Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

9: Técnicas de Prueba IV - Magia

  • Page ID
    114024
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Si puedes mantener la cabeza cuando todo sobre ti estás perdiendo la suya, es posible que no hayas captado la situación.

    —Jean Kerr

    Se dice que el famoso matemático Paul Erdös creyó que Dios tiene un Libro en el que están escritas todas las pruebas realmente elegantes. El mayor elogio que un colaborador 1 pudo recibir de Erdös fue que había descubierto una “Prueba de libro”. No es fácil ni sencillo para un mero mortal llegar a una prueba de Libro sino notar que, dado que el Libro es inaccesible para los vivos, todas las pruebas del Libro de las que somos conscientes fueron construidas por seres humanos ordinarios. En otras palabras, ¡no es imposible!

    El título de este capítulo final pretende ser caprichoso —no hay magia real involucrada en ninguno de los argumentos que veremos. No obstante, si reflexionas un poco sobre los procesos mentales que debieron haber entrado en el desarrollo de estas elegantes pruebas, tal vez estés de acuerdo en que ahí hay algo mágico.

    Como mínimo esperamos que estés de acuerdo en que son hermosas — son pruebas del Libro 2.

    Agradecimiento: Varios de los temas de esta sección eran desconocidos para el autor hasta que visitó el excelente sitio web de matemáticas mantenido por Alexander Bogomolny en http://www.cut-the-knot.org/

    • 9.1: Milagro de Morley
      Probablemente hayas oído hablar de la imposibilidad de trisectar un ángulo. Debido al lugar central de los Elementos de Euclides en el entrenamiento matemático a lo largo de los siglos, y con ello, una predilección muy fuerte hacia lo que es posible solo a través de brújula y borde recto, tal vez no sea sorprendente que un resultado perfectamente hermoso que involucró trisección de ángulos fue sin descubrir hasta 1899, cuando Frank Morley declaró su Teorema del Trisector.
    • 9.2: Cinco pasos hacia el vacío
      En esta sección hablaremos de otra Prueba de libro también debido a John Conway. Esta prueba sirve como introducción a una técnica general realmente poderosa: la idea de un invariante. Una invariante es algún tipo de cantidad que se puede calcular que por sí misma no cambia a medida que se cambian otras cosas. Por supuesto que diferentes situaciones tienen diferentes cantidades invariantes.
    • 9.3: Teorema del Círculo de Monge
      Hay una buena secuencia de acertijos de cerillas que comienza con “Usa nueve cerillas no superpuestas para formar 4 triángulos (todos del mismo tamaño)”. No es tan difícil, y después de un tiempo a la mayoría de la gente se le ocurre. El pateador viene cuando luego les pides que “usen seis fósforos para formar 4 triángulos (de igual tamaño)”. La respuesta implica pensar tridimensionalmente. El teorema del círculo de Monge no tiene nada que ver con los fósforos, pero es un dulce ejemplo de una prueba que funciona moviéndose a una dimensión superior.


    This page titled 9: Técnicas de Prueba IV - Magia is shared under a GNU Free Documentation License 1.3 license and was authored, remixed, and/or curated by Joseph Fields.