8.2: Funciones Inyectivas y Suryectivas

Ahora dirigimos nuestra atención a algunas propiedades importantes que una función puede o no poseer. Recordemos que si\(f\) es una función, entonces cada elemento en su dominio se mapea a un elemento único en el rango. Sin embargo, no hay restricciones sobre si más de un elemento del dominio se mapea al mismo elemento en el rango. Si cada elemento en el rango tiene un elemento único en el dominio mapeado a él, entonces decimos que la función es inyectiva. Además, no se requiere que el rango de una función sea todo el codominio. Si cada elemento del codominio tiene al menos un elemento en el dominio que se le asigna, entonces decimos que la función es suryectiva. Hagamos estas definiciones un poco más precisas.

Definición 8.26. Dejar\(f:X\to Y\) ser una función.

1. \(f\)Se dice que la función es inyectiva (o uno-a-uno) si por todos\(y\in \range(f)\), hay una única\(x\in X\) tal que\(y=f(x)\).
2. \(f\)Se dice que la función es suryectiva (o sobre) si por todos\(y\in Y\), existe\(x\in X\) tal que\(y=f(x)\).
3. Si\(f\) es tanto inyectable como suryectiva, decimos que\(f\) es biyectiva.

Problema 8.27. Comparar y contrastar las siguientes afirmaciones. ¿Significan lo mismo?

1. Para todos\(x\in X\), existe un único\(y\in Y\) tal que\(f(x)=y\).
2. Para todos\(y\in \range(f)\), hay un\(x\in X\) tal único que\(y=f(x)\).

Problema 8.28. Supongamos que\(X\) y\(Y\) son conjuntos finitos. Proporcione un ejemplo de cada uno de los siguientes. Puede dibujar un diagrama de funciones, escribir una lista de pares ordenados o escribir una fórmula siempre que el dominio y el codominio estén claros.

1. Una función\(f:X\to Y\) que es inyectora pero no suryectiva.
2. Una función\(f:X\to Y\) que es suryectiva pero no inyectora.
3. Una función\(f:X\to Y\) que es una biyección.
4. Una función\(f:X\to Y\) que no es ni inyectiva ni suryectiva.

Problema 8.29. Proporcione un ejemplo de cada uno de los siguientes. Puedes dibujar una gráfica o escribir una fórmula. Asegúrate de tener el dominio correcto.

1. Una función\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) que es inyectora pero no suryectiva.
2. Una función\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) que es suryectiva pero no inyectora.
3. Una función\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) que es una biyección.
4. Una función\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) que no es ni inyectiva ni suryectiva.
5. Una función\(f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) que es inyectiva.

Problema 8.30. Supongamos\(X\subseteq \mathbb{R}\) y\(f:X\to \mathbb{R}\) es una función. Rellene el espacio en blanco con la palabra apropiada.

La función\(f:X\to \mathbb{R}\) es si y solo si cada línea horizontal golpea la gráfica de\(f\) como máximo una vez.

Esta afirmación a menudo se llama prueba de línea horizontal. Explique por qué la prueba de línea horizontal es verdadera.

Problema 8.31. Supongamos\(X\subseteq \mathbb{R}\) y\(f:X\to \mathbb{R}\) es una función. Rellene el espacio en blanco con la palabra apropiada.

La función\(f:X\to \mathbb{R}\) es si y solo si cada línea horizontal golpea la gráfica de al\(f\) menos una vez.

Explique por qué esta afirmación es cierta.

Problema 8.32. Supongamos\(X\subseteq \mathbb{R}\) y\(f:X\to \mathbb{R}\) es una función. Rellene el espacio en blanco con la palabra apropiada.

La función\(f:X\to \mathbb{R}\) es si y solo si cada línea horizontal golpea la gráfica de\(f\) exactamente una vez.

Explique por qué esta afirmación es cierta.

