3.3: Conjuntos de potencia

Ya hemos visto que usando unión, intersección, diferencia de conjunto y complemento podemos crear nuevos conjuntos (en el mismo universo) a partir de conjuntos existentes. En esta sección, describiremos otra forma de generar nuevos sets; sin embargo, los nuevos sets no “vivirán” en el mismo universo esta vez. El siguiente conjunto es siempre un conjunto de subconjuntos. Es decir, sus elementos son en sí mismos conjuntos.

Definición 3.27. Si\(S\) es un conjunto, entonces el conjunto de potencia de\(S\) es el conjunto de subconjuntos de\(S\). Se denota el conjunto\(S\) de potencia de\(\tcboxmath{\mathcal{P}(S)}\).

Se puede ver que un conjunto de potencia de no\(S\) está compuesto por elementos de\(S\), sino que está compuesto por subconjuntos de\(S\), y ninguno de estos subconjuntos son elementos de\(S\).

Por ejemplo, si\(S=\{a,b\}\), entonces\(\mathcal{P}(S)=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, S\}\). Se deduce inmediatamente de la definición que\(A\subseteq S\) si y sólo si\(A\in\mathcal{P}(S)\).

Problema 3.28. Para cada uno de los siguientes conjuntos, encuentra el conjunto de potencia.

1. \(A=\{\circ, \triangle, \square\}\)
2. \(B=\{a,\{a\}\}\)
3. \(C=\emptyset\)
4. \(D=\{\emptyset\}\)

Problema 3.29. ¿Cuántos subconjuntos crees que tiene un conjunto con\(n\) elementos? ¿Y si\(n=0\)? No es necesario que pruebes tu conjetura en este momento. Esto lo demostraremos posteriormente mediante inducción matemática.

Es importante darse cuenta de que los conceptos de elemento y subconjunto deben ser cuidadosamente delineados. Por ejemplo, considera el conjunto\(A=\{x,y\}\). El objeto\(x\) es un elemento de\(A\), pero el objeto\(\{x\}\) es a la vez un subconjunto\(A\) y un elemento de\(\mathcal{P}(A)\). Esto puede resultar confuso bastante rápido. Considera el conjunto\(B\) de Problema 3.28. El conjunto\(\{a\}\) pasa a ser un elemento de\(B\), un subconjunto de\(B\), y un elemento de\(\mathcal{P}(B)\). El resultado es que es importante prestar mucha atención a si “\(\subseteq\)" o “\(\in\)" es el símbolo adecuado para usar.

Dado que el siguiente teorema es una proposición bicondicional, es necesario escribir dos subpruebas distintas, una para “\(S\subseteq T\)implica\(\mathcal{P}(S)\subseteq \mathcal{P}(T)\) “y otra para “\(\mathcal{P}(S)\subseteq \mathcal{P}(T)\)implica\(S\subseteq T\)”.

Teorema 3.30. Dejar\(S\) y\(T\) ser conjuntos. Entonces\(S\subseteq T\) si y sólo si\(\mathcal{P}(S)\subseteq \mathcal{P}(T)\).

Problema 3.31. Dejar\(S\) y\(T\) ser conjuntos. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la afirmación es cierta, demuéstrala. Si la declaración es falsa, proporcione un contraejemplo.

1. \(\mathcal{P}(S\cap T) \subseteq \mathcal{P}(S)\cap\mathcal{P}(T)\)
2. \(\mathcal{P}(S)\cap\mathcal{P}(T)\subseteq \mathcal{P}(S\cap T)\)
3. \(\mathcal{P}(S\cup T)\subseteq \mathcal{P}(S)\cup\mathcal{P}(T)\)
4. \(\mathcal{P}(S)\cup\mathcal{P}(T)\subseteq \mathcal{P}(S\cup T)\)

Si bien los conjuntos de energía proporcionan una forma útil de generar nuevos conjuntos, también juegan un papel clave en la investigación de Georg Cantor (1845—1918) sobre el “tamaño” de los conjuntos. El Teorema de Cantor (ver Teorema 9.64) establece que el conjunto de potencias de un conjunto, incluso si el conjunto es infinito, siempre es “mayor” que el conjunto original. Una consecuencia de esto es que hay diferentes tamaños de infinito y ningún infinito más grande. Las matemáticas son increíbles.