 0.004\;\;\;\; 01\;\;\;\; 5 \;\;\;\;6\;\;\;\; 4\;\;\;\; 8 \;\;\;\;00003 \;\;\;\;1 . . .\)

y el número formado al intercalarlos sería

\(s = 0.10042014556240048 . . .\)

Hemos demostrado que el cuadrado unitario,\(S\), y el intervalo unitario,\(I\), tienen la misma cardinalidad. Estos argumentos pueden extenderse para mostrar que todo R×R también tiene esta cardinalidad (c).

Entonces ahora volvamos a la hipótesis del continuum.

Ya mencionamos anteriormente en este capítulo que\(\mathbb{N}\) se denota la cardinalidad de\(ℵ_0\). El hecho de que esa letra mayúscula aleph lleve un subíndice debería hacer que te preguntes qué otros aleph-sub-algo u otros hay por ahí. ¿Qué es\(ℵ_1\)? ¿Y qué pasa\(ℵ_2\)? Cantor presumió que había una secuencia de números cardinales (que es en sí misma, por supuesto, infinita) que dan todas las infinidades posibles. El conjunto infinito más pequeño que cualquiera parece ser capaz de imaginar es\(\mathbb{N}\), así que Cantor llamó a esa cardinalidad\(ℵ_0\). Lo que sea el “próximo” cardenal infinito, se llama\(ℵ_1\). Es concebible que en realidad no haya un “próximo” cardenal infinito después,\(ℵ_0\) ¡podría darse el caso de que la colección de números cardinales infinitos no esté bien ordenada! En todo caso, si hay un “próximo” cardenal infinito, ¿qué es? El teorema de Cantor muestra que hay una manera de construir algún cardinal infinito más grande que\(ℵ_0\) — simplemente aplicar la construcción del conjunto de poder. La hipótesis del continuum solo dice que esta cardinalidad más grande que obtenemos al aplicar la construcción del conjunto de poder es esa “próxima” cardinalidad de la que hemos estado hablando.

Para reiterar, hemos demostrado que el conjunto de potencias de\(\mathbb{N}\) es equivalente al intervalo\((0, 1)\) que es uno de los conjuntos cuya cardinalidad es \(\text{c}\). Entonces la hipótesis del continuum, lo que puso tan caliente a Georg Cantor, se reduce a afirmar que

\(ℵ_1 =\)c.

Realmente debería haber un gran signo de interrogación sobre eso. Un gran signo de interrogación. Resulta que la hipótesis del continuum vive en un mundo realmente extraño. Hasta el día de hoy, nadie tiene la menor noción de si es verdadera o falsa. ¡Pero espera! ¡Eso no es todo! La verdadera rareza es que parecería imposible decidir. Bueno, eso no es tan malo —después de todo, ya hablamos de frases indecibles allá por el inicio del Capítulo 2. Bien, así que aquí está la rareza definitiva. Se ha demostrado que no se puede probar la hipótesis del continuo. También se ha demostrado que no se puede desmentir la hipótesis del continuo.

Habiendo llegado a esta etapa en un libro sobre probar cosas espero que las dos últimas frases del párrafo anterior provocaran algún pensamiento en la línea de “bueno, ok, ¿con respecto a qué axiomas?” para correr por tu cabeza. Entonces, si pensaste algo en esa línea, dale una palmadita en la espalda. Y si no reconociste entonces que necesitas empezar a pensar de esa manera —las cosas son probadas o desmentidas solo de manera relativa, depende con qué axiomas te permitas trabajar. Los axiomas habituales para las matemáticas se llaman ZFC; los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel junto con el axioma de elección. La “rareza definitiva” que hemos estado describiendo sobre la hipótesis del continuo es un resultado debido a un caballero llamado Paul Cohen que dice “CH es independiente de ZFC”. De manera más pedantica, es imposible probar o desmentir la hipótesis del continuo en el marco del sistema de axiomas ZFC.

Sería muy bueno terminar este capítulo mencionando a Paul Cohen, pero hay una última cosa que nos gustaría lograr: explicar lo que significa GCH. Así que aquí va.

La hipótesis generalizada del continuo dice que la construcción del conjunto de poder es básicamente la única manera de pasar de una cardinalidad infinita a la siguiente. En otras palabras, GCH dice que no sólo\(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) tiene la cardinalidad conocida como\(ℵ_1\), sino que cualquier otro número de aleph se puede realizar aplicando la construcción del conjunto de potencia un montón de veces. Algunas personas expresarían esto simbólicamente escribiendo

\[∀n ∈ \mathbb{N}, \;\;\;\;\; ℵ_{n+1} = 2^{ℵ_n} .\]

Realmente prefiero no cerrar este capítulo con esa monstruosidad así que en cambio creo que voy a decir

Paul Cohen.

¡Ja! ¡Yo lo hice! Terminé el capítulo por sayi.. ¿Hunh? Oh.

Paul Cohen.