¿Cómo demostramos que una función\(f\) es inyectiva? Tendríamos que demostrar que cada elemento del rango tiene un elemento único del dominio que se le asigna. Primero, observe que cada elemento del rango se puede escribir como\(f(x)\) para al menos uno\(x\) en el dominio. Para argumentar que cada uno de esos elementos en dominio es único, podemos suponer\(f(x_{1})=f(x_{2})\) por arbitrario\(x_1\) y\(x_2\) en el dominio y luego trabajar para demostrarlo\(x_{1}=x_{2}\). Es importante señalar que cuando suponemos\(f(x_{1})=f(x_{2})\) para algunos\(x_1\) y\(x_2\), no estamos asumiendo eso\(x_1\) y\(x_2\) somos diferentes. En general, cuando escribimos “Vamos\(x_1,x_2\in X\)...”, estamos dejando abierta la posibilidad de que\(x_1\) y en realidad\(x_2\) sean el mismo elemento. Uno podría acercarse demostrando que una función es inyectable utilizando una prueba por contradicción, pero esto no suele ser necesario.

Prueba de Esqueleto 8.33. Aquí está la estructura general para demostrar que una función es inyectiva.

Asumir\(f:X\to Y\) es una función definida por (o satisfactoria)... [Utilizar la definición dada (o describir la propiedad dada) de\(f\)]. Vamos\(x_1,x_2\in X\) y supongamos\(f(x_1)=f(x_2)\).

\(\ldots\)[Usar la definición (o propiedad) de\(f\) para verificar que\(x_1=x_2\)]\(\ldots\)

Por lo tanto, la función\(f\) es inyectiva.

¿Cómo demostramos que una función\(f\) es suryectiva? Habría que argumentar que cada elemento en el codominio también está en el rango. En ocasiones, la prueba de que una función particular es suryectiva es extremadamente corta, así que no te adivine si te encuentras en esta situación.

Prueba de Esqueleto 8.34. Aquí está la estructura general para demostrar que una función es suryectiva.

Asumir\(f:X\to Y\) es una función definida por (o satisfactoria)... [Utilizar la definición dada (o describir la propiedad dada) de\(f\)]. Vamos\(y\in Y\).

\(\ldots\)[Utilice la definición (o propiedad) de\(f\) para encontrar algunos de\(x\in X\) tales que\(f(x)=y\)]\(\ldots\)

Por lo tanto, la función\(f\) es suryectiva.

Problema 8.35. Determinar si cada una de las siguientes funciones es inyectora, suryectiva, ambas, o ninguna. En cada caso, deberá proporcionar una prueba o un contraejemplo según corresponda.

1. Definir\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) vía\(f(x)=x^{2}\)
2. Definir\(g:\mathbb{R}\to [0,\infty)\) vía\(g(x)=x^{2}\)
3. Definir\(h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) vía\(h(x)=x^{3}\)
4. Definir\(k:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) vía\(k(x)=x^{3}-x\)
5. Definir\(c: \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) vía\(c(x,y)=x^{2}+y^{2}\)
6. Definir\(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\times \mathbb{N}\) vía\(f(n)=(n,n)\)
7. Definir\(g:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\) vía\[g(n)=\begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{if }n\text{ is even}\\ \frac{n+1}{2}, & \text{if }n\text{ is odd}\\ \end{cases}\]
8. Definir\(\ell:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}\) vía\[\ell(n)=\begin{cases} 2n+1, & \text{if }n\geq 0\\ -2n, & \text{if }n<0\\ \end{cases}\]
9. La función\(h\) definida en Problema 8.24 (4).
10. La función\(k\) definida en Problema 8.24 (5).
11. La función\(\ell\) definida en Problema 8.24 (6).

Problema 8.36. Supongamos\(X\) y\(Y\) son conjuntos no vacíos con\(m\) y\(n\) elementos, respectivamente, donde\(m\leq n\). ¿Cuántas inyecciones hay de\(X\) a\(Y\)?

Problema 8.37. Comparar y contrastar la definición de “función” con la definición de “función inyectable”. Considera la prueba de línea vertical y la prueba de línea horizontal en tu discusión. Además, intentar capturar lo que significa que una relación no sea una función y que una función no sea una inyección dibujando porciones de un dígrafo.

Los dos teoremas siguientes no deberían venir como sorpresa.

Teorema 8.38. El mapa de inclusión\(\iota:X\to Y\) para\(X\subseteq Y\) es una inyección.

Teorema 8.39. La función de identidad\(i_X:X\to X\) es una biyección.

Problema 8.40. Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y dejar\(S\) ser un subconjunto no vacío de\(A\times B\). Definir\(\pi_{1}:S\to A\) y\(\pi_{2}:S\to B\) vía\(\pi_{1}(a,b)=a\) y\(\pi_{2}(a,b)=b\). Llamamos\(\pi_{1}\) y\(\pi_{2}\) las proyecciones de\(S\) onto\(A\) y\(B\), respectivamente.

1. Dar ejemplos para mostrar que\(\pi_{1}\) no necesita ser inyectable ni suryectiva.
2. Supongamos que también\(S\) es una función. ¿Es\(\pi_{1}\) inyectivo? ¿Es\(\pi_{1}\) suryectiva? ¿Qué tal\(\pi_{2}\)?

El siguiente teorema dice que si tenemos una relación de equivalencia en un conjunto no vacío, el mapeo que asigna cada elemento a su respectiva clase de equivalencia es una función suryectiva.

Teorema 8.41. Si\(\sim\) es una relación de equivalencia en un conjunto no vacío\(A\), entonces la función\(f:A\to A/\mathord\sim\) definida via\(f(x)=[x]\) es una suryección.

La función del teorema anterior se denomina a veces el mapa de proyección canónica inducido por\(\sim\).

Problema 8.42. ¿Bajo qué circunstancias la función del teorema anterior también sería inyectable?

Vamos a explorar si podemos debilitar las hipótesis del Teorema 8.41.

Problema 8.43. Dejar\(R\) ser una relación sobre un conjunto no vacío\(A\).

1. ¿Qué condiciones se\(R\) deben mantener para que la vía\(f:A\to Rel(R)\) definida\(f(a)=rel(a)\) sea una función?
2. ¿Qué condiciones adicionales,\(R\) en su caso, deben aguantar\(f\) para que sea una función suryectiva?

Dada cualquier función, podemos definir una relación de equivalencia en su dominio, donde las clases de equivalencia corresponden a los elementos que se mapean al mismo elemento del rango.

Teorema 8.44. Dejar\(f:X\to Y\) ser una función y definir\(\sim\) en\(X\) vía\(a\sim b\) si\(f(a) = f(b)\). Entonces\(\sim\) es una relación de equivalencia sobre\(X\).

Se deduce inmediatamente del Teorema 7.59 que las clases de equivalencia inducidas por la relación de equivalencia en el Teorema 8.44 particionan el dominio de una función.

Problema 8.45. Para cada una de las siguientes, identificar las clases de equivalencia inducidas por la relación del Teorema 8.44 para la función dada.

1. La función\(f\) definida en el Ejemplo 8.2.
2. La función\(c\) definida en Problema 8.35 (5). ¿Se pueden describir geométricamente las clases de equivalencia?

Si\(f\) es una función, la relación de equivalencia en el Teorema 8.44 nos permite construir una función biyectiva cuyo dominio es el conjunto de clases de equivalencia y cuyo codominio coincide con el rango de\(f\). Esta es una idea importante que se manifiesta en muchas áreas de las matemáticas. Una de esas instancias es el Teorema del Primer Isomorfismo para Grupos, que es un teorema fundamental en una rama de las matemáticas llamada teoría de grupos. Al probar el siguiente teorema, lo primero que debes hacer es verificar que la descripción para\(\overline{f}\) esté bien definida.

Teorema 8.46. Dejar\(f:X\to Y\) ser una función y definir\(X\) como\(\sim\) en el Teorema 8.44. Entonces la función\(\overline{f}:X/\mathord\sim\to \range(f)\) definida vía\(\overline{f}([a]) = f(a)\) es una biyección.

Aquí hay una analogía para ayudar a entender el contenido del Teorema 8.46. Supongamos que tenemos una colección de aviones llenos de pasajeros y una colección de posibles ciudades de destino de tal manera que a lo sumo un avión pueda aterrizar en cada ciudad. La función\(f\) indica en qué ciudad aterriza cada pasajero mientras que la función\(\overline{f}\) indica en qué ciudad aterriza cada avión. Además, el codominio para la función\(\overline{f}\) consiste únicamente en las ciudades en las que aterriza un avión.

Ejemplo 8.47. Dejar\(X=\{a,b,c,d,e,f\}\)\(Y=\{1,2,3,4,5\}\) y definir\(\varphi:X\to Y\) vía\[\varphi=\{(a,1),(b,1),(c,2),(d,4),(e,4),(f,4)\}.\] El diagrama de funciones para\(\varphi\) se da en la Figura 8.2 (1), donde hemos resaltado los elementos del dominio que mapean al mismo elemento en el rango encerrándolos en cajas adicionales. Eso lo vemos\(\range(\varphi)=\{1,2,4\}\). El diagrama de funciones para el mapa inducido\(\overline{\varphi}\) que se representa en la Figura 8.2 (2) deja claro que\(\overline{\varphi}\) es una biyección. Tenga en cuenta que desde\(\varphi(a)=\varphi(b)\) y\(\varphi(d)=\varphi(e)=\varphi(f)\), debe darse el caso que\([a]=[b]\) y\([d]=[e]=[f]\) según el Teorema 7.42. Así, los vértices etiquetados como\([a]\) y\([d]\) en la Figura 8.2 (2) también podrían haber sido etiquetados como\([b]\) y\([c]\) o\([d]\), respectivamente. En términos de nuestra analogía de pasajeros y aviones,\(X=\{a,b,c,d,e,f\}\) es el conjunto de pasajeros,\(Y=\{1,2,3,4,5\}\) es el conjunto de ciudades de destino potenciales,\(X/\mathord\sim=\{[a],[c],[d]\}\) es el conjunto de aviones, y\(\range(\varphi)=\{1,2,4\}\) es el conjunto de ciudades en las que aterrizan los aviones. La clase de equivalencia\([a]\) es el avión que contiene al pasajero\(a\), y dado que\(a\) y\(b\) están en el mismo avión, también\([b]\) es el avión que contiene al pasajero\(a\).

Figura 8.2: Ejemplo de una representación visual del Teorema 8.46.

Problema 8.48. Considera las clases de equivalencia que identificaste en las Partes (a) y (b) del Problema 8.45.

1. Dibuja el diagrama de funciones para la función\(\overline{f}\) como se define en el Teorema 8.46, donde\(f\) está la función definida en el Ejemplo 8.2.
2. Describir geométricamente la función tal\(\overline{c}\) como se define en el Teorema 8.46, donde\(c\) se define la función en Problema 8.35 (5).

Si bien quizás no sea sorprendente, el Problema 8.48 (2) nos dice que existe una correspondencia uno a uno entre círculos centrados en el origen y los números reales.

Problema 8.49. Dejar\(Y=\{0,1,2,3\}\) y definir la función\(f:\mathbb{Z}\to Y\) tal que\(f(n)\) iguale al resto único obtenido después de dividir\(n\) por 4. Por ejemplo,\(f(11)=3\) ya que\(11=4\cdot 2+3\) según el Algoritmo de División (Teorema 6.7). Esta función a veces se escribe como\(f(n)=n \pmod{4}\), donde se entiende que restringimos la salida a\(\{0,1,2,3\}\). Es claro que\(f\) es suryectiva ya que 0, 1, 2 y 3 se mapean a 0, 1, 2 y 3, respectivamente. La Figura 8.3 representa una porción del diagrama de funciones para\(f\), donde hemos dibujado el diagrama de arriba hacia abajo en lugar de izquierda a derecha.

1. Describir las clases de equivalencia inducidas por la relación dada en el Teorema 8.44.
2. ¿A qué conjunto familiar es\(\mathbb{Z}/\mathord\sim\) igual?
3. Dibuja el diagrama de funciones para la función\(\overline{f}\) como se define en el Teorema 8.46.

   

   Figura 8.3: Diagrama de funciones para la función descrita en Problema 8.49.

4. El diagrama de funciones en la Figura 8.3 es un poco difícil de interpretar debido al orden de los elementos en el dominio. ¿Se puede encontrar una mejor manera de dispensar los vértices en el dominio que\(f\) facilite la interpretación de la función?

Considera la función\(h\) definida en Problema 8.24 (d).

1. Dibuja el diagrama de funciones para\(h\).
2. Identificar las clases de equivalencia inducidas por la relación dada en el Teorema 8.44.
3. Dibuja el diagrama de funciones para la función\(\overline{h}\) como se define en el Teorema 8.46.